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1.已知$\odot O_{1}$与$\odot O_{2}$相切，$\odot O_{1}$的半径为3 cm，$\odot O_{2}$的半径为2 cm，则$O_{1}O_{2}$的长是（
A.1 cm
B.5 cm
C.1 cm或5 cm
D.0.5 cm或2.5 cm
C
）A.1 cm
B.5 cm
C.1 cm或5 cm
D.0.5 cm或2.5 cm
答案
1.C
解析
【分析】
首先回忆两圆相切的分类，相切包含外切和内切两种情况，很多同学容易只考虑其中一种导致漏解。接下来对应两种相切类型的圆心距计算公式：外切时圆心距等于两圆半径之和，内切时圆心距等于两圆半径之差的绝对值，最后代入已知半径计算即可得到所有可能的结果，对应选项选出答案。
【解析】
两圆相切分为外切和内切两种情况：
1. 当$\odot O_{1}$与$\odot O_{2}$外切时，圆心距等于两圆半径之和，即$O_{1}O_{2}=3+2=5\ \mathrm{cm}$；
2. 当$\odot O_{1}$与$\odot O_{2}$内切时，圆心距等于两圆半径之差的绝对值，即$O_{1}O_{2}=|3-2|=1\ \mathrm{cm}$。
综上，$O_{1}O_{2}$的长是1 cm或5 cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆与圆的位置关系
2. 两圆相切的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，核心易错点是忽略两圆相切包含外切和内切两种情况，导致漏解，解题时要养成分类讨论的习惯，考虑全面。
【难度系数】
0.7
首先回忆两圆相切的分类，相切包含外切和内切两种情况，很多同学容易只考虑其中一种导致漏解。接下来对应两种相切类型的圆心距计算公式：外切时圆心距等于两圆半径之和，内切时圆心距等于两圆半径之差的绝对值，最后代入已知半径计算即可得到所有可能的结果，对应选项选出答案。
【解析】
两圆相切分为外切和内切两种情况：
1. 当$\odot O_{1}$与$\odot O_{2}$外切时，圆心距等于两圆半径之和，即$O_{1}O_{2}=3+2=5\ \mathrm{cm}$；
2. 当$\odot O_{1}$与$\odot O_{2}$内切时，圆心距等于两圆半径之差的绝对值，即$O_{1}O_{2}=|3-2|=1\ \mathrm{cm}$。
综上，$O_{1}O_{2}$的长是1 cm或5 cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆与圆的位置关系
2. 两圆相切的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，核心易错点是忽略两圆相切包含外切和内切两种情况，导致漏解，解题时要养成分类讨论的习惯，考虑全面。
【难度系数】
0.7
2.已知$\odot O$的半径为13 cm，弦$AB// CD$，$AB=24$ cm，$CD=10$ cm，则AB，CD之间的距离为（
A.17 cm
B.7 cm
C.12 cm
D.17 cm或7 cm
D
）A.17 cm
B.7 cm
C.12 cm
D.17 cm或7 cm
答案
2.D
解析
【分析】
求解两条平行弦之间的距离，首先要考虑两条弦与圆心的位置关系，存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，避免漏解。接下来利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，可得到弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据两种位置关系计算两条弦的距离即可。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E，延长（或反向延长）EO交CD于点F。
∵AB//CD，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理可得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ AOE$中，$OA=13\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ COF$中，$OC=13\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}$。
分两种情况计算距离：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为$OF-OE=12-5=7\ \mathrm{cm}$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为$OF+OE=12+5=17\ \mathrm{cm}$。
综上，AB、CD之间的距离为7 cm或17 cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理 3.分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略两条平行弦与圆心的两种位置关系，导致漏解。解题时需先明确位置的可能性，再结合垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
求解两条平行弦之间的距离，首先要考虑两条弦与圆心的位置关系，存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，避免漏解。接下来利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，可得到弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据两种位置关系计算两条弦的距离即可。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E，延长（或反向延长）EO交CD于点F。
∵AB//CD，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理可得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ AOE$中，$OA=13\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ COF$中，$OC=13\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \mathrm{cm}$。
分两种情况计算距离：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为$OF-OE=12-5=7\ \mathrm{cm}$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为$OF+OE=12+5=17\ \mathrm{cm}$。
综上，AB、CD之间的距离为7 cm或17 cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理 3.分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略两条平行弦与圆心的两种位置关系，导致漏解。解题时需先明确位置的可能性，再结合垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
