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【例1】如图30－1，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A₁位置时，点A经过的路线长为。
思路分析:利用转化思想将点运动的路线长转化为弧长进行计算.
解:点A运动的路线如图30－2所示.
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，
∴AD＝BC＝3，∠ADC＝90°，对角线AC长为5.
根据旋转的性质知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，
∴从点A翻滚到点A′位置时，点A经过的路线长为$\frac{90π×3}{180}=\frac{3π}{2}$.
同理，从点A′翻滚到点A″位置时，点A经过的路线长为$\frac{90π×4}{180}=2π$，
从点A″翻滚到点A₁位置时，点A经过的路线长为$\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$.
∴当点A第一次翻滚到点A₁位置时，点A经过的路线长为$\frac{3π}{2}+2π+\frac{5π}{2}=6π$.
答案:6π
点拨:平面图形的滚动问题中:
(1)滚动前后图形的形状、大小不变，位置改变；
(2)滚动时不动的点是定点，移动的点是动点，滚动过程中动点经过的路线一般是一段圆弧，所形成的图形一般是扇形.
B
思路分析:利用转化思想将点运动的路线长转化为弧长进行计算.
解:点A运动的路线如图30－2所示.
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，
∴AD＝BC＝3，∠ADC＝90°，对角线AC长为5.
根据旋转的性质知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，
∴从点A翻滚到点A′位置时，点A经过的路线长为$\frac{90π×3}{180}=\frac{3π}{2}$.
同理，从点A′翻滚到点A″位置时，点A经过的路线长为$\frac{90π×4}{180}=2π$，
从点A″翻滚到点A₁位置时，点A经过的路线长为$\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$.
∴当点A第一次翻滚到点A₁位置时，点A经过的路线长为$\frac{3π}{2}+2π+\frac{5π}{2}=6π$.
答案:6π
点拨:平面图形的滚动问题中:
(1)滚动前后图形的形状、大小不变，位置改变；
(2)滚动时不动的点是定点，移动的点是动点，滚动过程中动点经过的路线一般是一段圆弧，所形成的图形一般是扇形.
B
答案
$\boldsymbol{6π}$
解析
【分析】
本题属于矩形无滑动翻滚的动点路径计算问题，解题核心是将点A的运动轨迹转化为三段不同的圆弧求解。首先要明确每次翻滚时的旋转中心、旋转半径（即点A到对应旋转中心的距离）、旋转角度，矩形翻滚时每次旋转角均为90°，再分别用弧长公式计算每段路径长度，最后求和即可得到总路线长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，$AB=4$，$BC=3$
∴$AD=BC=3$，$CD=AB=4$，$∠ADC=90°$，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$
矩形沿直线l无滑动翻滚时，每次旋转角度均为90°：
1. 第一次翻滚以点D为旋转中心，点A运动到$A'$，旋转半径为$AD=3$，这段路径的弧长为：$l_1=\frac{90π×3}{180}=\frac{3π}{2}$
2. 第二次翻滚以点C为旋转中心，点$A'$运动到$A''$，旋转半径为$AB=4$，这段路径的弧长为：$l_2=\frac{90π×4}{180}=2π$
3. 第三次翻滚以点B为旋转中心，点$A''$运动到$A_1$，旋转半径为$AC=5$，这段路径的弧长为：$l_3=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$
总路线长为三段弧长之和：$l=l_1+l_2+l_3=\frac{3π}{2}+2π+\frac{5π}{2}=6π$
【答案】
$6π$
【知识点】
弧长公式计算，旋转的性质，矩形的性质
【点评】
本题是图形滚动类的典型题型，侧重考察转化思想的应用，解题的关键是准确拆解动点的运动轨迹，确定每段圆弧的圆心、半径和圆心角，再结合对应公式求解。
【难度系数】
0.6
本题属于矩形无滑动翻滚的动点路径计算问题，解题核心是将点A的运动轨迹转化为三段不同的圆弧求解。首先要明确每次翻滚时的旋转中心、旋转半径（即点A到对应旋转中心的距离）、旋转角度，矩形翻滚时每次旋转角均为90°，再分别用弧长公式计算每段路径长度，最后求和即可得到总路线长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，$AB=4$，$BC=3$
∴$AD=BC=3$，$CD=AB=4$，$∠ADC=90°$，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$
矩形沿直线l无滑动翻滚时，每次旋转角度均为90°：
1. 第一次翻滚以点D为旋转中心，点A运动到$A'$，旋转半径为$AD=3$，这段路径的弧长为：$l_1=\frac{90π×3}{180}=\frac{3π}{2}$
2. 第二次翻滚以点C为旋转中心，点$A'$运动到$A''$，旋转半径为$AB=4$，这段路径的弧长为：$l_2=\frac{90π×4}{180}=2π$
3. 第三次翻滚以点B为旋转中心，点$A''$运动到$A_1$，旋转半径为$AC=5$，这段路径的弧长为：$l_3=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$
总路线长为三段弧长之和：$l=l_1+l_2+l_3=\frac{3π}{2}+2π+\frac{5π}{2}=6π$
【答案】
$6π$
【知识点】
弧长公式计算，旋转的性质，矩形的性质
【点评】
本题是图形滚动类的典型题型，侧重考察转化思想的应用，解题的关键是准确拆解动点的运动轨迹，确定每段圆弧的圆心、半径和圆心角，再结合对应公式求解。
【难度系数】
0.6
【例2】如图30－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，在下列情况下，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
(1)r＝3 cm；(2)r＝4.8 cm；(3)r＝6 cm.
