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1. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$,则图中一定相似的三角形是（
A.$△ BOA ∽ △ BAD$
B.$△ BOA ∽ △ COD$
C.$△ BOC ∽ △ BCD$
D.$△ COB ∽ △ CBA$
B
）A.$△ BOA ∽ △ BAD$
B.$△ BOA ∽ △ COD$
C.$△ BOC ∽ △ BCD$
D.$△ COB ∽ △ CBA$
答案
1. B
解析
【分析】
拿到题目首先看已知条件：给出了两组边的比例关系$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$，可优先考虑用相似三角形的“SAS”判定定理分析。接下来需要验证这两组对应边的夹角是否相等：观察图形可知，比例式中的两组边的夹角是对顶角，对顶角相等，正好满足“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件，由此即可得到对应相似的三角形，最后对照选项选出答案即可。
【解析】
已知$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$，
∵对角线AC、BD相交于点O，
∴$∠ COD=∠ AOB$（对顶角相等），
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ COD ∽ △ AOB$，即$△ BOA ∽ △ COD$。
其余选项均无足够的边角条件证明三角形相似，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的SAS判定，对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的核心是结合图形特征，找到成比例线段对应的相等夹角，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先看已知条件：给出了两组边的比例关系$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$，可优先考虑用相似三角形的“SAS”判定定理分析。接下来需要验证这两组对应边的夹角是否相等：观察图形可知，比例式中的两组边的夹角是对顶角，对顶角相等，正好满足“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件，由此即可得到对应相似的三角形，最后对照选项选出答案即可。
【解析】
已知$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$，
∵对角线AC、BD相交于点O，
∴$∠ COD=∠ AOB$（对顶角相等），
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ COD ∽ △ AOB$，即$△ BOA ∽ △ COD$。
其余选项均无足够的边角条件证明三角形相似，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的SAS判定，对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的核心是结合图形特征，找到成比例线段对应的相等夹角，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$与$△ ADE$中,$∠ B=∠ D$,添加下列一个条件不能使$△ ABC∽△ ADE$的是 (
A.$∠ BAD=∠ CAE$
B.$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$
C.$∠ C=∠ E$
D.$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$
第2题图 第3题图
D
)A.$∠ BAD=∠ CAE$
B.$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$
C.$∠ C=∠ E$
D.$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$
第2题图 第3题图
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，已知△ABC与△ADE已有一组对应角相等∠B=∠D，要判断添加哪个条件无法判定相似，需结合相似三角形的判定定理逐一分析选项：若添加另一组对应角相等，可通过AA判定相似；若添加∠B、∠D的两组夹边对应成比例，可通过SAS判定相似，若不满足上述两类条件则无法判定。
【解析】
已知在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，逐一分析选项：
1. 选项A：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，又
∵∠B=∠D，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△ADE，不符合题意；
2. 选项B：
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，又
∵∠B、∠D分别是两组对应边AB与BC、AD与DE的夹角，且∠B=∠D，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△ADE，不符合题意；
3. 选项C：
∵∠C=∠E，∠B=∠D，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△ADE，不符合题意；
4. 选项D：若$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$，此时成比例的两组边的夹角不是已知相等的∠B和∠D，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、角的和差运算、比例的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础易错题，易错点是使用两边成比例判定相似时，忽略必须是“夹角相等”的条件，解题时要注意对应边和对应角的匹配关系，牢记相似三角形各判定定理的要求。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定，已知△ABC与△ADE已有一组对应角相等∠B=∠D，要判断添加哪个条件无法判定相似，需结合相似三角形的判定定理逐一分析选项：若添加另一组对应角相等，可通过AA判定相似；若添加∠B、∠D的两组夹边对应成比例，可通过SAS判定相似，若不满足上述两类条件则无法判定。
