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18.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=63°$，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AC$上，且$AB=AD=DE=EC$，求$∠ C$的度数.
答案
18.设$∠C=x$.
$\because ED=EC,\therefore ∠ EDC=∠ C=x.\therefore ∠ DEA=∠ C+∠ EDC=2x.$
$\because AD=DE,\therefore ∠ DAE=∠ DEA=2x.\therefore ∠ ADB=∠ C+∠ DAE=3x.$
$\because AB=AD,\therefore ∠ B=∠ ADB=3x=63°,$解得 $x=21°.\therefore ∠ C=21°.$
$\because ED=EC,\therefore ∠ EDC=∠ C=x.\therefore ∠ DEA=∠ C+∠ EDC=2x.$
$\because AD=DE,\therefore ∠ DAE=∠ DEA=2x.\therefore ∠ ADB=∠ C+∠ DAE=3x.$
$\because AB=AD,\therefore ∠ B=∠ ADB=3x=63°,$解得 $x=21°.\therefore ∠ C=21°.$
解析
【分析】
本题中存在多组相等的边，对应多个等腰三角形，解题时首先设∠C的度数为x，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，逐步推导将∠ADB用含x的式子表示，再根据AB=AD可得∠B=∠ADB，结合已知∠B的度数列方程求解，即可得到∠C的度数。
【解析】
设$∠C=x$.
$\because ED=EC,\therefore ∠ EDC=∠ C=x.\therefore ∠ DEA=∠ C+∠ EDC=2x.$
$\because AD=DE,\therefore ∠ DAE=∠ DEA=2x.\therefore ∠ ADB=∠ C+∠ DAE=3x.$
$\because AB=AD,\therefore ∠ B=∠ ADB=3x=63°,$解得 $x=21°.\therefore ∠ C=21°.$
【答案】
$∠C=21°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；方程思想求角度
【点评】
这道题侧重考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合运用，解题的核心是通过设未知数将不同位置的角建立关联，进而利用已知条件列方程求解，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题中存在多组相等的边，对应多个等腰三角形，解题时首先设∠C的度数为x，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，逐步推导将∠ADB用含x的式子表示，再根据AB=AD可得∠B=∠ADB，结合已知∠B的度数列方程求解，即可得到∠C的度数。
【解析】
设$∠C=x$.
$\because ED=EC,\therefore ∠ EDC=∠ C=x.\therefore ∠ DEA=∠ C+∠ EDC=2x.$
$\because AD=DE,\therefore ∠ DAE=∠ DEA=2x.\therefore ∠ ADB=∠ C+∠ DAE=3x.$
$\because AB=AD,\therefore ∠ B=∠ ADB=3x=63°,$解得 $x=21°.\therefore ∠ C=21°.$
【答案】
$∠C=21°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；方程思想求角度
【点评】
这道题侧重考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合运用，解题的核心是通过设未知数将不同位置的角建立关联，进而利用已知条件列方程求解，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
19.如图，在$△ ABC$中，$EF$是$AB$的垂直平分线，$AD⊥ BC$，$D$为$CE$的中点。
(1)求证$BE=AC$。
(2)若$∠ B=40°$，求$∠ BAC$的度数。
(1)求证$BE=AC$。
(2)若$∠ B=40°$，求$∠ BAC$的度数。
答案
19.(1)如图,连接 AE.
$\because EF$ 是 AB 的垂直平分线,$\therefore BE=AE.$
$\because AD⊥ BC,D$ 为 CE 的中点,$\therefore AD$ 是 EC 的垂直平分线.
