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例1 下列式子中，多项式有()
①$x+1$； ②$\frac{a+b}{2}$； ③$π -3$；
④$x^2+2x+1$； ⑤$\frac{3}{4}m+\frac{5}{3}n$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【思路导析】几个单项式的和就是多项式.
【请你解答】
①$x+1$； ②$\frac{a+b}{2}$； ③$π -3$；
④$x^2+2x+1$； ⑤$\frac{3}{4}m+\frac{5}{3}n$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【思路导析】几个单项式的和就是多项式.
【请你解答】
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式，其中单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也属于单项式。接下来我们逐个判断给出的5个式子是否符合多项式的定义，判断时注意：π是常数，不是字母；含分母的式子可以先拆分成几个项的形式再判断。
【解析】
首先明确多项式的判定规则：几个单项式的和为多项式。我们逐个分析式子：
①$x+1$是单项式$x$与单项式1的和，属于多项式；
②$\frac{a+b}{2}$可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
③$π-3$中π是常数，因此该式是一个固定的常数，属于单项式，不属于多项式；
④$x^2+2x+1$是单项式$x^2$、2x、1的和，属于多项式；
⑤$\frac{3}{4}m+\frac{5}{3}n$是单项式$\frac{3}{4}m$和$\frac{5}{3}n$的和，属于多项式。
综上，多项式共有①②④⑤，合计4个。
【答案】
D
【知识点】
1. 多项式的定义
2. 单项式的判定
【点评】
本题重点考查多项式定义的应用，解题的核心是准确区分单项式和多项式，易错点是误将π当作字母，或者不会拆分含分母的整式判断类型，掌握相关定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式，其中单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也属于单项式。接下来我们逐个判断给出的5个式子是否符合多项式的定义，判断时注意：π是常数，不是字母；含分母的式子可以先拆分成几个项的形式再判断。
【解析】
首先明确多项式的判定规则：几个单项式的和为多项式。我们逐个分析式子：
①$x+1$是单项式$x$与单项式1的和，属于多项式；
②$\frac{a+b}{2}$可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
③$π-3$中π是常数，因此该式是一个固定的常数，属于单项式，不属于多项式；
④$x^2+2x+1$是单项式$x^2$、2x、1的和，属于多项式；
⑤$\frac{3}{4}m+\frac{5}{3}n$是单项式$\frac{3}{4}m$和$\frac{5}{3}n$的和，属于多项式。
综上，多项式共有①②④⑤，合计4个。
【答案】
D
【知识点】
1. 多项式的定义
2. 单项式的判定
【点评】
本题重点考查多项式定义的应用，解题的核心是准确区分单项式和多项式，易错点是误将π当作字母，或者不会拆分含分母的整式判断类型，掌握相关定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
例2 指出多项式$-2x^4 + 3x^2y - \frac{1}{2}xy + 2$的下面各项：
(1)次数；
(2)二次项系数；
(3)常数项；
(4)指出它是几次几项式.
【思路导析】由相应的定义作答.
【请你解答】
(1)次数；
(2)二次项系数；
(3)常数项；
(4)指出它是几次几项式.
【思路导析】由相应的定义作答.
【请你解答】
答案
解：
(1) 多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数，该多项式中最高次项为$-2x^4$，次数为4，因此这个多项式的次数是4。
(2) 该多项式的二次项是$-\frac{1}{2}xy$，因此二次项系数是$-\frac{1}{2}$。
(3) 该多项式的常数项是2。
(4) 这个多项式的最高次数是4，一共有4个项，因此它是四次四项式。
(1) 多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数，该多项式中最高次项为$-2x^4$，次数为4，因此这个多项式的次数是4。
(2) 该多项式的二次项是$-\frac{1}{2}xy$，因此二次项系数是$-\frac{1}{2}$。
(3) 该多项式的常数项是2。
(4) 这个多项式的最高次数是4，一共有4个项，因此它是四次四项式。
解析
【分析】
解决本题需要结合多项式的相关定义逐步分析求解：第一步先计算多项式中每个项的次数，找到次数最高的项，该项的次数就是多项式的次数；第二步筛选出次数为2的项，其数字因数（包含项前的符号）就是二次项系数；第三步找出多项式中不含字母的项，即为常数项；最后统计多项式的总项数，结合最高次数即可确定它是几次几项式。
【解析】
(1) 分别计算各项次数：$-2x^4$的次数为4，$3x^2y$的次数为$2+1=3$，$-\frac{1}{2}xy$的次数为$1+1=2$，常数项2的次数为0。其中最高次项为$-2x^4$，次数是4，因此该多项式的次数为4。
(2) 该多项式中次数为2的项是$-\frac{1}{2}xy$，因此二次项系数为$-\frac{1}{2}$。
(3) 多项式中不含字母的项为2，因此常数项是2。
(4) 该多项式最高次数为4，一共有4个项，因此它是四次四项式。
【答案】