【解析】
已知在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，逐一分析选项：
1. 选项A：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，又
∵∠B=∠D，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△ADE，不符合题意；
2. 选项B：
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，又
∵∠B、∠D分别是两组对应边AB与BC、AD与DE的夹角，且∠B=∠D，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△ADE，不符合题意；
3. 选项C：
∵∠C=∠E，∠B=∠D，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△ADE，不符合题意；
4. 选项D：若$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$，此时成比例的两组边的夹角不是已知相等的∠B和∠D，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、角的和差运算、比例的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础易错题，易错点是使用两边成比例判定相似时，忽略必须是“夹角相等”的条件，解题时要注意对应边和对应角的匹配关系，牢记相似三角形各判定定理的要求。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$和$△ ADE$中，$∠ BAD = ∠ CAE$，要使$△ ABC$与$△ ADE$相似，还需要满足下列条件中的（
A.$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$
B.$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$
A
）A.$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$
B.$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$
答案
3. A
解析
【分析】
首先根据已知的∠BAD=∠CAE，结合角的和差关系可推导出△ABC和△ADE的一组对应角∠BAC=∠DAE。要判定两个三角形相似，若用“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理，只需找到这组相等角的两边对应成比例即可，接下来逐一比对选项中的比例式是否符合要求。
【解析】
已知∠BAD=∠CAE，等式两边同时加∠DAC可得：
$∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$，即$∠ BAC=∠ DAE$。
根据相似三角形的SAS判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此要使$△ ABC ∽ △ ADE$，需满足夹$∠ BAC$和$∠ DAE$的边对应成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
将该比例式交叉变形可得$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，与选项A一致。
其余选项中的比例式对应的边不是两个相等夹角的对应边，无法用SAS判定相似，也不符合其他相似判定的条件，因此排除。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形SAS判定；比例的基本性质；角的和差计算
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是先推导得到一组相等的夹角，再结合SAS判定定理匹配对应成比例的边，要注意相似判定中“两边成比例且夹角相等”的条件，避免混淆对应边。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的∠BAD=∠CAE，结合角的和差关系可推导出△ABC和△ADE的一组对应角∠BAC=∠DAE。要判定两个三角形相似，若用“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理，只需找到这组相等角的两边对应成比例即可，接下来逐一比对选项中的比例式是否符合要求。
【解析】
已知∠BAD=∠CAE，等式两边同时加∠DAC可得：
$∠ BAD+∠ DAC=∠ CAE+∠ DAC$，即$∠ BAC=∠ DAE$。
根据相似三角形的SAS判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此要使$△ ABC ∽ △ ADE$，需满足夹$∠ BAC$和$∠ DAE$的边对应成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
将该比例式交叉变形可得$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，与选项A一致。
其余选项中的比例式对应的边不是两个相等夹角的对应边，无法用SAS判定相似，也不符合其他相似判定的条件，因此排除。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形SAS判定；比例的基本性质；角的和差计算
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是先推导得到一组相等的夹角，再结合SAS判定定理匹配对应成比例的边，要注意相似判定中“两边成比例且夹角相等”的条件，避免混淆对应边。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=76°$，$AB=8$，$AC=6$。将$△ ABC$沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（
C
）答案
4. C
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题思路如下：首先明确原三角形的已知角∠A=76°、边长AB=8、AC=6，再回忆相似三角形的常用判定定理：两角分别相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS）、三边对应成比例（SSS），最后逐一验证每个选项中阴影三角形是否满足上述判定定理，不满足的即为正确答案。验证时要注意：使用SAS判定时，相等的角必须是成比例的两组边的夹角。