$\therefore AE=AC.\therefore BE=AC.$
(2)$\because BE=AE,∠ B=40°,\therefore ∠ EAB=∠ B=40°.$
$\because ∠ AEC$ 是$△ ABE$ 的外角,$\therefore ∠ AEC=∠ B+∠ BAE=40°+40°=80°.$
$\because AC=AE,\therefore ∠ ACE=∠ AEC=80°.$
$\therefore ∠ EAC=180°-80°-80°=20°.\therefore ∠ BAC=∠ BAE+∠ EAC=60°.$
解析
【分析】
(1)要证明BE=AC，两条线段无直接关联，需添加辅助线构造等量关系：连接AE。首先根据线段垂直平分线的性质，EF是AB的垂直平分线，可得BE=AE；再由AD⊥BC且D是CE中点，可知AD是CE的垂直平分线，可得AE=AC，通过等量代换即可完成证明。
(2)求∠BAC的度数，先利用等腰三角形等边对等角的性质，由BE=AE得∠EAB=∠B；再结合三角形外角的性质求出∠AEC的度数，由AE=AC可得∠C=∠AEC，利用三角形内角和求出∠EAC的度数，最后将∠BAE和∠EAC相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
(1)证明：如图，连接AE。
∵EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE。
∵AD⊥BC，D为CE的中点，
∴AD是EC的垂直平分线，
∴AE=AC。
∴BE=AC。
(2)解：
∵BE=AE，∠B=40°，
∴∠EAB=∠B=40°。
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=40°+40°=80°。
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=80°。
∴∠EAC=180°-80°-80°=20°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=40°+20°=60°。
【答案】
(1)如图,连接 AE.
$\because EF$ 是 AB 的垂直平分线,$\therefore BE=AE.$
$\because AD⊥ BC,D$ 为 CE 的中点,$\therefore AD$ 是 EC 的垂直平分线.
$\therefore AE=AC.\therefore BE=AC.$
(2)$\because BE=AE,∠ B=40°,\therefore ∠ EAB=∠ B=40°.$
$\because ∠ AEC$ 是$△ ABE$ 的外角,$\therefore ∠ AEC=∠ B+∠ BAE=40°+40°=80°.$
$\because AC=AE,\therefore ∠ ACE=∠ AEC=80°.$
$\therefore ∠ EAC=180°-80°-80°=20°.\therefore ∠ BAC=∠ BAE+∠ EAC=60°.$
【知识点】
线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形内外角性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过添加辅助线AE，利用线段垂直平分线性质得到相等线段，再结合等腰三角形、三角形内外角的性质推导求解，能有效考察学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明BE=AC，两条线段无直接关联，需添加辅助线构造等量关系：连接AE。首先根据线段垂直平分线的性质，EF是AB的垂直平分线，可得BE=AE；再由AD⊥BC且D是CE中点，可知AD是CE的垂直平分线，可得AE=AC，通过等量代换即可完成证明。
(2)求∠BAC的度数，先利用等腰三角形等边对等角的性质，由BE=AE得∠EAB=∠B；再结合三角形外角的性质求出∠AEC的度数，由AE=AC可得∠C=∠AEC，利用三角形内角和求出∠EAC的度数，最后将∠BAE和∠EAC相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
(1)证明：如图，连接AE。
∵EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE。
∵AD⊥BC，D为CE的中点，
∴AD是EC的垂直平分线，
∴AE=AC。
∴BE=AC。
(2)解：
∵BE=AE，∠B=40°，
∴∠EAB=∠B=40°。
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=40°+40°=80°。
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=80°。
∴∠EAC=180°-80°-80°=20°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=40°+20°=60°。
【答案】
(1)如图,连接 AE.
$\because EF$ 是 AB 的垂直平分线,$\therefore BE=AE.$
$\because AD⊥ BC,D$ 为 CE 的中点,$\therefore AD$ 是 EC 的垂直平分线.
$\therefore AE=AC.\therefore BE=AC.$
(2)$\because BE=AE,∠ B=40°,\therefore ∠ EAB=∠ B=40°.$
$\because ∠ AEC$ 是$△ ABE$ 的外角,$\therefore ∠ AEC=∠ B+∠ BAE=40°+40°=80°.$
$\because AC=AE,\therefore ∠ ACE=∠ AEC=80°.$
$\therefore ∠ EAC=180°-80°-80°=20°.\therefore ∠ BAC=∠ BAE+∠ EAC=60°.$
【知识点】
线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形内外角性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过添加辅助线AE，利用线段垂直平分线性质得到相等线段，再结合等腰三角形、三角形内外角的性质推导求解，能有效考察学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
20.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=3,DE=2,求BE的长.