3. 如图30－6是一个不倒翁的平面示意图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为（
A.$28°$
B.$50°$
C.$56°$
D.$62°$
图30－6
图30－7
C
）A.$28°$
B.$50°$
C.$56°$
D.$62°$
图30－6
图30－7
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先根据圆的半径相等可知△OAB是等腰三角形，结合已知的∠OAB度数可先求出圆心角∠AOB的度数；再依据切线的性质得到OA与PA垂直、OB与PB垂直，最后利用四边形内角和为360°，即可推导出∠APB的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB都是⊙O的半径
∴OA=OB，△OAB为等腰三角形
∴∠OBA=∠OAB=28°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-28°-28°=124°
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点
根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得：
OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°
∵四边形OAPB的内角和为360°
∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-124°=56°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和
【点评】
本题是圆与三角形、四边形的基础综合题，解题的核心是熟练掌握切线的性质，找到已知角和待求角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据圆的半径相等可知△OAB是等腰三角形，结合已知的∠OAB度数可先求出圆心角∠AOB的度数；再依据切线的性质得到OA与PA垂直、OB与PB垂直，最后利用四边形内角和为360°，即可推导出∠APB的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB都是⊙O的半径
∴OA=OB，△OAB为等腰三角形
∴∠OBA=∠OAB=28°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-28°-28°=124°
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点
根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得：
OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°
∵四边形OAPB的内角和为360°
∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-124°=56°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和
【点评】
本题是圆与三角形、四边形的基础综合题，解题的核心是熟练掌握切线的性质，找到已知角和待求角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
4.【教材P153例3变式】如图30－7，射线PA，PB分别切$\odot O$于点A，B，直线DE切$\odot O$于点C，交PA于点D，交PB于点E，若$△ PDE$的周长是12 cm，则点P到$\odot O$的切线长是（
A.6 cm
B.3 cm
C.24 cm
D.12 cm
A
）A.6 cm
B.3 cm
C.24 cm
D.12 cm
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先观察图中的切线：点P引的两条切线PA、PB长度相等，点D引的两条切线DA、DC长度相等，点E引的两条切线EB、EC长度相等。接下来将△PDE的周长拆分，用相等的切线长替换线段，就能把周长转化为两条切线长PA与PB的和，再结合PA=PB的关系，即可求出P到⊙O的切线长。
【解析】
∵射线PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，直线DE切$\odot O$于点C
∴根据切线长定理可得：$PA=PB$，$DA=DC$，$EB=EC$
△PDE的周长为：
$C_{△ PDE}=PD + DE + PE$
$=PD + DC + CE + PE$
将$DC=DA$、$CE=EB$代入上式得：
$C_{△ PDE}=PD + DA + EB + PE$
$=(PD+DA) + (PE+EB)$
$=PA + PB$
又
∵$PA=PB$，且已知$C_{△ PDE}=12\mathrm{cm}$
∴$2PA=12\mathrm{cm}$，解得$PA=6\mathrm{cm}$
即点P到$\odot O$的切线长为6 cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 切线长定理
2. 三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是利用切线长相等的性质对三角形周长的线段进行转化，把未知的线段和转化为已知的切线长之和，熟练掌握切线长定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先观察图中的切线：点P引的两条切线PA、PB长度相等，点D引的两条切线DA、DC长度相等，点E引的两条切线EB、EC长度相等。接下来将△PDE的周长拆分，用相等的切线长替换线段，就能把周长转化为两条切线长PA与PB的和，再结合PA=PB的关系，即可求出P到⊙O的切线长。
【解析】
∵射线PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，直线DE切$\odot O$于点C
∴根据切线长定理可得：$PA=PB$，$DA=DC$，$EB=EC$
△PDE的周长为：
$C_{△ PDE}=PD + DE + PE$
$=PD + DC + CE + PE$
将$DC=DA$、$CE=EB$代入上式得：
$C_{△ PDE}=PD + DA + EB + PE$
$=(PD+DA) + (PE+EB)$
$=PA + PB$
又
∵$PA=PB$，且已知$C_{△ PDE}=12\mathrm{cm}$
∴$2PA=12\mathrm{cm}$，解得$PA=6\mathrm{cm}$
即点P到$\odot O$的切线长为6 cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 切线长定理
2. 三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是利用切线长相等的性质对三角形周长的线段进行转化，把未知的线段和转化为已知的切线长之和，熟练掌握切线长定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
