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例1 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE//BC,若AD=2,BD=3,DE=2,则BC的长是 (
A.3
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{15}{2}$
例1题图
变式题图
C
)A.3
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{15}{2}$
例1题图
变式题图
答案
例1答案：C
解析
【分析】
解题时首先观察到DE平行于BC，可联想到平行线所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，先证明△ADE与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知线段长度，代入比例式即可求出BC的长度。具体步骤：第一步先计算AB的总长度，第二步列出相似三角形的对应边比例式，第三步代入数值解方程得到结果。
【解析】
解：
∵DE//BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$（相似三角形对应边成比例）
又
∵AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=2+3=5，DE=2
代入得：$\frac{2}{5}=\frac{2}{BC}$
解得：BC=5
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是通过平行线判定三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解未知线段，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到DE平行于BC，可联想到平行线所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，先证明△ADE与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知线段长度，代入比例式即可求出BC的长度。具体步骤：第一步先计算AB的总长度，第二步列出相似三角形的对应边比例式，第三步代入数值解方程得到结果。
【解析】
解：
∵DE//BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$（相似三角形对应边成比例）
又
∵AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=2+3=5，DE=2
代入得：$\frac{2}{5}=\frac{2}{BC}$
解得：BC=5
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是通过平行线判定三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解未知线段，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
变式 如图，已知直线$l$经过$□ ABCD$的顶点$C$，交$AB$的延长线于点$M$，交$AD$的延长线于点$N$，则$\frac{CD}{AM}+\frac{BC}{AN}=$
1
。答案
1
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线，进而推导出两对相似三角形；再利用相似三角形的对应边成比例，将待求的两个分式转化为以MN为分母的比例式，最后通过分子相加等于分母即可求出结果。思考方向：看到平行优先考虑相似三角形，待求式是两个分式相加，优先想到转化为同分母分式求和。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，BC//AD，
∵AB在AM上，AD在AN上，
∴CD//AM，BC//AN，
∴△NCD∽△NAM，△MCB∽△MNA，
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{CD}{AM}=\frac{NC}{NM}$，$\frac{BC}{AN}=\frac{MC}{MN}$，
∴$\frac{CD}{AM}+\frac{BC}{AN}=\frac{NC}{NM}+\frac{MC}{MN}=\frac{NC+MC}{MN}$，
又
∵点C在MN上，
∴$NC+MC=MN$，
∴原式=$\frac{MN}{MN}=1$。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形和平行四边形结合的基础题型，解题的核心是利用平行构造相似三角形，将待求的分式和转化为同分母比例的和，简化计算。
【难度系数】
0.7
解题时先结合平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线，进而推导出两对相似三角形；再利用相似三角形的对应边成比例，将待求的两个分式转化为以MN为分母的比例式，最后通过分子相加等于分母即可求出结果。思考方向：看到平行优先考虑相似三角形，待求式是两个分式相加，优先想到转化为同分母分式求和。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，BC//AD，
∵AB在AM上，AD在AN上，
∴CD//AM，BC//AN，
∴△NCD∽△NAM，△MCB∽△MNA，
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{CD}{AM}=\frac{NC}{NM}$，$\frac{BC}{AN}=\frac{MC}{MN}$，
∴$\frac{CD}{AM}+\frac{BC}{AN}=\frac{NC}{NM}+\frac{MC}{MN}=\frac{NC+MC}{MN}$，
又
∵点C在MN上，
∴$NC+MC=MN$，
∴原式=$\frac{MN}{MN}=1$。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形和平行四边形结合的基础题型，解题的核心是利用平行构造相似三角形，将待求的分式和转化为同分母比例的和，简化计算。
【难度系数】
0.7
例2 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$于点$D$,$BD=8$,$CD=2$,则$AD=$
4
。答案
4
解析
【分析】
本题可利用相似三角形的知识求解，首先观察到△ABC为直角三角形，AD是斜边BC上的高，属于相似三角形的“母子型”基本模型。第一步先推导角的等量关系证明△ABD与△CAD相似，第二步根据相似三角形对应边成比例的性质列出关于AD的等式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
又
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
在△ABD和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADB=∠ CDA=90°\\∠ B=∠ CAD\end{array} $
∴△ABD∽△CAD（AA），
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，即$AD^2=BD· CD$，
将BD=8，CD=2代入得：
$AD^2=8×2=16$，
∵AD为线段长度，大于0，
∴$AD=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；射影定理
【点评】
本题是相似三角形“母子型”模型的典型应用题，熟练掌握该模型的特征，既可以通过证明相似求解，也可直接用射影定理的结论快速计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
本题可利用相似三角形的知识求解，首先观察到△ABC为直角三角形，AD是斜边BC上的高，属于相似三角形的“母子型”基本模型。第一步先推导角的等量关系证明△ABD与△CAD相似，第二步根据相似三角形对应边成比例的性质列出关于AD的等式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
又
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
在△ABD和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADB=∠ CDA=90°\\∠ B=∠ CAD\end{array} $
∴△ABD∽△CAD（AA），
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，即$AD^2=BD· CD$，
将BD=8，CD=2代入得：
$AD^2=8×2=16$，
∵AD为线段长度，大于0，
∴$AD=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；射影定理
【点评】
本题是相似三角形“母子型”模型的典型应用题，熟练掌握该模型的特征，既可以通过证明相似求解，也可直接用射影定理的结论快速计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
变式 如图，在$△ ABC$中，D为BC上一点，且$∠ BAD=∠ C$，$BD=4$，$BC=9$，则$AB=$（
A.6
B.5
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{5}$
A
）A.6