答案
20.$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ BCD=90°.$
$\because AD⊥ CE,BE⊥ CE,\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°,∠ CBE+∠ BCD=90°.$
$\therefore ∠ ACD=∠ CBE.$
又$\because AC=BC,∠ ADC=∠ BEC=90°,$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(\mathrm{AAS}).\therefore EC=AD=3,BE=CD.$
$\because EC=CD+DE,\therefore BE=3-2=1.$
$\because AD⊥ CE,BE⊥ CE,\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°,∠ CBE+∠ BCD=90°.$
$\therefore ∠ ACD=∠ CBE.$
又$\because AC=BC,∠ ADC=∠ BEC=90°,$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(\mathrm{AAS}).\therefore EC=AD=3,BE=CD.$
$\because EC=CD+DE,\therefore BE=3-2=1.$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AD、BE均垂直于CE，已知AD=3，DE=2，要求BE的长。我们可以通过证明包含BE的三角形和已知边所在的三角形全等来求解：首先由垂直关系可得两个直角相等，再结合∠ACB=90°，利用同角的余角相等推出一组角相等，结合AC=BC的条件即可证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，结合线段和差关系就能计算出BE的长度。
【解析】
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ BCD=90°.$
$\because AD⊥ CE,BE⊥ CE,\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°,∠ CBE+∠ BCD=90°.$
$\therefore ∠ ACD=∠ CBE.$
又$\because AC=BC,∠ ADC=∠ BEC=90°,$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore EC=AD=3,BE=CD.$
$\because EC=CD+DE,$
$\therefore BE=CD=EC-DE=3-2=1.$
【答案】
$1$
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题型，解题关键是利用角的互余关系推导相等的角，进而证明三角形全等，将未知边转化为已知线段的差求解，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能灵活运用角的互余性质找到相等的角。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AD、BE均垂直于CE，已知AD=3，DE=2，要求BE的长。我们可以通过证明包含BE的三角形和已知边所在的三角形全等来求解：首先由垂直关系可得两个直角相等，再结合∠ACB=90°，利用同角的余角相等推出一组角相等，结合AC=BC的条件即可证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，结合线段和差关系就能计算出BE的长度。
【解析】
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ BCD=90°.$
$\because AD⊥ CE,BE⊥ CE,\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°,∠ CBE+∠ BCD=90°.$
$\therefore ∠ ACD=∠ CBE.$
又$\because AC=BC,∠ ADC=∠ BEC=90°,$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore EC=AD=3,BE=CD.$
$\because EC=CD+DE,$
$\therefore BE=CD=EC-DE=3-2=1.$
【答案】
$1$
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题型，解题关键是利用角的互余关系推导相等的角，进而证明三角形全等，将未知边转化为已知线段的差求解，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能灵活运用角的互余性质找到相等的角。
【难度系数】
0.7
21.如图，$△ ABD$与$△ CDE$都是等边三角形，若$BE$与$AC$相交于点$F$.
(1)求$∠ BFA$的度数.
(2)连接$FD$，求证$FD$平分$∠ AFE$.
(1)求$∠ BFA$的度数.
(2)连接$FD$，求证$FD$平分$∠ AFE$.
答案
21.(1)$60°$.
(2)提示:作 $DM⊥ BE$,垂足为 $M$,$DN⊥ AC$,垂足为 $N$.证明 $DM=DN$ 即可.
(2)提示:作 $DM⊥ BE$,垂足为 $M$,$DN⊥ AC$,垂足为 $N$.证明 $DM=DN$ 即可.
