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5. 如图 30－8，AD 是$\odot O$的弦，AB 经过圆心 O，交$\odot O$于点 C，$∠ DAB=∠ B=30°$.
(1)直线 BD 是否与$\odot O$相切？为什么？
(2)连接 CD，若$CD=5$，求 AB 的长.
图 30－8
(1)直线 BD 是否与$\odot O$相切？为什么？
(2)连接 CD，若$CD=5$，求 AB 的长.
图 30－8
答案
5.解:(1)直线BD与$\odot O$相切.理由如下：
如答图 30－1,连接 OD,
$\because ∠ODA=∠DAB=∠B=30°,$
$\therefore ∠ODB = 180°- ∠ODA - ∠DAB - ∠B=180°-30°-30°-30°=90°,$
即 $OD⊥BD,∴$ 直线 BD 与$\odot O$相切.
(2)由(1)知,$∠ODA=∠DAB=30°,$
$\therefore ∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°.$
又$\because OC=OD,∴△DOC$ 是等边三角形,
$\therefore OA=OD=CD=5.$
又$\because ∠B=30°,∠ODB=90°,$
$\therefore OB=2OD=10.$
$\therefore AB=OA+OB=5+10=15.$
解析
【分析】
(1) 要判断直线BD是否与$\odot O$相切，根据切线的判定定理，需证明BD垂直于过切点D的半径，因此先连接OD，利用等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ ODA=∠ DAB$，再结合三角形内角和计算$∠ ODB$的度数，若为$90°$即可判定BD与$\odot O$相切。
(2) 求AB的长，可将AB拆分为$OA+OB$计算：先利用三角形外角性质求出$∠ DOB$的度数，结合$OD=OC$可判定$△ DOC$是等边三角形，得到$OD=CD=5$，再利用直角三角形中$30°$角对的直角边等于斜边一半的性质求出OB的长度，最后将OA和OB相加即可得到AB的长。
【解析】
(1) 直线BD与$\odot O$相切，理由如下：
如答图30－1，连接OD
$\because ∠ODA=∠DAB=∠B=30°,$
$\therefore ∠ODB = 180°- ∠ODA - ∠DAB - ∠B=180°-30°-30°-30°=90°,$
即 $OD⊥BD$,
又$\because$OD是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线 BD 与$\odot O$相切。
(2)由(1)知,$∠ODA=∠DAB=30°,$
$\therefore ∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°.$
又$\because OC=OD,∴△DOC$ 是等边三角形,
$\therefore OA=OD=CD=5.$
又$\because ∠B=30°,∠ODB=90°,$
$\therefore OB=2OD=10.$
$\therefore AB=OA+OB=5+10=15.$
【答案】
(1) 直线BD与$\odot O$相切，理由见解析；
(2) $AB=15$。
【知识点】
切线的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是正确添加辅助线连接半径，结合等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质逐步推导，既考查了切线的判定方法，也考查了特殊三角形性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断直线BD是否与$\odot O$相切，根据切线的判定定理，需证明BD垂直于过切点D的半径，因此先连接OD，利用等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ ODA=∠ DAB$，再结合三角形内角和计算$∠ ODB$的度数，若为$90°$即可判定BD与$\odot O$相切。
(2) 求AB的长，可将AB拆分为$OA+OB$计算：先利用三角形外角性质求出$∠ DOB$的度数，结合$OD=OC$可判定$△ DOC$是等边三角形，得到$OD=CD=5$，再利用直角三角形中$30°$角对的直角边等于斜边一半的性质求出OB的长度，最后将OA和OB相加即可得到AB的长。
【解析】
(1) 直线BD与$\odot O$相切，理由如下：
如答图30－1，连接OD
$\because ∠ODA=∠DAB=∠B=30°,$
$\therefore ∠ODB = 180°- ∠ODA - ∠DAB - ∠B=180°-30°-30°-30°=90°,$
即 $OD⊥BD$,
又$\because$OD是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线 BD 与$\odot O$相切。
(2)由(1)知,$∠ODA=∠DAB=30°,$
$\therefore ∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°.$
又$\because OC=OD,∴△DOC$ 是等边三角形,
$\therefore OA=OD=CD=5.$
又$\because ∠B=30°,∠ODB=90°,$
$\therefore OB=2OD=10.$
$\therefore AB=OA+OB=5+10=15.$
【答案】
(1) 直线BD与$\odot O$相切，理由见解析；
(2) $AB=15$。
【知识点】
切线的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是正确添加辅助线连接半径，结合等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质逐步推导，既考查了切线的判定方法，也考查了特殊三角形性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
1.(山东)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图30一9是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是(
A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
D
)A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
答案
1.D 点拔:如答图 30－2,连接 AB,DC 相交于点 O,$\because$ 正方形的内切圆的半径是 2,
$\therefore AC= BC = 4, OA = OB, \therefore AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}, \therefore OA = OB=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}.\therefore$ 图中阴影部分的面积是$π · (2\sqrt{2})^2 - π · 2^2=4π$.故选 D.
