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活动一:分析快递货车上标准包裹箱的数量
A,B两城之间有9个集散点(含A,B两城),快递货车最大装载量为18个标准包裹箱,规则为:每个集散点卸下前面各集散点发往该集散点的1个包裹箱,同时装上该集散点发往后续每个集散点的1个包裹箱.这辆货车能否完成快递任务?（
A.能,最大载货量16个
B.能,最大载货量17个
C.不能,最大载货量20个
D.不能,最大载货量19个
A,B两城之间有9个集散点(含A,B两城),快递货车最大装载量为18个标准包裹箱,规则为:每个集散点卸下前面各集散点发往该集散点的1个包裹箱,同时装上该集散点发往后续每个集散点的1个包裹箱.这辆货车能否完成快递任务?（
C
）A.能,最大载货量16个
B.能,最大载货量17个
C.不能,最大载货量20个
D.不能,最大载货量19个
答案
C
解析
【分析】
我们可以先将9个集散点按从A到B的顺序编号为第1站到第9站，要判断货车能否完成任务，核心是计算货车行驶过程中的最大载货量，再和货车最大装载量18对比。当货车离开第k站、前往第k+1站时，车上的包裹都是前k个站发往后面还没到达的（9-k）个站的，每个站点发往后续每个站各1个包裹，因此载货量可表示为关于k的代数式，再利用九年级学过的二次函数最值知识求最大值即可。
【解析】
解：将9个集散点按从A到B依次编号为1、2、3……9。
设货车行驶在第k站和第k+1站之间时的载货量为y（k为正整数，$1≤ k≤8$），此时车上包裹均为前k个集散点发往后续$9-k$个集散点的包裹，因此：
$y=k(9-k)=-k^2+9k$
该式是开口向下的二次函数，对称轴为$k=\frac{9}{2}=4.5$。
因为k为正整数，所以当$k=4$或$k=5$时，y取最大值：
当$k=4$时，$y=4×(9-4)=20$
当$k=5$时，$y=5×(9-5)=20$
即货车行驶过程中最大载货量为20个，大于货车最大装载量18个，因此不能完成快递任务。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值计算
【点评】
本题将生活中的快递运输问题转化为数学函数问题，解题关键是梳理清楚载货量和站点编号的数量关系，建立二次函数模型后结合自变量的实际取值（正整数）求最值，考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.4
我们可以先将9个集散点按从A到B的顺序编号为第1站到第9站，要判断货车能否完成任务，核心是计算货车行驶过程中的最大载货量，再和货车最大装载量18对比。当货车离开第k站、前往第k+1站时，车上的包裹都是前k个站发往后面还没到达的（9-k）个站的，每个站点发往后续每个站各1个包裹，因此载货量可表示为关于k的代数式，再利用九年级学过的二次函数最值知识求最大值即可。
【解析】
解：将9个集散点按从A到B依次编号为1、2、3……9。
设货车行驶在第k站和第k+1站之间时的载货量为y（k为正整数，$1≤ k≤8$），此时车上包裹均为前k个集散点发往后续$9-k$个集散点的包裹，因此：
$y=k(9-k)=-k^2+9k$
该式是开口向下的二次函数，对称轴为$k=\frac{9}{2}=4.5$。
因为k为正整数，所以当$k=4$或$k=5$时，y取最大值：
当$k=4$时，$y=4×(9-4)=20$
当$k=5$时，$y=5×(9-5)=20$
即货车行驶过程中最大载货量为20个，大于货车最大装载量18个，因此不能完成快递任务。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值计算
【点评】
本题将生活中的快递运输问题转化为数学函数问题，解题关键是梳理清楚载货量和站点编号的数量关系，建立二次函数模型后结合自变量的实际取值（正整数）求最值，考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.4
活动二:寻找最大射门角度
阅读教材活动二,回答下列问题.
(1)如图①,在正方形网格中,点A,B,C,D,E均在格点上,AB为球门,球员丁带球沿CD方向进攻,最好的射点在(
A.点 C B.点 D或点 E
C.线段 DE(异于端点)上一点 D.线段 CD(异于端点)上一点
(2)图②为矩形足球场的示意图,其中宽$AB=66\ \mathrm{m}$,球门$EF=8\ \mathrm{m}$,且$EB=FA$.点$P,Q$分别为$BC,AD$上的点,$BP=7\ \mathrm{m}$,$∠ BPQ=135°$,一位左前锋球员从点$P$处带球,沿$PQ$方向跑动,球员在$PQ$上的何处才能使射门角度($∠ EMF$)最大?求出此时$PM$的长度.