解析
【分析】
(1) 首先观察到两个等边三角形，可得两组对应边相等，且夹角可通过添加公共角推导相等，从而证明△ADC≌△BDE，得到对应角相等，再结合三角形内角和即可求出∠BFA的度数。
(2) 要证明FD平分∠AFE，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠AFE两边的距离相等，因此作DM⊥BE、DN⊥AC，利用全等三角形面积相等、对应边相等，可推导出两条高DM=DN，即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵△ABD和△CDE都是等边三角形，
∴AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°，
∴∠ADB + ∠BDC = ∠CDE + ∠BDC，即∠ADC=∠BDE。
在△ADC和△BDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=BD \\∠ADC=∠BDE \\CD=DE\end{array} $
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴∠DAC=∠DBE。
∵∠BAF=∠BAD + ∠DAC=60°+∠DAC，∠ABF=∠ABD - ∠DBE=60°-∠DBE，
∴∠BAF + ∠ABF = 60°+∠DAC + 60° - ∠DBE = 120°，
在△ABF中，∠BFA=180°-(∠BAF+∠ABF)=180°-120°=60°。
(2) 证明：
过点D作DM⊥BE，垂足为M，作DN⊥AC，垂足为N。
由(1)可知△ADC≌△BDE，
∴$S_{△ ADC} = S_{△ BDE}$，且AC=BE。
∵$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × AC × DN$，$S_{△ BDE}=\frac{1}{2} × BE × DM$，
∴$\frac{1}{2} × AC × DN = \frac{1}{2} × BE × DM$，
又
∵AC=BE，
∴DM=DN。
∵DM⊥BE，DN⊥AC，点D在∠AFE内部，
∴FD平分∠AFE（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
【答案】
(1) $\boxed{60°}$
(2) 证明见上述解析
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型几何题，解题核心是利用等边三角形的边角性质构造全等三角形，第二问通过面积法转化得到点到角两边的距离相等，巧妙结合角平分线判定定理完成证明，对几何逻辑推理能力有一定锻炼价值。
【难度系数】
0.6
(1) 首先观察到两个等边三角形，可得两组对应边相等，且夹角可通过添加公共角推导相等，从而证明△ADC≌△BDE，得到对应角相等，再结合三角形内角和即可求出∠BFA的度数。
(2) 要证明FD平分∠AFE，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠AFE两边的距离相等，因此作DM⊥BE、DN⊥AC，利用全等三角形面积相等、对应边相等，可推导出两条高DM=DN，即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵△ABD和△CDE都是等边三角形，
∴AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°，
∴∠ADB + ∠BDC = ∠CDE + ∠BDC，即∠ADC=∠BDE。
在△ADC和△BDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=BD \\∠ADC=∠BDE \\CD=DE\end{array} $
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴∠DAC=∠DBE。
∵∠BAF=∠BAD + ∠DAC=60°+∠DAC，∠ABF=∠ABD - ∠DBE=60°-∠DBE，
∴∠BAF + ∠ABF = 60°+∠DAC + 60° - ∠DBE = 120°，
在△ABF中，∠BFA=180°-(∠BAF+∠ABF)=180°-120°=60°。
(2) 证明：
过点D作DM⊥BE，垂足为M，作DN⊥AC，垂足为N。
由(1)可知△ADC≌△BDE，
∴$S_{△ ADC} = S_{△ BDE}$，且AC=BE。
∵$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × AC × DN$，$S_{△ BDE}=\frac{1}{2} × BE × DM$，
∴$\frac{1}{2} × AC × DN = \frac{1}{2} × BE × DM$，
又
∵AC=BE，
∴DM=DN。
∵DM⊥BE，DN⊥AC，点D在∠AFE内部，
∴FD平分∠AFE（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
【答案】
(1) $\boxed{60°}$
(2) 证明见上述解析
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型几何题，解题核心是利用等边三角形的边角性质构造全等三角形，第二问通过面积法转化得到点到角两边的距离相等，巧妙结合角平分线判定定理完成证明，对几何逻辑推理能力有一定锻炼价值。
【难度系数】
0.6
22.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(3,1),C(4,3).