【解析】
解：已知△ABC中，∠A=76°，AB=8，AC=6，结合相似三角形判定定理逐一分析选项：
选项A：阴影三角形与原△ABC有公共角∠A，且另有一组角对应相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似；
选项B：阴影三角形有一个内角为76°与∠A相等，且另有一组角与原△ABC的内角对应相等，满足AA判定，故两三角形相似；
选项C：阴影三角形与原△ABC虽有公共角，但夹公共角的两组边对应不成比例，且无其他相等的对应角，不满足任何相似判定条件，故两三角形不相似；
选项D：阴影三角形与原△ABC有公共角，且夹公共角的两组边对应成比例，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故两三角形相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、AA相似判定、SAS相似判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的实际应用，解题核心是结合图形特征匹配对应的判定条件，尤其要注意SAS判定中“夹角相等”的前提，避免忽略夹角条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定，解题思路如下：首先明确原三角形的已知角∠A=76°、边长AB=8、AC=6，再回忆相似三角形的常用判定定理：两角分别相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS）、三边对应成比例（SSS），最后逐一验证每个选项中阴影三角形是否满足上述判定定理，不满足的即为正确答案。验证时要注意：使用SAS判定时，相等的角必须是成比例的两组边的夹角。
【解析】
解：已知△ABC中，∠A=76°，AB=8，AC=6，结合相似三角形判定定理逐一分析选项：
选项A：阴影三角形与原△ABC有公共角∠A，且另有一组角对应相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似；
选项B：阴影三角形有一个内角为76°与∠A相等，且另有一组角与原△ABC的内角对应相等，满足AA判定，故两三角形相似；
选项C：阴影三角形与原△ABC虽有公共角，但夹公共角的两组边对应不成比例，且无其他相等的对应角，不满足任何相似判定条件，故两三角形不相似；
选项D：阴影三角形与原△ABC有公共角，且夹公共角的两组边对应成比例，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故两三角形相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、AA相似判定、SAS相似判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的实际应用，解题核心是结合图形特征匹配对应的判定条件，尤其要注意SAS判定中“夹角相等”的前提，避免忽略夹角条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图，这是用卡钳测量容器内径的示意图。若卡钳上A，D两端点之间的距离为6 cm，$\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}=\frac{3}{5}$，则容器的内径BC的长为
10
cm。答案
5. 10
解析
【分析】
首先观察图形，∠AOD与∠BOC是对顶角，二者相等，结合已知的两边对应成比例的条件，可依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定△AOD和△BOC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知AD的长度即可求出BC的长。
【解析】
∵∠AOD和∠BOC是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC，
又
∵$\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}=\frac{3}{5}$，
∴△AOD∽△BOC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{AO}{BO}=\frac{3}{5}$，
已知AD=6cm，代入得$\frac{6}{BC}=\frac{3}{5}$，
解得$BC=6×\frac{5}{3}=10$（cm）。
【答案】
10
【知识点】
相似三角形的判定（SAS）；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是准确找到对应相等的角和成比例的边，判定三角形相似后，利用相似三角形对应边成比例的性质计算未知边长，解题思路清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，∠AOD与∠BOC是对顶角，二者相等，结合已知的两边对应成比例的条件，可依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定△AOD和△BOC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知AD的长度即可求出BC的长。
【解析】
∵∠AOD和∠BOC是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC，
又
∵$\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}=\frac{3}{5}$，
∴△AOD∽△BOC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{AO}{BO}=\frac{3}{5}$，
已知AD=6cm，代入得$\frac{6}{BC}=\frac{3}{5}$，
解得$BC=6×\frac{5}{3}=10$（cm）。
【答案】
10
【知识点】
相似三角形的判定（SAS）；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是准确找到对应相等的角和成比例的边，判定三角形相似后，利用相似三角形对应边成比例的性质计算未知边长，解题思路清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6。当AD=
9
时，△ABC∽△ACD。答案
6. 9
解析
【分析】
