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9.如图，在$△ ABC$中，$∠ CAB=70°$，将$△ ABC$绕点A逆时针旋转到$△ ADE$的位置，连接EC，满足$EC// AB$，则$∠ BAD$的度数为（
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$50°$
C
）.A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先从旋转的性质切入，旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等，可得到AE=AC，∠BAD=∠EAC；再结合EC//AB的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到等腰△AEC的底角度数；最后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，求出旋转角∠EAC的度数，即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AE=AC，∠EAD=∠CAB=70°，
∴∠EAD - ∠CAD = ∠CAB - ∠CAD，即∠EAC=∠BAD。
∵EC//AB，
∴∠ECA=∠CAB=70°（两直线平行，内错角相等）。
又
∵AE=AC，
∴△AEC为等腰三角形，∠AEC=∠ECA=70°。
在△AEC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠EAC=180° - ∠AEC - ∠ECA = 180° - 70° - 70° = 40°，
∴∠BAD=∠EAC=40°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是抓住旋转过程中的等量关系，结合平行线、等腰三角形的性质推导角度，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从旋转的性质切入，旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等，可得到AE=AC，∠BAD=∠EAC；再结合EC//AB的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到等腰△AEC的底角度数；最后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，求出旋转角∠EAC的度数，即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AE=AC，∠EAD=∠CAB=70°，
∴∠EAD - ∠CAD = ∠CAB - ∠CAD，即∠EAC=∠BAD。
∵EC//AB，
∴∠ECA=∠CAB=70°（两直线平行，内错角相等）。
又
∵AE=AC，
∴△AEC为等腰三角形，∠AEC=∠ECA=70°。
在△AEC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠EAC=180° - ∠AEC - ∠ECA = 180° - 70° - 70° = 40°，
∴∠BAD=∠EAC=40°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是抓住旋转过程中的等量关系，结合平行线、等腰三角形的性质推导角度，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ B=30°$,$D$为$AB$的中点,$P$为$CD$上一点,$E$为$BC$延长线上一点,且$PA=PE$.有下列结论:①$∠ PAD+∠ PEC=30°$;②$△ PAE$为等边三角形;③$PD=\frac{CE - CP}{2}$;④$S_{四边形AECP}=S_{△ ABC}$.其中正确的结论是(
A.①②③④
B.①②
C.①②④
D.③④
A
).A.①②③④
B.①②
C.①②④
D.③④
答案
10.A
解析
【分析】
解题时先从等腰三角形的基本性质入手：已知AC=BC，D是AB中点，根据等腰三角形三线合一可得CD垂直平分AB，因此PA=PB，结合已知PA=PE可推出PB=PE，得到两组等角关系，再逐个推导四个结论：①通过角的等量代换，将∠PAD和∠PEC转化为∠ABC的两个分角，求和得30°；②由PA=PE，结合角的推导得∠APE=60°，即可判定等边三角形；③利用角平分线的性质、30°直角三角形的边的关系推导边的数量关系；④通过全等三角形面积相等，结合面积割补证明四边形面积等于△ABC的面积。
【解析】
连接PB：
1. 证明结论①：
∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD垂直平分AB，∠CAB=∠B=30°，∠ACB=180°-2×30°=120°，CD平分∠ACB，∠ACD=∠BCD=60°。
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠PBD。
又
∵PA=PE，
∴PB=PE，
∴∠PEC=∠PBC。
∴∠PAD+∠PEC=∠PBD+∠PBC=∠ABC=30°，故①正确。
2. 证明结论②：
∵PA=PB=PE，
∴点A、B、E在以P为圆心、PA为半径的圆上，∠APE是弧AE对应的圆心角，∠ABE是弧AE对应的圆周角，
∴∠APE=2∠ABE=2×30°=60°。
又
∵PA=PE，
∴△PAE为等边三角形，故②正确。
3. 证明结论③：
过P作PH⊥BE于H，
∵P在∠ACB的角平分线CD上，PD⊥AB，
∴PH=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△PHC中，∠PCH=180°-∠BCD=60°，
∴∠CPH=30°，即CH=½CP。
∵PB=PE，PH⊥BE，
∴EH=BH，即BE=2BH。