(1)点C关于y轴的对称点的坐标为
(2)作△ABC关于直线m(直线m上各点的纵坐标都为-1)的对称图形△A₁B₁C₁,点C关于直线m的对称点C₁的坐标为
(3)点P是坐标轴上一点,使△ABP是等腰三角形,则符合条件的点P的个数为
(1)点C关于y轴的对称点的坐标为
(-4,3)
.(2)作△ABC关于直线m(直线m上各点的纵坐标都为-1)的对称图形△A₁B₁C₁,点C关于直线m的对称点C₁的坐标为
C₁(4,-5)
.(3)点P是坐标轴上一点,使△ABP是等腰三角形,则符合条件的点P的个数为
6
.答案
22.(1)$(-4,3)$ (2)$C_1(4,-5)$ (3)$6$
解析
【分析】
1. 第一问考查关于y轴对称的点的坐标规律，直接利用“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”即可求解。
2. 第二问考查关于平行于x轴的直线对称的点的坐标特征，对称点横坐标不变，两点到对称轴的距离相等，据此计算对称点的纵坐标即可。
3. 第三问考查等腰三角形的判定，需分类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底边，分别寻找坐标轴上符合条件的点P，注意排除重复的点（如原点同时属于x轴和y轴，不要重复计数）。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。已知点$C(4,3)$，因此其关于y轴的对称点坐标为$(-4,3)$。
(2) 直线$m$的解析式为$y=-1$，点$C$和对称点$C_1$关于直线$m$对称，因此两点横坐标相同，纵坐标的平均值为$-1$。设$C_1$的纵坐标为$y$，则$\frac{3+y}{2}=-1$，解得$y=-5$，故$C_1$的坐标为$(4,-5)$。
(3) 先由勾股定理计算$AB$的长度：$AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}$，分三种情况讨论：
① 当$AB=AP$时，以$A$为圆心、$AB$长为半径画圆，与坐标轴交于$(0,0)$、$(2,0)$、$(0,4)$，共3个不重复的点；
② 当$AB=BP$时，以$B$为圆心、$AB$长为半径画圆，与坐标轴交于$(1,0)$、$(5,0)$，共2个新的点；
③ 当$AP=BP$时，点$P$在$AB$的垂直平分线上，与坐标轴交于$(\frac{5}{4},0)$、$(0,-\frac{5}{2})$，共2个新的点。
其中点$(0,0)$同时在x轴和y轴上，重复计数1次，因此符合条件的点P总个数为$3+2+2-1=6$。
【答案】
(1)$(-4,3)$ (2)$(4,-5)$ (3)$6$
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征；坐标与对称变换；等腰三角形的判定
【点评】
本题是平面直角坐标系综合题，前两问为基础题，直接利用对称规律即可求解；第三问需要熟练运用分类讨论思想，按等腰三角形的顶点类型分情况找交点，注意避免重复计数，是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
1. 第一问考查关于y轴对称的点的坐标规律，直接利用“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”即可求解。
2. 第二问考查关于平行于x轴的直线对称的点的坐标特征，对称点横坐标不变，两点到对称轴的距离相等，据此计算对称点的纵坐标即可。
3. 第三问考查等腰三角形的判定，需分类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底边，分别寻找坐标轴上符合条件的点P，注意排除重复的点（如原点同时属于x轴和y轴，不要重复计数）。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。已知点$C(4,3)$，因此其关于y轴的对称点坐标为$(-4,3)$。
(2) 直线$m$的解析式为$y=-1$，点$C$和对称点$C_1$关于直线$m$对称，因此两点横坐标相同，纵坐标的平均值为$-1$。设$C_1$的纵坐标为$y$，则$\frac{3+y}{2}=-1$，解得$y=-5$，故$C_1$的坐标为$(4,-5)$。
(3) 先由勾股定理计算$AB$的长度：$AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}$，分三种情况讨论：
① 当$AB=AP$时，以$A$为圆心、$AB$长为半径画圆，与坐标轴交于$(0,0)$、$(2,0)$、$(0,4)$，共3个不重复的点；
② 当$AB=BP$时，以$B$为圆心、$AB$长为半径画圆，与坐标轴交于$(1,0)$、$(5,0)$，共2个新的点；
③ 当$AP=BP$时，点$P$在$AB$的垂直平分线上，与坐标轴交于$(\frac{5}{4},0)$、$(0,-\frac{5}{2})$，共2个新的点。
其中点$(0,0)$同时在x轴和y轴上，重复计数1次，因此符合条件的点P总个数为$3+2+2-1=6$。
【答案】
(1)$(-4,3)$ (2)$(4,-5)$ (3)$6$
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征；坐标与对称变换；等腰三角形的判定
【点评】
本题是平面直角坐标系综合题，前两问为基础题，直接利用对称规律即可求解；第三问需要熟练运用分类讨论思想，按等腰三角形的顶点类型分情况找交点，注意避免重复计数，是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