阅读教材活动二,回答下列问题.
(1)如图①,在正方形网格中,点A,B,C,D,E均在格点上,AB为球门,球员丁带球沿CD方向进攻,最好的射点在(
C
)A.点 C B.点 D或点 E
C.线段 DE(异于端点)上一点 D.线段 CD(异于端点)上一点
(2)图②为矩形足球场的示意图,其中宽$AB=66\ \mathrm{m}$,球门$EF=8\ \mathrm{m}$,且$EB=FA$.点$P,Q$分别为$BC,AD$上的点,$BP=7\ \mathrm{m}$,$∠ BPQ=135°$,一位左前锋球员从点$P$处带球,沿$PQ$方向跑动,球员在$PQ$上的何处才能使射门角度($∠ EMF$)最大?求出此时$PM$的长度.
答案
解:(1)C
(2)如答图,以 EF 为弦作⊙O,使⊙O 与 PQ相切于点 M,则球员在点 M 处射门角度(∠EMF)最大,连接 OM,过点 O 作 OG ⊥EF 于点 G,延长 GO 交 PQ 于点 H,过点 P作 PN⊥OG 于点 N.
∵OG⊥EF,
∴EG=FG=$\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m})$.
∵$AB=66\ \mathrm{m},EB=FA$,
∴易得 $BG=33\ \mathrm{m},EB=FA=29\ \mathrm{m}$.
∵四边形 ABCD 为矩形,
∴$∠B=90°$.
∵$OG⊥EF,PN⊥OG$,
∴四边形 BPNG 为矩形,
∴$PN=BG=33\ \mathrm{m},GN=BP=7\ \mathrm{m},∠BPN=90°$.
∵$∠BPQ=135°,∴∠NPH=45°$,
∴$△NPH$ 为等腰直角三角形,
∴$NH=PN=33\ \mathrm{m}$,
∴易得 $PH=33\sqrt{2}\mathrm{m},GH=GN+NH=40\ \mathrm{m}$
∵PQ 为⊙O 的切线,
∴$OM⊥PQ$,
∴$△OMH$ 为等腰直角三角形.
连接 OE,设⊙O 的半径为 r m,
则 $OE=OM=MH=r\ \mathrm{m}$,
∴易得 $OH=\sqrt{2}r\ \mathrm{m}$.
∵$OG=\sqrt{OE^2-EG^2}=\sqrt{r^2-16}\ \mathrm{m},GH=40\ \mathrm{m}$,
∴$\sqrt{r^2-16}+\sqrt{2}r=40$,
解得 $r=40\sqrt{2}-12\sqrt{11}$ 或 $r=40\sqrt{2}+12\sqrt{11}$(舍去),
∴$MH=(40\sqrt{2}-12\sqrt{11})\mathrm{m}$,
∴$PM=PH-MH=33\sqrt{2}-(40\sqrt{2}-12\sqrt{11})=(12\sqrt{11}-7\sqrt{2})(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
(1) 本题利用“同弦所对的圆周角大于圆外角”的规律解题：射门角度就是射点对球门AB的张角，张角越大越容易射门。观察可知点C对AB的张角小于点D的张角，点D和点E对AB的张角相等，线段DE（异于端点）上的点对AB的张角大于D、E处的张角，线段CD（异于端点）上除DE段外的点张角均小于D处张角，因此最佳射点在DE段（异于端点）上。
(2) 要使射门角度∠EMF最大，需找到过E、F两点的圆与PQ的切点：同弦EF所对的圆周角大于圆外角，切点处的∠EMF是圆周角，PQ上其余点对应的角都是圆外角，角度更小。之后通过构造辅助线，结合垂径定理、矩形性质、等腰直角三角形性质、勾股定理、切线的性质列方程求解半径，再计算PM的长度即可。
【解析】
(1) 根据同弦所对圆周角大于圆外角的性质：
过A、B、D三点作圆，点C在圆外，故点C对AB的张角小于点D对AB的张角；点E、D均在圆上，二者对AB的张角相等；线段DE（异于端点）上的点在圆内，对AB的张角大于D、E处的张角；线段CD上除D外的点在圆外，张角小于D处张角。因此最好的射点在线段DE（异于端点）上一点，选C。
(2) 如答图，以EF为弦作⊙O，使⊙O与PQ相切于点M，此时∠EMF最大，连接OM，过点O作OG⊥EF于点G，延长GO交PQ于点H，过点P作PN⊥OG于点N。
∵OG⊥EF，由垂径定理得$EG=FG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m})$。
∵$AB=66\ \mathrm{m}$，$EB=FA$，