又
∵BE=BC+CE，BH=BC-CH=BC-½CP，
∴BC+CE=2(BC-½CP)，整理得CE=BC-CP。
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BC=2CD=2(CP+PD)，代入上式得：
CE=2(CP+PD)-CP=CP+2PD，变形得PD=(CE-CP)/2，故③正确。
4. 证明结论④：
在△ACP和△BCP中：
AC=BC，∠ACP=∠BCP=60°，CP=CP，
∴△ACP≌△BCP（SAS），
∴S△ACP=S△BCP。
S四边形AECP=S△AEC+S△ACP=S△AEC+S△BCP，
又
∵CE=BC-CP，∠ACE=180°-∠ACB=60°，
∴S△AEC+S△BCP=½·AC·CE·sin60° + ½·BC·CP·sin60°，
∵AC=BC，代入CE=BC-CP得：
原式=½·BC·sin60°·(BC-CP+CP)=½·BC²·sin60°，
而S△ABC=½·AC·BC·sin120°=½·BC²·sin60°，
∴S四边形AECP=S△ABC，故④正确。
综上，①②③④都正确。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查三角形的相关性质，解题的突破口是利用等腰三角形三线合一得到PA=PB，进而通过角的等量代换、全等证明逐步推导各结论，对逻辑推理能力和综合运用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
解题时先从等腰三角形的基本性质入手：已知AC=BC，D是AB中点，根据等腰三角形三线合一可得CD垂直平分AB，因此PA=PB，结合已知PA=PE可推出PB=PE，得到两组等角关系，再逐个推导四个结论：①通过角的等量代换，将∠PAD和∠PEC转化为∠ABC的两个分角，求和得30°；②由PA=PE，结合角的推导得∠APE=60°，即可判定等边三角形；③利用角平分线的性质、30°直角三角形的边的关系推导边的数量关系；④通过全等三角形面积相等，结合面积割补证明四边形面积等于△ABC的面积。
【解析】
连接PB：
1. 证明结论①：
∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD垂直平分AB，∠CAB=∠B=30°，∠ACB=180°-2×30°=120°，CD平分∠ACB，∠ACD=∠BCD=60°。
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠PBD。
又
∵PA=PE，
∴PB=PE，
∴∠PEC=∠PBC。
∴∠PAD+∠PEC=∠PBD+∠PBC=∠ABC=30°，故①正确。
2. 证明结论②：
∵PA=PB=PE，
∴点A、B、E在以P为圆心、PA为半径的圆上，∠APE是弧AE对应的圆心角，∠ABE是弧AE对应的圆周角，
∴∠APE=2∠ABE=2×30°=60°。
又
∵PA=PE，
∴△PAE为等边三角形，故②正确。
3. 证明结论③：
过P作PH⊥BE于H，
∵P在∠ACB的角平分线CD上，PD⊥AB，
∴PH=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△PHC中，∠PCH=180°-∠BCD=60°，
∴∠CPH=30°，即CH=½CP。
∵PB=PE，PH⊥BE，
∴EH=BH，即BE=2BH。
又
∵BE=BC+CE，BH=BC-CH=BC-½CP，
∴BC+CE=2(BC-½CP)，整理得CE=BC-CP。
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BC=2CD=2(CP+PD)，代入上式得：
CE=2(CP+PD)-CP=CP+2PD，变形得PD=(CE-CP)/2，故③正确。
4. 证明结论④：
在△ACP和△BCP中：
AC=BC，∠ACP=∠BCP=60°，CP=CP，
∴△ACP≌△BCP（SAS），
∴S△ACP=S△BCP。
S四边形AECP=S△AEC+S△ACP=S△AEC+S△BCP，
又
∵CE=BC-CP，∠ACE=180°-∠ACB=60°，
∴S△AEC+S△BCP=½·AC·CE·sin60° + ½·BC·CP·sin60°，
∵AC=BC，代入CE=BC-CP得：
原式=½·BC·sin60°·(BC-CP+CP)=½·BC²·sin60°，
而S△ABC=½·AC·BC·sin120°=½·BC²·sin60°，
∴S四边形AECP=S△ABC，故④正确。
综上，①②③④都正确。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查三角形的相关性质，解题的突破口是利用等腰三角形三线合一得到PA=PB，进而通过角的等量代换、全等证明逐步推导各结论，对逻辑推理能力和综合运用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
二、填空题
11.等腰三角形有一个角等于 $70°$，则它的底角是
11.等腰三角形有一个角等于 $70°$，则它的底角是
55°或70°
.答案
11.55°或70°
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的角度计算，解题思路如下：首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和为180°。题目中仅说明有一个角是70°，未明确这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，每种情况计算完成后验证是否符合三角形内角和的要求，最终得到所有符合条件的底角度数。
【解析】
已知等腰三角形有一个角为70°，分两种情况讨论：
1. 若70°的角为等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角为：
$\frac{180° - 70°}{2}=55°$
2. 若70°的角为等腰三角形的底角：