解析
【分析】
阴影部分是正方形的外接圆与内切圆构成的圆环面积，圆环面积计算公式为$S=π R^2-π r^2$，其中内切圆半径r已知为2，因此只需推导外接圆半径R即可。首先由内切圆半径可得到正方形的边长，再利用勾股定理求出正方形的对角线长度，而正方形的对角线就是外接圆的直径，据此可算出外接圆半径，最后代入公式计算阴影面积即可。
【解析】
解：
∵ 正方形内切圆的半径为2，
∴ 正方形的边长等于内切圆的直径，即边长为$2×2=4$。
∵ 正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长，根据勾股定理可得：
正方形对角线长$=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴ 外接圆半径$R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
阴影部分面积为外接圆面积减去内切圆面积，即：
$S_{阴影}=π R^2-π r^2=π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2=8π-4π=4π$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算、正方形的内接与外接圆、勾股定理
【点评】
本题结合传统文化场景考查组合图形的面积计算，解题的关键是理清正方形与内、外圆的边长、半径的对应关系，侧重对基础几何图形性质的应用考查，掌握常见几何图形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
阴影部分是正方形的外接圆与内切圆构成的圆环面积，圆环面积计算公式为$S=π R^2-π r^2$，其中内切圆半径r已知为2，因此只需推导外接圆半径R即可。首先由内切圆半径可得到正方形的边长，再利用勾股定理求出正方形的对角线长度，而正方形的对角线就是外接圆的直径，据此可算出外接圆半径，最后代入公式计算阴影面积即可。
【解析】
解：
∵ 正方形内切圆的半径为2，
∴ 正方形的边长等于内切圆的直径，即边长为$2×2=4$。
∵ 正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长，根据勾股定理可得：
正方形对角线长$=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴ 外接圆半径$R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
阴影部分面积为外接圆面积减去内切圆面积，即：
$S_{阴影}=π R^2-π r^2=π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2=8π-4π=4π$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算、正方形的内接与外接圆、勾股定理
【点评】
本题结合传统文化场景考查组合图形的面积计算，解题的关键是理清正方形与内、外圆的边长、半径的对应关系，侧重对基础几何图形性质的应用考查，掌握常见几何图形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.(福建)如图30－10，PA与$\odot O$相切于点A，PO的延长线交$\odot O$于点C.AB//PC，且交$\odot O$于点B.若$∠ P=30°$，则$∠ BCP$的大小为(
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.75
C
)A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.75
答案
2.C 点拔:如答图 30－3,连接 OA,OB,
$\because PA$是$\odot O$的切线,OA 是$\odot O$的半径,
$\therefore ∠PAO=90°$(提示:圆的切线垂直于过切点的半径).
$\because AB// PC,∠P=30°,∴∠PAB=180°-30°=150°,∠AOP = 90° - 30° = 60°.$
$\therefore ∠OAB=150°-90°=60°.$
$\because OA=OB,∴△AOB$ 是等边三角形(提示:有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形),$\therefore ∠AOB=60°.∴∠BOC=180°-60°-60°=60°,∵OB=OC,∴△BOC$ 是等边三角形.
$\therefore ∠BCP=60°$.故选 C.