∴$BG=\frac{1}{2}AB=33\ \mathrm{m}$，$EB=FA=BG-EG=33-4=29(\mathrm{m})$。
∵四边形ABCD为矩形，
∴$∠B=90°$，
又
∵$OG⊥EF$，$PN⊥OG$，
∴四边形BPNG为矩形，
∴$PN=BG=33\ \mathrm{m}$，$GN=BP=7\ \mathrm{m}$，$∠BPN=90°$。
∵$∠BPQ=135°$，
∴$∠NPH=∠BPQ-∠BPN=45°$，
∴$△NPH$为等腰直角三角形，
∴$NH=PN=33\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得$PH=\sqrt{PN^2+NH^2}=33\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，$GH=GN+NH=7+33=40(\mathrm{m})$。
∵PQ为⊙O的切线，切点为M，
∴$OM⊥PQ$，
∴$△OMH$为等腰直角三角形。
连接OE，设⊙O的半径为r m，则$OE=OM=MH=r\ \mathrm{m}$，
在$Rt△OMH$中，由勾股定理得$OH=\sqrt{OM^2+MH^2}=\sqrt{2}r\ \mathrm{m}$。
在$Rt△OEG$中，$OG=\sqrt{OE^2-EG^2}=\sqrt{r^2-16}\ \mathrm{m}$，
∵$OG+OH=GH=40\ \mathrm{m}$，
∴$\sqrt{r^2-16}+\sqrt{2}r=40$，
解得$r=40\sqrt{2}-12\sqrt{11}$（$r=40\sqrt{2}+12\sqrt{11}$不符合实际，舍去），
∴$MH=40\sqrt{2}-12\sqrt{11}\ \mathrm{m}$，
∴$PM=PH-MH=33\sqrt{2}-(40\sqrt{2}-12\sqrt{11})=12\sqrt{11}-7\sqrt{2}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) C
(2) 球员在PQ上距离P点$(12\sqrt{11}-7\sqrt{2})\ \mathrm{m}$的位置时射门角度最大，此时PM的长度为$(12\sqrt{11}-7\sqrt{2})\ \mathrm{m}$。
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查圆的性质与几何计算，核心是掌握“最大张角”的几何模型：过定弦的圆与动线相切时，切点就是张角最大的位置，再结合常见几何图形的性质列方程求解即可，对几何建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 本题利用“同弦所对的圆周角大于圆外角”的规律解题：射门角度就是射点对球门AB的张角，张角越大越容易射门。观察可知点C对AB的张角小于点D的张角，点D和点E对AB的张角相等，线段DE（异于端点）上的点对AB的张角大于D、E处的张角，线段CD（异于端点）上除DE段外的点张角均小于D处张角，因此最佳射点在DE段（异于端点）上。
(2) 要使射门角度∠EMF最大，需找到过E、F两点的圆与PQ的切点：同弦EF所对的圆周角大于圆外角，切点处的∠EMF是圆周角，PQ上其余点对应的角都是圆外角，角度更小。之后通过构造辅助线，结合垂径定理、矩形性质、等腰直角三角形性质、勾股定理、切线的性质列方程求解半径，再计算PM的长度即可。
【解析】
(1) 根据同弦所对圆周角大于圆外角的性质：
过A、B、D三点作圆，点C在圆外，故点C对AB的张角小于点D对AB的张角；点E、D均在圆上，二者对AB的张角相等；线段DE（异于端点）上的点在圆内，对AB的张角大于D、E处的张角；线段CD上除D外的点在圆外，张角小于D处张角。因此最好的射点在线段DE（异于端点）上一点，选C。
(2) 如答图，以EF为弦作⊙O，使⊙O与PQ相切于点M，此时∠EMF最大，连接OM，过点O作OG⊥EF于点G，延长GO交PQ于点H，过点P作PN⊥OG于点N。
∵OG⊥EF，由垂径定理得$EG=FG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m})$。
∵$AB=66\ \mathrm{m}$，$EB=FA$，
∴$BG=\frac{1}{2}AB=33\ \mathrm{m}$，$EB=FA=BG-EG=33-4=29(\mathrm{m})$。
∵四边形ABCD为矩形，
∴$∠B=90°$，
又
∵$OG⊥EF$，$PN⊥OG$，
