8. 如图,在正三角形ABC中,点D,E分别在AC,AB上,且$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3},AE=BE$,那么有（）

A.$△ AED ∽ △ BED$
B.$△ BAD ∽ △ BCD$
C.$△ AED ∽ △ ABD$
D.$△ AED ∽ △ CBD$

8. D

【分析】
首先明确正三角形的性质：三边相等，三个内角都是60°。本题要判断三角形相似，可采用相似三角形的SAS判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）解题。我们可以先设正三角形的边长为参数，分别表示出各相关线段的长度，再计算各选项中两个三角形对应边的比值，结合对应夹角是否相等逐一验证，即可选出正确答案。
【解析】
设正△ABC的边长为$3k$（$k＞0$），则$AB=BC=AC=3k$，$∠ A=∠ C=60°$。
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴$AD=\frac{1}{3}AC=k$，$DC=AC-AD=2k$。
∵$AE=BE$，
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{3k}{2}$。
逐一分析选项：
A. $△ AED$与$△ BED$中，$∠ A=60°$，$∠ BED$是$△ AED$的外角，$∠ BED＞∠ A=60°$，对应角不相等，两三角形不相似，排除；
B. $△ BAD$与$△ BCD$中，$\frac{AD}{CD}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{3k}{3k}=1$，对应边比值不相等，两三角形不相似，排除；
C. $△ AED$与$△ ABD$中，$\frac{AE}{AD}=\frac{\frac{3k}{2}}{k}=\frac{3}{2}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$，对应边比值不相等，两三角形不相似，排除；
D. $△ AED$与$△ CBD$中，$\frac{AE}{BC}=\frac{\frac{3k}{2}}{3k}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{CD}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{CD}$，且夹角$∠ A=∠ C=60°$，根据SAS判定定理，可得$△ AED ∽ △ CBD$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的SAS判定
【点评】
本题是相似三角形判定的典型基础题，通过设参数表示边长的方法简化了比值计算，结合等边三角形的性质即可快速验证相似关系，能有效帮助学生掌握相似三角形SAS判定的应用方法。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在正方形ABCD中,若E为CD边的中点,P是BC边上的一动点,给出下列条件:
①$BP:BC=1:3$;
②$BP:BC=1:2$;
③$BP:BC=2:3$;
④$BP:BC=3:4$。
其中能推出$△ ABP$与$△ ECP$一定相似的条件有（）

A.3个
B.2个
C.1个
D.0个

9. C

【分析】
首先明确正方形的性质：四个角均为直角，四条边长度相等，因此△ABP和△ECP中已有∠B=∠C=90°这一组相等的角。根据相似三角形的SAS判定定理，只需验证这两个直角的夹边是否对应成比例即可判定两三角形是否相似。我们可以设正方形边长为具体数值简化计算，再逐一验证4个条件是否满足边的比例要求。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2，则AB=BC=CD=2，∠B=∠C=90°。
∵E是CD的中点，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=1$。
要使△ABP与△ECP相似，已知∠B=∠C=90°，需满足两组夹边对应成比例，分两种情况讨论：
1. 若$\frac{AB}{CE}=\frac{BP}{CP}$，代入数值得$\frac{2}{1}=\frac{BP}{2-BP}$，解得$BP=\frac{4}{3}$，此时$BP:BC=\frac{4}{3}:2=2:3$，对应条件③；
2. 若$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CE}$，代入数值得$\frac{2}{2-BP}=\frac{BP}{1}$，整理得$BP^2-2BP+2=0$，该方程判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×2=-4＜0$，无实数解，该情况不存在。
逐一验证4个条件：
①$BP:BC=1:3$时，边的比例不相等，两三角形不相似；
②$BP:BC=1:2$时，边的比例不相等，两三角形不相似；
③$BP:BC=2:3$时，边的比例相等，两三角形相似；
④$BP:BC=3:4$时，边的比例不相等，两三角形不相似。
综上，只有1个条件能推出两三角形一定相似。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的SAS判定
【点评】
本题结合正方形的性质考查相似三角形的判定，解题关键是先确定一组相等的角，再根据SAS判定定理推导边的比例关系，注意要考虑相似三角形对应边的不同情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

10. 如图，已知在△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，
AB=15，AC=12，AD=8，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似。

10. 10 或 $\frac{32}{5}$
【解析】由题图知$∠ PAD=∠ BAC$。
当$AP:AB=AD:AC$时,$△ APD∽△ ABC$,
所以$AP:15=8:12$,所以$AP=10$;
当$AP:AC=AD:AB$时,$△ APD∽△ ACB$,
所以$AP:12=8:15$,所以$AP=\frac{32}{5}$。
所以当AP的长度为10或$\frac{32}{5}$时,$△ ADP$和$△ ABC$相似。

【分析】
本题中△ADP和△ABC有公共角∠A，可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定相似关系。由于题目没有明确两个三角形的对应顶点，因此需要分两种情况讨论对应边的比例关系，分别代入已知边长计算AP的长度即可。
【解析】
由图可知∠PAD=∠BAC（公共角），分两种情况讨论：
1. 当$\frac{AP}{AB}=\frac{AD}{AC}$时，△APD∽△ABC，
将AB=15，AC=12，AD=8代入比例式，得$\frac{AP}{15}=\frac{8}{12}$，解得$AP=10$；
2. 当$\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AB}$时，△APD∽△ACB，
将已知边长代入比例式，得$\frac{AP}{12}=\frac{8}{15}$，解得$AP=\frac{32}{5}$。
【答案】
10或$\frac{32}{5}$
【知识点】
相似三角形SAS判定；分类讨论思想；比例计算
【点评】
本题是相似三角形判定的常规题型，解题核心是抓住公共角这一隐含条件，易错点是未明确对应顶点时忽略分类讨论，导致漏解。
【难度系数】
0.6