解析
【分析】
拿到题目首先观察已知条件：PA是圆的切线，遇到切线首先想到连接过切点的半径可得垂直关系，因此先作辅助线连接OA、OB；第一步在直角三角形PAO中，已知∠P=30°，可求出∠AOP的度数；再结合AB平行PC的条件，利用平行线同旁内角互补求出∠PAB，进而得到∠OAB的度数；因为OA和OB都是圆的半径长度相等，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可证△AOB是等边三角形，得到∠AOB的度数；接下来根据平角为180°可算出∠BOC的度数，同理OB和OC也是半径相等，可证△BOC是等边三角形，最终得到∠BCP的度数。
【解析】
解：如图，连接OA、OB。
∵PA是$\odot O$的切线，OA是$\odot O$的半径，
∴$∠ PAO=90°$（圆的切线垂直于过切点的半径）。
在$Rt△ PAO$中，$∠ P=30°$，
∴$∠ AOP=90°-∠ P=90°-30°=60°$。
∵$AB// PC$，
∴$∠ P+∠ PAB=180°$，
∴$∠ PAB=180°-30°=150°$，
∴$∠ OAB=∠ PAB-∠ PAO=150°-90°=60°$。
又
∵$OA=OB$（同圆的半径相等），
∴$△ AOB$是等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴$∠ AOB=60°$。
∴$∠ BOC=180°-∠ AOP-∠ AOB=180°-60°-60°=60°$。
又
∵$OB=OC$（同圆的半径相等），
∴$△ BOC$是等边三角形，
∴$∠ BCP=60°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用切线性质、平行线性质和等边三角形的判定性质进行角度的推导转化，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先观察已知条件：PA是圆的切线，遇到切线首先想到连接过切点的半径可得垂直关系，因此先作辅助线连接OA、OB；第一步在直角三角形PAO中，已知∠P=30°，可求出∠AOP的度数；再结合AB平行PC的条件，利用平行线同旁内角互补求出∠PAB，进而得到∠OAB的度数；因为OA和OB都是圆的半径长度相等，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可证△AOB是等边三角形，得到∠AOB的度数；接下来根据平角为180°可算出∠BOC的度数，同理OB和OC也是半径相等，可证△BOC是等边三角形，最终得到∠BCP的度数。
【解析】
解：如图，连接OA、OB。
∵PA是$\odot O$的切线，OA是$\odot O$的半径，
∴$∠ PAO=90°$（圆的切线垂直于过切点的半径）。
在$Rt△ PAO$中，$∠ P=30°$，
∴$∠ AOP=90°-∠ P=90°-30°=60°$。
∵$AB// PC$，
∴$∠ P+∠ PAB=180°$，
∴$∠ PAB=180°-30°=150°$，
∴$∠ OAB=∠ PAB-∠ PAO=150°-90°=60°$。
又
∵$OA=OB$（同圆的半径相等），
∴$△ AOB$是等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴$∠ AOB=60°$。
∴$∠ BOC=180°-∠ AOP-∠ AOB=180°-60°-60°=60°$。
又
∵$OB=OC$（同圆的半径相等），
∴$△ BOC$是等边三角形，
∴$∠ BCP=60°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用切线性质、平行线性质和等边三角形的判定性质进行角度的推导转化，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3.(上海)已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是
108°或36°
。答案
3.$108°$或$36°$ 点拔:如答图 30－4,当角的顶点在圆上时,如$\odot O$交$∠ABC$的两边,截取的两条弦为 AB,BC,根据题意可得$∠ABC$是正五边形的一个内角,$\therefore ∠ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°.$
当角的顶点在圆外时,如$\odot O$交$∠AFC$的两边,截取的两条弦为 AE,CD,根据题意可得$∠AED=∠CDE=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°,∴∠FED=∠FDE=180°-108°=72°,∴∠F=180°-72°-72°=36°$,综上所述,这个角的大小是$108°$或$36°$.
解析
【分析】
解题时首先需分类讨论角的顶点位置：①角的顶点在圆上；②角的顶点在圆外。首先回忆正五边形内角计算公式，先算出正五边形每个内角的度数，第一种情况顶点在圆上时，所求角就是正五边形的内角；第二种情况顶点在圆外时，利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到所求角所在三角形的两个底角度数，再根据三角形内角和定理计算所求角的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当角的顶点在圆上时：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$，此时所求角为正五边形的内角，即角度为$108°$。
2. 当角的顶点在圆外时：
正五边形的内角为$108°$，根据圆内接四边形的外角等于内对角，可得所求角所在三角形的两个底角均为$180°-108°=72°$，结合三角形内角和为$180°$，所求角的度数为$180°-72°×2=36°$。
综上，这个角的大小为$108°$或$36°$。
【答案】
$108°$或$36°$
【知识点】
正多边形内角计算，圆内接四边形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，易错点是容易忽略角的顶点在圆外的情况，需要结合正多边形与圆的相关性质综合分析求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先需分类讨论角的顶点位置：①角的顶点在圆上；②角的顶点在圆外。首先回忆正五边形内角计算公式，先算出正五边形每个内角的度数，第一种情况顶点在圆上时，所求角就是正五边形的内角；第二种情况顶点在圆外时，利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到所求角所在三角形的两个底角度数，再根据三角形内角和定理计算所求角的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当角的顶点在圆上时：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$，此时所求角为正五边形的内角，即角度为$108°$。
2. 当角的顶点在圆外时：
正五边形的内角为$108°$，根据圆内接四边形的外角等于内对角，可得所求角所在三角形的两个底角均为$180°-108°=72°$，结合三角形内角和为$180°$，所求角的度数为$180°-72°×2=36°$。
综上，这个角的大小为$108°$或$36°$。
【答案】
$108°$或$36°$
【知识点】
正多边形内角计算，圆内接四边形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，易错点是容易忽略角的顶点在圆外的情况，需要结合正多边形与圆的相关性质综合分析求解。
【难度系数】
0.6