B.5
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{5}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先观察角的关系：已知∠BAD=∠C，同时△ABD和△CBA有公共角∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，代入已知边长即可求出AB的长度。
【解析】
在$△ ABD$和$△ CBA$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ B \quad (\mathrm{公共角})\\∠ BAD = ∠ C \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABD ∽ △ CBA$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB}$
变形得$AB^2 = BD · BC$
将$BD=4$，$BC=9$代入得：
$AB^2 = 4 × 9 = 36$
$\because AB$为线段长度，大于0
$\therefore AB = \sqrt{36} = 6$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是找到两组相等的角判定三角形相似，再通过比例关系求解边长，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察角的关系：已知∠BAD=∠C，同时△ABD和△CBA有公共角∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，代入已知边长即可求出AB的长度。
【解析】
在$△ ABD$和$△ CBA$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ B \quad (\mathrm{公共角})\\∠ BAD = ∠ C \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABD ∽ △ CBA$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB}$
变形得$AB^2 = BD · BC$
将$BD=4$，$BC=9$代入得：
$AB^2 = 4 × 9 = 36$
$\because AB$为线段长度，大于0
$\therefore AB = \sqrt{36} = 6$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是找到两组相等的角判定三角形相似，再通过比例关系求解边长，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
例3 如图，在$□ ABCD$中，点E在AD上，BE交AC于点F。若$AE=3ED$，则$\frac{AF}{FC}$的值为（
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
例3题图
变式题图
A
）A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
例3题图
变式题图
答案
A
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知AE和ED的数量关系，先求出AE与BC的比值；再根据平行线得到的内错角相等，证明△AEF与△CBF相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出AF与FC的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC
∵AE=3ED
∴AD=AE+ED=3ED+ED=4ED
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{3ED}{4ED}=\frac{3}{4}$
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{3}{4}$
∵AD//BC
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF
∴△AEF∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{BC}=\frac{3}{4}$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合基础题，解题的核心是通过平行四边形的平行特征构造相似三角形，再结合线段比例关系推导所求比值，是相似三角形应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知AE和ED的数量关系，先求出AE与BC的比值；再根据平行线得到的内错角相等，证明△AEF与△CBF相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出AF与FC的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC
∵AE=3ED
∴AD=AE+ED=3ED+ED=4ED
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{3ED}{4ED}=\frac{3}{4}$
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{3}{4}$
∵AD//BC
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF
∴△AEF∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{BC}=\frac{3}{4}$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合基础题，解题的核心是通过平行四边形的平行特征构造相似三角形，再结合线段比例关系推导所求比值，是相似三角形应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
变式 如图，直线$l_1 // l_2$，$AF:FB=2:3$，$BC:CD=2:1$，则$AE:EC=$（
A.$5:2$
B.$4:1$
C.$2:1$
D.$3:2$
C
）A.$5:2$
B.$4:1$
C.$2:1$
D.$3:2$
答案
C
解析
【分析】
本题需结合平行线性质与相似三角形的判定、性质求解线段比例。首先由$l_1 // l_2$可证得$△ AEF ∽ △ BDF$，根据已知$AF:FB$的比例得到$AE$与$BD$的数量关系；再结合$BC:CD$的比例，将$BD$用$CD$表示，最后根据平行线对应的线段比例关系即可求出$AE:EC$的比值。
【解析】
∵ 直线$l_1 // l_2$，
∴ $∠ EAF = ∠ DBF$，$∠ AEF = ∠ BDF$，
∴ $△ AEF ∽ △ BDF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AE}{BD}=\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}$。
设$CD=k$，
∵ $BC:CD=2:1$，
∴ $BC=2k$，$BD=BC+CD=3k$，
将$BD=3k$代入$\frac{AE}{BD}=\frac{2}{3}$，得$\frac{AE}{3k}=\frac{2}{3}$，解得$AE=2k$。
又
∵ $l_1 // l_2$，即$AE // CD$，
∴ $△ AEC$与$△ DCE$的对应边成比例，结合$CD=k$，可得$AE:EC=2k:k=2:1$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题关键是结合平行线特征识别对应的相似三角形，理清各线段的比例关系，是相似三角形章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
本题需结合平行线性质与相似三角形的判定、性质求解线段比例。首先由$l_1 // l_2$可证得$△ AEF ∽ △ BDF$，根据已知$AF:FB$的比例得到$AE$与$BD$的数量关系；再结合$BC:CD$的比例，将$BD$用$CD$表示，最后根据平行线对应的线段比例关系即可求出$AE:EC$的比值。
【解析】
∵ 直线$l_1 // l_2$，
∴ $∠ EAF = ∠ DBF$，$∠ AEF = ∠ BDF$，
∴ $△ AEF ∽ △ BDF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AE}{BD}=\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}$。
设$CD=k$，
∵ $BC:CD=2:1$，
∴ $BC=2k$，$BD=BC+CD=3k$，
将$BD=3k$代入$\frac{AE}{BD}=\frac{2}{3}$，得$\frac{AE}{3k}=\frac{2}{3}$，解得$AE=2k$。
又
∵ $l_1 // l_2$，即$AE // CD$，
∴ $△ AEC$与$△ DCE$的对应边成比例，结合$CD=k$，可得$AE:EC=2k:k=2:1$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题关键是结合平行线特征识别对应的相似三角形，理清各线段的比例关系，是相似三角形章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