11. 如图,在$△ ABC$中,D是BC上一点,E是AD上一点,且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CE}$,$∠ BAD=∠ ECA$。
(1)求证:$AC^2=BC·CD$。
(2)若AD是$△ ABC$的中线,求$\frac{CE}{AC}$的值。

11. 解:(1)证明:因为$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CE}$,$∠ BAD=∠ ECA$,
所以$△ BAD∽△ ACE$,所以$∠ B=∠ EAC$。
因为$∠ ACB=∠ DCA$,所以$△ ABC∽△ DAC$,
所以$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$,所以$AC^2=BC· CD$。
(2)因为$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$,$∠ CED=∠ CAE+∠ ECA$,
且由(1)可知,$∠ B=∠ EAC$,$∠ BAD=∠ ECA$,
所以$∠ ADC=∠ CED$,所以$CE=CD$。
因为AD是$△ ABC$的中线,所以$BC=2CD$,所以$BC=2CE$。
由(1)知$AC^2=BC· CD$,
所以$AC^2=2CE· CE$,所以$(\frac{CE}{AC})^2=\frac{1}{2}$,即$\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

【分析】
(1)要证明$AC^2=BC·CD$，可先将等积式转化为比例式$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$，只需证明$△ ABC ∽ △ DAC$即可。首先结合已知的边成比例、角相等的条件，先证明$△ BAD ∽ △ ACE$，得到对应角$∠B=∠EAC$，再结合公共角$∠ACB=∠DCA$，即可证得$△ ABC ∽ △ DAC$，进而推导出等积式。
(2)要求$\frac{CE}{AC}$的值，可结合(1)的结论$AC^2=BC·CD$推导：先利用三角形外角的性质和(1)得到的等角关系，证明$CE=CD$，再结合中线的性质得到$BC=2CD=2CE$，将边的关系代入(1)的等积式即可求出比值。
【解析】
(1)证明：
$\because \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CE}$，$∠BAD=∠ECA$，
$\therefore △ BAD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠B=∠EAC$。
又$\because ∠ACB=∠DCA$（公共角），
$\therefore △ ABC ∽ △ DAC$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$，
$\therefore AC^2=BC·CD$。
(2)解：
由三角形外角的性质可得：$∠ADC=∠B+∠BAD$，$∠CED=∠CAE+∠ECA$。
由(1)知$∠B=∠EAC$，结合已知$∠BAD=∠ECA$，
$\therefore ∠ADC=∠CED$，
$\therefore CE=CD$（等角对等边）。
$\because AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore BC=2CD=2CE$。
将$BC=2CE$、$CD=CE$代入$AC^2=BC·CD$，得：
$AC^2=2CE·CE=2CE^2$，
$\therefore \frac{CE^2}{AC^2}=\frac{1}{2}$，
$\because CE、AC$均为正数，
$\therefore \frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)证明如上；(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形中线的定义，比例的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题时可先将待证等积式转化为比例式，明确要证明的相似三角形，再结合已知条件逐步推导角、边的关系即可求解，第二问要注意直接使用第一问的结论简化计算过程。
【难度系数】
0.6

12. 如图，AC是$\odot O$的直径，弦BD交AC于点E。
(1)求证：$△ ADE ∽ △ BCE$。
(2)如果$AD^2 = AE · AC$，求证：$CD = CB$。

12. 证明:(1)因为$∠ A$与$∠ B$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角,所以$∠ A=∠ B$。
又因为$∠ AED=∠ BEC$,所以$△ ADE∽△ BCE$。
(2)因为$AD^2=AE· AC$,所以$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AC}$。
又因为$∠ A=∠ A$,所以$△ ADE∽△ ACD$,所以$∠ AED=∠ ADC$。
因为AC是$\odot O$的直径,所以$∠ ADC=90°$,
所以$∠ AED=90°$,所以$AC⊥ BD$,
所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$,所以$CD=CB$。

【分析】
(1) 要证明$△ ADE ∽ △ BCE$，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ A=∠ B$，再结合对顶角相等得到$∠ AED=∠ BEC$，即可证得两三角形相似。
(2) 先将已知的乘积式转化为比例式，结合公共角$∠ A$，可证$△ ADE ∽ △ ACD$，得到对应角相等；再利用直径所对的圆周角为直角，推出$AC⊥ BD$，最后根据垂径定理的推论得到等弧，由等弧对等弦即可证得$CD=CB$。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ A$与$∠ B$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ A=∠ B$，
又$\because ∠ AED=∠ BEC$（对顶角相等），
$\therefore △ ADE∽△ BCE$。
(2) 证明：$\because AD^2=AE·AC$，
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AC}$，
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角），
$\therefore △ ADE∽△ ACD$，
$\therefore ∠ AED=∠ ADC$，
$\because AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ AED=90°$，即$AC⊥ BD$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore CD=CB$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
圆周角定理、相似三角形的判定、垂径定理
【点评】
本题属于圆与相似三角形结合的基础综合题，解题核心是熟练掌握圆周角性质、相似三角形的判定规则以及垂径定理的推论，理清各知识点之间的关联即可顺利推导，是几何板块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7