∴四边形BPNG为矩形，
∴$PN=BG=33\ \mathrm{m}$，$GN=BP=7\ \mathrm{m}$，$∠BPN=90°$。
∵$∠BPQ=135°$，
∴$∠NPH=∠BPQ-∠BPN=45°$，
∴$△NPH$为等腰直角三角形，
∴$NH=PN=33\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得$PH=\sqrt{PN^2+NH^2}=33\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，$GH=GN+NH=7+33=40(\mathrm{m})$。
∵PQ为⊙O的切线，切点为M，
∴$OM⊥PQ$，
∴$△OMH$为等腰直角三角形。
连接OE，设⊙O的半径为r m，则$OE=OM=MH=r\ \mathrm{m}$，
在$Rt△OMH$中，由勾股定理得$OH=\sqrt{OM^2+MH^2}=\sqrt{2}r\ \mathrm{m}$。
在$Rt△OEG$中，$OG=\sqrt{OE^2-EG^2}=\sqrt{r^2-16}\ \mathrm{m}$，
∵$OG+OH=GH=40\ \mathrm{m}$，
∴$\sqrt{r^2-16}+\sqrt{2}r=40$，
解得$r=40\sqrt{2}-12\sqrt{11}$（$r=40\sqrt{2}+12\sqrt{11}$不符合实际，舍去），
∴$MH=40\sqrt{2}-12\sqrt{11}\ \mathrm{m}$，
∴$PM=PH-MH=33\sqrt{2}-(40\sqrt{2}-12\sqrt{11})=12\sqrt{11}-7\sqrt{2}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) C
(2) 球员在PQ上距离P点$(12\sqrt{11}-7\sqrt{2})\ \mathrm{m}$的位置时射门角度最大，此时PM的长度为$(12\sqrt{11}-7\sqrt{2})\ \mathrm{m}$。
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查圆的性质与几何计算，核心是掌握“最大张角”的几何模型：过定弦的圆与动线相切时，切点就是张角最大的位置，再结合常见几何图形的性质列方程求解即可，对几何建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
活动三:产品包装箱的设计
已知圆柱体产品底面半径$r=50\ \mathrm{mm}$,高$h=100\ \mathrm{mm}$,规格为18个/箱,可采用多层齐排列或错排列,下列方案中包装箱表面积最小的是(
A.9层×2列,齐排列
B.2层×9列,错排列
C.6层×3列,齐排列
D.3层×6列,错排列
已知圆柱体产品底面半径$r=50\ \mathrm{mm}$,高$h=100\ \mathrm{mm}$,规格为18个/箱,可采用多层齐排列或错排列,下列方案中包装箱表面积最小的是(
D
)A.9层×2列,齐排列
B.2层×9列,错排列
C.6层×3列,齐排列
D.3层×6列,错排列
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先明确圆柱体的基础尺寸，再分别计算每个选项中包装箱的长宽高，利用长方体表面积公式算出各方案的表面积，比较大小即可找到最优方案。解题步骤如下：1.先算出圆柱底面直径d=2r=100mm，圆柱高h=100mm；2.齐排列时，沿排列方向的长度=排列数量×直径；3.错排列时，通过勾股定理可算出相邻两层圆心的纵向距离为$\sqrt{d^2-(d/2)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}d$，多层错排的总宽度=直径+(层数-1)×$\frac{\sqrt{3}}{2}d$；4.用长方体表面积公式$S=2(ab+ac+bc)$计算各方案表面积后比较。
【解析】
首先计算圆柱底面直径$d=2×50=100\ \mathrm{mm}$，已知圆柱高$h=100\ \mathrm{mm}$，取圆柱竖直放置时包装箱的高等于圆柱高$100\ \mathrm{mm}$，仅需计算底面长宽：
1. 选项A（9层×2列，齐排列）：
底面长$=9×100=900\ \mathrm{mm}$，底面宽$=2×100=200\ \mathrm{mm}$