(1)4；(2)$-\frac{1}{2}$；(3)2；(4)四次四项式
【知识点】
多项式的次数，多项式的项与系数，常数项
【点评】
本题属于多项式概念的基础考查题，解题关键是准确掌握各相关定义，注意确定项的系数时要连同项前面的符号一同计算，避免漏看符号出错。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合多项式的相关定义逐步分析求解：第一步先计算多项式中每个项的次数，找到次数最高的项，该项的次数就是多项式的次数；第二步筛选出次数为2的项，其数字因数（包含项前的符号）就是二次项系数；第三步找出多项式中不含字母的项，即为常数项；最后统计多项式的总项数，结合最高次数即可确定它是几次几项式。
【解析】
(1) 分别计算各项次数：$-2x^4$的次数为4，$3x^2y$的次数为$2+1=3$，$-\frac{1}{2}xy$的次数为$1+1=2$，常数项2的次数为0。其中最高次项为$-2x^4$，次数是4，因此该多项式的次数为4。
(2) 该多项式中次数为2的项是$-\frac{1}{2}xy$，因此二次项系数为$-\frac{1}{2}$。
(3) 多项式中不含字母的项为2，因此常数项是2。
(4) 该多项式最高次数为4，一共有4个项，因此它是四次四项式。
【答案】
(1)4；(2)$-\frac{1}{2}$；(3)2；(4)四次四项式
【知识点】
多项式的次数，多项式的项与系数，常数项
【点评】
本题属于多项式概念的基础考查题，解题关键是准确掌握各相关定义，注意确定项的系数时要连同项前面的符号一同计算，避免漏看符号出错。
【难度系数】
0.8
例3 下列式子是整式的有()
①$2ab^2$； ②$-\frac{1}{2}a^2b$； ③$-\frac{1}{2}$；
④$x^2+1$； ⑤$\frac{2}{x}+1$； ⑥$\frac{x}{2}+1$.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
【思路导析】单项式与多项式统称为整式.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
①$2ab^2$； ②$-\frac{1}{2}a^2b$； ③$-\frac{1}{2}$；
④$x^2+1$； ⑤$\frac{2}{x}+1$； ⑥$\frac{x}{2}+1$.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
【思路导析】单项式与多项式统称为整式.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆整式的定义：单项式和多项式统称为整式，其中单独的数或字母、数与字母的乘积都是单项式，几个单项式的和是多项式；判断整式的核心要点是：式子的分母中不能含有字母。接下来我们逐个对6个式子进行判断，统计符合整式要求的数量即可得到答案。
【解析】
根据整式的定义逐一判断：
①$2ab^2$是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
②$-\frac{1}{2}a^2b$是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
③$-\frac{1}{2}$是单独的常数，属于单项式，是整式；
④$x^2+1$是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑤$\frac{2}{x}+1$中$\frac{2}{x}$的分母含有字母$x$，不符合整式的要求，不是整式；
⑥$\frac{x}{2}+1$是$\frac{1}{2}x$和1两个单项式的和，属于多项式，是整式。
综上，是整式的有①②③④⑥，共5个。
【答案】
C
【知识点】
整式的定义；单项式；多项式
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对整式判定规则的掌握，易错点是容易混淆分母为常数和分母为字母的式子，解题时只需抓住“分母含字母的式子不是整式”这一要点即可快速判断。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆整式的定义：单项式和多项式统称为整式，其中单独的数或字母、数与字母的乘积都是单项式，几个单项式的和是多项式；判断整式的核心要点是：式子的分母中不能含有字母。接下来我们逐个对6个式子进行判断，统计符合整式要求的数量即可得到答案。
【解析】
根据整式的定义逐一判断：
①$2ab^2$是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
②$-\frac{1}{2}a^2b$是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
③$-\frac{1}{2}$是单独的常数，属于单项式，是整式；
④$x^2+1$是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑤$\frac{2}{x}+1$中$\frac{2}{x}$的分母含有字母$x$，不符合整式的要求，不是整式；
⑥$\frac{x}{2}+1$是$\frac{1}{2}x$和1两个单项式的和，属于多项式，是整式。
综上，是整式的有①②③④⑥，共5个。
【答案】
C
【知识点】
整式的定义；单项式；多项式
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对整式判定规则的掌握，易错点是容易混淆分母为常数和分母为字母的式子，解题时只需抓住“分母含字母的式子不是整式”这一要点即可快速判断。
【难度系数】
0.7
例4 赤壁公园的门票价格是成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（打八折）.设一个旅游团共有$x$人($x＞40$)，其中学生$y$人.
