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4.(湖北武汉)(节选)如图30－11，点A,B,C,D在⊙O上，BD是直径，∠BAC=45°，过点C作CE//BD交AB的延长线于点E.求证：CE是⊙O的切线. 
答案
4.证明:如答图 30－5,连接 OC(巧作辅助线;连半径,证垂直).
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},$
$\therefore ∠BOC=2∠BAC=90°$(提示:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半),
$\because CE// BD,$
$\therefore ∠OCE=180°-∠BOC=90°.$
$\therefore OC⊥CE.$
又$\because OC$为$\odot O$的半径,
$\therefore CE$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明CE是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需先连接半径OC，证明OC与CE垂直即可。首先利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠BAC=45°求出圆心角∠BOC的度数，再结合CE//BD的条件，利用平行线的同旁内角互补推导∠OCE的度数，验证垂直关系后即可得证。
【解析】
证明：如答图30－5，连接OC。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半），
∵CE//BD，
∴∠OCE + ∠BOC = 180°，即∠OCE=180°-90°=90°，
∴OC⊥CE，
又
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线。
【答案】
证明:如答图 30－5,连接 OC(巧作辅助线;连半径,证垂直).
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},$
$\therefore ∠BOC=2∠BAC=90°$(提示:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半),
$\because CE// BD,$
$\therefore ∠OCE=180°-∠BOC=90°.$
$\therefore OC⊥CE.$
又$\because OC$为$\odot O$的半径,
$\therefore CE$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题是切线证明的基础题型，核心要掌握切线证明常用的“连半径，证垂直”的辅助线做法，结合圆周角与圆心角的关系、平行线的性质即可推导出垂直关系，解题思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.7
要证明CE是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需先连接半径OC，证明OC与CE垂直即可。首先利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠BAC=45°求出圆心角∠BOC的度数，再结合CE//BD的条件，利用平行线的同旁内角互补推导∠OCE的度数，验证垂直关系后即可得证。
【解析】
证明：如答图30－5，连接OC。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半），
∵CE//BD，
∴∠OCE + ∠BOC = 180°，即∠OCE=180°-90°=90°，
∴OC⊥CE，
又
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线。
【答案】
证明:如答图 30－5,连接 OC(巧作辅助线;连半径,证垂直).
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},$
$\therefore ∠BOC=2∠BAC=90°$(提示:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半),
$\because CE// BD,$
$\therefore ∠OCE=180°-∠BOC=90°.$
$\therefore OC⊥CE.$
又$\because OC$为$\odot O$的半径,
$\therefore CE$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题是切线证明的基础题型，核心要掌握切线证明常用的“连半径，证垂直”的辅助线做法，结合圆周角与圆心角的关系、平行线的性质即可推导出垂直关系，解题思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.7
5.(山东威海)(节选)如图30－12，PA是⊙O的切线，点A为切点，点B为⊙O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E.AD＝BE，BD＝AF.求证：PB是⊙O的切线.
图30－12
图30－12
答案
5.证明:如答图 30－6,连接 OB(巧作辅助线:连半径,证垂直).
$\because PA$是$\odot O$的切线,
$\therefore ∠OAP=∠1+∠3=90°.$
$\because DF⊥AB,DE⊥BP,$
$\therefore ∠ADF=∠BED=90°.$
$\because AD=BE,AF=BD,$
$\therefore \mathrm{Rt}△FDA≌\mathrm{Rt}△DEB(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠3=∠4.$
$\because OA=OB,$
$\therefore ∠1=∠2.$
$\therefore ∠2+∠4=∠1+∠3=90°,$
$\therefore ∠OBP=∠2+∠4=90°$,即$OB⊥BP$,
又 OB 是$\odot O$的半径,
$\therefore PB$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明PB是⊙O的切线，根据切线判定定理：若直线与圆有公共点，则连接公共点与圆心，证明半径与直线垂直即可，因此首先作辅助线连接OB。首先利用PA是切线的性质得到∠OAP=90°，再结合已知的垂直关系和边相等的条件，通过HL证明两个直角三角形全等，得到对应角相等；再利用同圆半径相等推出等腰三角形底角相等，进行角的等量代换，即可证明OB⊥PB，进而得到结论。
【解析】
证明：如答图30－6，连接OB。
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠1+∠3=90°。
∵DF⊥AB，DE⊥BP，
∴∠ADF=∠BED=90°。
∵AD=BE，AF=BD，
∴$\mathrm{Rt}△FDA≌\mathrm{Rt}△DEB(\mathrm{HL})$。
∴∠3=∠4。
∵OA=OB，
∴∠1=∠2。
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°，
∴∠OBP=∠2+∠4=90°，即OB⊥BP，
又OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线。
【答案】
证明:如答图 30－6,连接 OB(巧作辅助线:连半径,证垂直).
$\because PA$是$\odot O$的切线,
$\therefore ∠OAP=∠1+∠3=90°.$
$\because DF⊥AB,DE⊥BP,$
$\therefore ∠ADF=∠BED=90°.$
$\because AD=BE,AF=BD,$
$\therefore \mathrm{Rt}△FDA≌\mathrm{Rt}△DEB(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠3=∠4.$
$\because OA=OB,$
$\therefore ∠1=∠2.$
$\therefore ∠2+∠4=∠1+∠3=90°,$
$\therefore ∠OBP=∠2+∠4=90°$,即$OB⊥BP$,
又 OB 是$\odot O$的半径,
$\therefore PB$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；直角三角形全等判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是掌握切线的判定思路，通过作辅助线连接半径，结合全等三角形和等腰三角形的性质转化角的关系证明垂直，能够很好地考查学生对基础定理的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
要证明PB是⊙O的切线，根据切线判定定理：若直线与圆有公共点，则连接公共点与圆心，证明半径与直线垂直即可，因此首先作辅助线连接OB。首先利用PA是切线的性质得到∠OAP=90°，再结合已知的垂直关系和边相等的条件，通过HL证明两个直角三角形全等，得到对应角相等；再利用同圆半径相等推出等腰三角形底角相等，进行角的等量代换，即可证明OB⊥PB，进而得到结论。
【解析】
证明：如答图30－6，连接OB。
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠1+∠3=90°。
∵DF⊥AB，DE⊥BP，
∴∠ADF=∠BED=90°。
∵AD=BE，AF=BD，
∴$\mathrm{Rt}△FDA≌\mathrm{Rt}△DEB(\mathrm{HL})$。
∴∠3=∠4。
∵OA=OB，
∴∠1=∠2。
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°，
∴∠OBP=∠2+∠4=90°，即OB⊥BP，
又OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线。
【答案】
证明:如答图 30－6,连接 OB(巧作辅助线:连半径,证垂直).
$\because PA$是$\odot O$的切线,
$\therefore ∠OAP=∠1+∠3=90°.$
$\because DF⊥AB,DE⊥BP,$
$\therefore ∠ADF=∠BED=90°.$
$\because AD=BE,AF=BD,$
$\therefore \mathrm{Rt}△FDA≌\mathrm{Rt}△DEB(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠3=∠4.$
$\because OA=OB,$
$\therefore ∠1=∠2.$
$\therefore ∠2+∠4=∠1+∠3=90°,$
$\therefore ∠OBP=∠2+∠4=90°$,即$OB⊥BP$,
又 OB 是$\odot O$的半径,
$\therefore PB$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；直角三角形全等判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是掌握切线的判定思路，通过作辅助线连接半径，结合全等三角形和等腰三角形的性质转化角的关系证明垂直，能够很好地考查学生对基础定理的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