$S_A=2×(900×200 + 900×100 + 200×100)=580000\ \mathrm{mm^2}$
2. 选项B（2层×9列，错排列）：
底面长$=9×100=900\ \mathrm{mm}$，底面宽$\approx100 + (2-1)×86.6=186.6\ \mathrm{mm}$
$S_B\approx2×(900×186.6 + 900×100 + 186.6×100)=553200\ \mathrm{mm^2}$
3. 选项C（6层×3列，齐排列）：
底面长$=6×100=600\ \mathrm{mm}$，底面宽$=3×100=300\ \mathrm{mm}$
$S_C=2×(600×300 + 600×100 + 300×100)=540000\ \mathrm{mm^2}$
4. 选项D（3层×6列，错排列）：
底面长$=6×100=600\ \mathrm{mm}$，底面宽$\approx100 + (3-1)×86.6=273.2\ \mathrm{mm}$
$S_D\approx2×(600×273.2 + 600×100 + 273.2×100)=502480\ \mathrm{mm^2}$
比较可得$S_D$最小，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
长方体表面积计算，勾股定理应用，优化问题求解
【点评】
本题结合生活中的包装设计场景，考查几何知识的实际应用，需要学生准确理解两种排列方式的尺寸计算规则，通过计算对比得出最优方案，能很好地锻炼学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要先明确圆柱体的基础尺寸，再分别计算每个选项中包装箱的长宽高，利用长方体表面积公式算出各方案的表面积，比较大小即可找到最优方案。解题步骤如下：1.先算出圆柱底面直径d=2r=100mm，圆柱高h=100mm；2.齐排列时，沿排列方向的长度=排列数量×直径；3.错排列时，通过勾股定理可算出相邻两层圆心的纵向距离为$\sqrt{d^2-(d/2)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}d$，多层错排的总宽度=直径+(层数-1)×$\frac{\sqrt{3}}{2}d$；4.用长方体表面积公式$S=2(ab+ac+bc)$计算各方案表面积后比较。
【解析】
首先计算圆柱底面直径$d=2×50=100\ \mathrm{mm}$，已知圆柱高$h=100\ \mathrm{mm}$，取圆柱竖直放置时包装箱的高等于圆柱高$100\ \mathrm{mm}$，仅需计算底面长宽：
1. 选项A（9层×2列，齐排列）：
底面长$=9×100=900\ \mathrm{mm}$，底面宽$=2×100=200\ \mathrm{mm}$
$S_A=2×(900×200 + 900×100 + 200×100)=580000\ \mathrm{mm^2}$
2. 选项B（2层×9列，错排列）：
底面长$=9×100=900\ \mathrm{mm}$，底面宽$\approx100 + (2-1)×86.6=186.6\ \mathrm{mm}$
$S_B\approx2×(900×186.6 + 900×100 + 186.6×100)=553200\ \mathrm{mm^2}$
3. 选项C（6层×3列，齐排列）：
底面长$=6×100=600\ \mathrm{mm}$，底面宽$=3×100=300\ \mathrm{mm}$
$S_C=2×(600×300 + 600×100 + 300×100)=540000\ \mathrm{mm^2}$
4. 选项D（3层×6列，错排列）：
底面长$=6×100=600\ \mathrm{mm}$，底面宽$\approx100 + (3-1)×86.6=273.2\ \mathrm{mm}$
$S_D\approx2×(600×273.2 + 600×100 + 273.2×100)=502480\ \mathrm{mm^2}$
比较可得$S_D$最小，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
长方体表面积计算，勾股定理应用，优化问题求解
【点评】
本题结合生活中的包装设计场景，考查几何知识的实际应用，需要学生准确理解两种排列方式的尺寸计算规则，通过计算对比得出最优方案，能很好地锻炼学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.6