(1)用含$x$，$y$的式子表示该旅游团应付的门票费；
(2)如果旅游团有47个成人、12个学生，那么他们应付多少门票费？
【思路导析】门票费$=$门票价格$×$人数$× 80\%$(人数$＞40$)，由于成人和学生的门票价格不相同，所以应先分别求两种门票的费用，再求它们的和，最后乘以所打的折数，就得最终费用.
【规范解答】(1)因为成人门票费为$20(x-y)$元，学生门票费为$10y$元，所以总费用为$[20(x-y)+10y]×80\%$元.
答:该旅游团应付门票费$[20(x-y)+10y]×80\%$元.
(2)当该旅游团有47个成人、12个学生时，$x-y=47,y=12$,则
$[20(x-y)+10y]×80\%=(20×47+10×12)×80\%=848$(元).
答:如果旅游团有47个成人、12个学生，那么他们应付门票费848元.
变式探究
已知多项式$(m-1)x^3+(m+1)^2x^2+x+2$是关于$x$的二次三项式，求$m$的值.
(1)用含$x$，$y$的式子表示该旅游团应付的门票费；
(2)如果旅游团有47个成人、12个学生，那么他们应付多少门票费？
【思路导析】门票费$=$门票价格$×$人数$× 80\%$(人数$＞40$)，由于成人和学生的门票价格不相同，所以应先分别求两种门票的费用，再求它们的和，最后乘以所打的折数，就得最终费用.
【规范解答】(1)因为成人门票费为$20(x-y)$元，学生门票费为$10y$元，所以总费用为$[20(x-y)+10y]×80\%$元.
答:该旅游团应付门票费$[20(x-y)+10y]×80\%$元.
(2)当该旅游团有47个成人、12个学生时，$x-y=47,y=12$,则
$[20(x-y)+10y]×80\%=(20×47+10×12)×80\%=848$(元).
答:如果旅游团有47个成人、12个学生，那么他们应付门票费848元.
变式探究
已知多项式$(m-1)x^3+(m+1)^2x^2+x+2$是关于$x$的二次三项式，求$m$的值.
答案
解：因为多项式$(m-1)x^3+(m+1)^2x^2+x+2$是关于$x$的二次三项式，
所以该多项式的三次项系数为0，即$m-1=0$，
解得$m=1$。
当$m=1$时，二次项系数$(m+1)^2=(1+1)^2=4≠0$，此时多项式为$4x^2+x+2$，是二次三项式，符合题意。
所以$m$的值为1。
所以该多项式的三次项系数为0，即$m-1=0$，
解得$m=1$。
当$m=1$时，二次项系数$(m+1)^2=(1+1)^2=4≠0$，此时多项式为$4x^2+x+2$，是二次三项式，符合题意。
所以$m$的值为1。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确二次三项式的定义：多项式的最高次项的次数为2，且多项式总共包含3个项。首先观察原式，存在三次项$(m-1)x^3$，要让最高次为2，必须让三次项的系数为0，据此先列方程求出m的可能值；之后还要验证此时二次项的系数不能为0，否则就不存在二次项，同时确认此时多项式的项数符合三项式的要求，即可得到正确的m值。
【解析】
因为多项式$(m-1)x^3+(m+1)^2x^2+x+2$是关于$x$的二次三项式，
所以多项式的最高次为2，即三次项的系数为0，可得：
$m-1=0$，
解得$m=1$。
将$m=1$代入二次项系数验证：$(m+1)^2=(1+1)^2=4≠0$，此时多项式为$4x^2+x+2$，最高次为2，共有3个项，符合二次三项式的要求。
【答案】
$m$的值为1
【知识点】
多项式的次数；多项式的项；一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查对多项式次数、项数概念的理解，解题易错点是求出m后忽略验证二次项系数不为0的隐含条件，是整式章节的基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确二次三项式的定义：多项式的最高次项的次数为2，且多项式总共包含3个项。首先观察原式，存在三次项$(m-1)x^3$，要让最高次为2，必须让三次项的系数为0，据此先列方程求出m的可能值；之后还要验证此时二次项的系数不能为0，否则就不存在二次项，同时确认此时多项式的项数符合三项式的要求，即可得到正确的m值。
【解析】
因为多项式$(m-1)x^3+(m+1)^2x^2+x+2$是关于$x$的二次三项式，
所以多项式的最高次为2，即三次项的系数为0，可得：
$m-1=0$，
解得$m=1$。
将$m=1$代入二次项系数验证：$(m+1)^2=(1+1)^2=4≠0$，此时多项式为$4x^2+x+2$，最高次为2，共有3个项，符合二次三项式的要求。
【答案】
$m$的值为1
【知识点】
多项式的次数；多项式的项；一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查对多项式次数、项数概念的理解，解题易错点是求出m后忽略验证二次项系数不为0的隐含条件，是整式章节的基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