首先从已知条件入手，AC平分∠BAD，可推出∠BAC=∠CAD，即△ABC和△ACD已经有一组对应角相等。要使两个三角形相似，结合相似三角形的SAS判定定理，只需要这组相等角的两组夹边对应成比例即可。接下来找准对应边：夹∠BAC的两边是AB和AC，夹∠CAD的两边是AC和AD，列出比例后代入已知数值就能求出AD的长度。
【解析】
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAC = ∠CAD。
要使△ABC∽△ACD，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，需满足：
$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$
将AB=4，AC=6代入比例式得：
$\frac{4}{6}=\frac{6}{AD}$
解得 $AD=\frac{6×6}{4}=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 相似三角形的SAS判定
3. 比例的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的关键是找准相等角对应的两组夹边，避免对应边混淆列错比例式，掌握相似三角形的判定定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.75
首先从已知条件入手，AC平分∠BAD，可推出∠BAC=∠CAD，即△ABC和△ACD已经有一组对应角相等。要使两个三角形相似，结合相似三角形的SAS判定定理，只需要这组相等角的两组夹边对应成比例即可。接下来找准对应边：夹∠BAC的两边是AB和AC，夹∠CAD的两边是AC和AD，列出比例后代入已知数值就能求出AD的长度。
【解析】
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAC = ∠CAD。
要使△ABC∽△ACD，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，需满足：
$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$
将AB=4，AC=6代入比例式得：
$\frac{4}{6}=\frac{6}{AD}$
解得 $AD=\frac{6×6}{4}=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 相似三角形的SAS判定
3. 比例的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的关键是找准相等角对应的两组夹边，避免对应边混淆列错比例式，掌握相似三角形的判定定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.75
7. 如图，在$6×6$的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图。
(1) 在图1中画一个格点三角形ADE，使$△ ADE∽△ ABC$。
(2) 在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使$CQ=2AQ$。
(1) 在图1中画一个格点三角形ADE，使$△ ADE∽△ ABC$。
(2) 在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使$CQ=2AQ$。
答案
7. 解:(1)如图1所示,△ADE即为所求。
(2)如图2所示,线段BP即为所求。
解析
【分析】
(1) 要绘制与△ABC相似的△ADE，首先先明确△ABC的边长比例，可选取合适的相似比（如相似比为2），先确定AD的长度为AB的2倍，再根据相似三角形对应边成比例的性质，找到符合条件的格点E，保证△ADE的各边均为△ABC对应边的2倍即可。
(2) 要满足CQ=2AQ，即AQ:QC=1:2，可利用相似三角形对应边成比例的性质，先推导过点B且与AC交于Q的直线的特征，找到符合要求的格点P，使得连接BP后构造出的相似三角形相似比为1:2，即可满足线段比例要求。
【解析】
(1) 设每个小方格的边长为1，计算得△ABC的三边长：AB=1，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。选取相似比为2，在AB的延长线上取格点D使AD=2，再找到格点E，使DE=2√5，AE=4√2，此时△ADE三边与△ABC三边对应成比例，故△ADE∽△ABC。
(2) 要使CQ=2AQ，即AQ:QC=1:2，根据相似三角形的性质，找到格点P，连接BP后BP与AC交于Q，可证得△AQP与△CQB的相似比为1:2，因此CQ=2AQ，线段BP符合要求。
【答案】
(1)如图1所示,△ADE即为所求。
(2)如图2所示,线段BP即为所求。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、格点作图
【点评】
本题结合网格考查相似三角形相关知识的应用，需要学生熟练掌握相似的判定和性质，结合网格的边长特征推导点的位置，能有效锻炼学生的数形结合能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要绘制与△ABC相似的△ADE，首先先明确△ABC的边长比例，可选取合适的相似比（如相似比为2），先确定AD的长度为AB的2倍，再根据相似三角形对应边成比例的性质，找到符合条件的格点E，保证△ADE的各边均为△ABC对应边的2倍即可。
(2) 要满足CQ=2AQ，即AQ:QC=1:2，可利用相似三角形对应边成比例的性质，先推导过点B且与AC交于Q的直线的特征，找到符合要求的格点P，使得连接BP后构造出的相似三角形相似比为1:2，即可满足线段比例要求。
【解析】
(1) 设每个小方格的边长为1，计算得△ABC的三边长：AB=1，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。选取相似比为2，在AB的延长线上取格点D使AD=2，再找到格点E，使DE=2√5，AE=4√2，此时△ADE三边与△ABC三边对应成比例，故△ADE∽△ABC。
(2) 要使CQ=2AQ，即AQ:QC=1:2，根据相似三角形的性质，找到格点P，连接BP后BP与AC交于Q，可证得△AQP与△CQB的相似比为1:2，因此CQ=2AQ，线段BP符合要求。
【答案】
(1)如图1所示,△ADE即为所求。
(2)如图2所示,线段BP即为所求。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、格点作图
【点评】
本题结合网格考查相似三角形相关知识的应用，需要学生熟练掌握相似的判定和性质，结合网格的边长特征推导点的位置，能有效锻炼学生的数形结合能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.65