思路分析：过点C作CD⊥AB于点D，求出CD的长，比较r与CD的
图30－3
大小即可判断⊙C与直线AB的位置关系.
解：过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，
BC＝8 cm，则AB＝$\sqrt{AC^2 + BC^2}$＝10 cm，
又∵$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC$，
∴10·CD＝6×8，∴CD＝4.8 cm.
(1)当r＝3 cm时，CD＞r，⊙C与直线AB相离；
(2)当r＝4.8 cm时，CD＝r，⊙C与直线AB相切；
(3)当r＝6 cm时，CD＜r，⊙C与直线AB相交.
点拨：①判定直线与圆的位置关系有两种方法：一是定义法；二是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系.②直角三角形斜边上的高是常用的辅助线，要注意用面积相等求线段长的方法.
(1)r＝3 cm；(2)r＝4.8 cm；(3)r＝6 cm.
思路分析：过点C作CD⊥AB于点D，求出CD的长，比较r与CD的
图30－3
大小即可判断⊙C与直线AB的位置关系.
解：过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，
BC＝8 cm，则AB＝$\sqrt{AC^2 + BC^2}$＝10 cm，
又∵$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC$，
∴10·CD＝6×8，∴CD＝4.8 cm.
(1)当r＝3 cm时，CD＞r，⊙C与直线AB相离；
(2)当r＝4.8 cm时，CD＝r，⊙C与直线AB相切；
(3)当r＝6 cm时，CD＜r，⊙C与直线AB相交.
点拨：①判定直线与圆的位置关系有两种方法：一是定义法；二是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系.②直角三角形斜边上的高是常用的辅助线，要注意用面积相等求线段长的方法.
答案
解：过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×10· CD=\frac{1}{2}×6×8$，
解得$CD=4.8\ \mathrm{cm}$，即圆心C到直线AB的距离为4.8 cm。
(1) 当$r=3\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}＞r$，⊙C与直线AB相离；
(2) 当$r=4.8\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}=r$，⊙C与直线AB相切；
(3) 当$r=6\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}＜r$，⊙C与直线AB相交。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×10· CD=\frac{1}{2}×6×8$，
解得$CD=4.8\ \mathrm{cm}$，即圆心C到直线AB的距离为4.8 cm。
(1) 当$r=3\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}＞r$，⊙C与直线AB相离；
(2) 当$r=4.8\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}=r$，⊙C与直线AB相切；
(3) 当$r=6\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}＜r$，⊙C与直线AB相交。
解析
【分析】
要判断圆与直线AB的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先过C作CD⊥AB，CD就是圆心到AB的距离d；先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长度，再通过三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），用等面积法求出CD的长度，最后分别将三个r值与CD比较即可得出结论。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×10· CD=\frac{1}{2}×6×8$，
解得$CD=4.8\ \mathrm{cm}$，即圆心C到直线AB的距离为4.8 cm。
(1) 当$r=3\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}＞r$，⊙C与直线AB相离；
(2) 当$r=4.8\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}=r$，⊙C与直线AB相切；
(3) 当$r=6\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}＜r$，⊙C与直线AB相交。
【答案】
(1)相离；(2)相切；(3)相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、勾股定理、等面积法求线段长
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础典型题，解题关键是掌握圆心到直线的距离与半径的大小关系对应不同位置关系的判定规则，同时要熟练运用直角三角形等面积法求斜边上的高，该方法在几何线段求值问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
要判断圆与直线AB的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先过C作CD⊥AB，CD就是圆心到AB的距离d；先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长度，再通过三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），用等面积法求出CD的长度，最后分别将三个r值与CD比较即可得出结论。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×10· CD=\frac{1}{2}×6×8$，
解得$CD=4.8\ \mathrm{cm}$，即圆心C到直线AB的距离为4.8 cm。
(1) 当$r=3\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}＞r$，⊙C与直线AB相离；
(2) 当$r=4.8\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}=r$，⊙C与直线AB相切；
(3) 当$r=6\ \mathrm{cm}$时，$CD=4.8\ \mathrm{cm}＜r$，⊙C与直线AB相交。
【答案】
(1)相离；(2)相切；(3)相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、勾股定理、等面积法求线段长
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础典型题，解题关键是掌握圆心到直线的距离与半径的大小关系对应不同位置关系的判定规则，同时要熟练运用直角三角形等面积法求斜边上的高，该方法在几何线段求值问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