此时底角直接为70°，验证顶角为$180° - 70°×2=40°$，符合三角形内角和要求。
综上，该等腰三角形的底角为55°或70°。
【答案】
55°或70°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略未明确的角存在两种位置情况，仅计算出其中一种结果。解题时遇到等腰三角形角度未明确类型的问题，要先分类讨论，再验证结果是否符合三角形的基本性质，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形的角度计算，解题思路如下：首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和为180°。题目中仅说明有一个角是70°，未明确这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，每种情况计算完成后验证是否符合三角形内角和的要求，最终得到所有符合条件的底角度数。
【解析】
已知等腰三角形有一个角为70°，分两种情况讨论：
1. 若70°的角为等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角为：
$\frac{180° - 70°}{2}=55°$
2. 若70°的角为等腰三角形的底角：
此时底角直接为70°，验证顶角为$180° - 70°×2=40°$，符合三角形内角和要求。
综上，该等腰三角形的底角为55°或70°。
【答案】
55°或70°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略未明确的角存在两种位置情况，仅计算出其中一种结果。解题时遇到等腰三角形角度未明确类型的问题，要先分类讨论，再验证结果是否符合三角形的基本性质，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12.在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=3$，边$BC$的中线$AD$的取值范围是
1＜AD＜4
。答案
12.1＜AD＜4
解析
【分析】
遇到三角形中线相关的取值范围问题，通常采用倍长中线的辅助线方法：延长中线至等长的位置，连接端点构造全等三角形，将已知的两条边长和两倍的中线长度转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）即可求出中线的取值范围。
【解析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中：
$\{\begin{array}{l}AD=ED\\∠ ADC=∠ EDB（对顶角相等）\\CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC=3。
∵AE=AD+DE=2AD，
在△ABE中，根据三角形三边关系得：
$AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$，
代入AB=5，BE=3，AE=2AD得：
$5-3 ＜ 2AD ＜ 5+3$，
即$2 ＜ 2AD ＜ 8$，
不等式两边同时除以2得：$1 ＜ AD ＜ 4$。
【答案】
1＜AD＜4
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线相关的典型题型，核心解题技巧是通过倍长中线的辅助线，将原本分散的三条相关线段集中到同一个三角形中，再结合三角形三边关系求解，熟练掌握倍长中线的辅助线构造方法能快速解决这类中线取值范围问题。
【难度系数】
0.7
遇到三角形中线相关的取值范围问题，通常采用倍长中线的辅助线方法：延长中线至等长的位置，连接端点构造全等三角形，将已知的两条边长和两倍的中线长度转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）即可求出中线的取值范围。
【解析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中：
$\{\begin{array}{l}AD=ED\\∠ ADC=∠ EDB（对顶角相等）\\CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC=3。
∵AE=AD+DE=2AD，
在△ABE中，根据三角形三边关系得：
$AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$，
代入AB=5，BE=3，AE=2AD得：
$5-3 ＜ 2AD ＜ 5+3$，
即$2 ＜ 2AD ＜ 8$，
不等式两边同时除以2得：$1 ＜ AD ＜ 4$。
【答案】
1＜AD＜4
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线相关的典型题型，核心解题技巧是通过倍长中线的辅助线，将原本分散的三条相关线段集中到同一个三角形中，再结合三角形三边关系求解，熟练掌握倍长中线的辅助线构造方法能快速解决这类中线取值范围问题。
【难度系数】
0.7
13.腰长为12 cm、底角为15°的等腰三角形的面积为
36 cm²
.答案
13.36 cm²
解析
【分析】
要求等腰三角形的面积，常规思路是找到一组对应的底和高，若直接计算底边和底边上的高过程较复杂。我们可以转换思路，以腰作为底边，构造腰上的高：首先根据等腰三角形底角度数求出顶角为150°，可知这是钝角三角形，腰上的高在三角形外部，此时高所在的直角三角形中存在30°角，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半的性质求出高，再代入面积公式计算即可。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC=12\ \mathrm{cm}$，$∠ B=∠ ACB=15°$。
过点$C$作$CD⊥ AB$，交$BA$的延长线于点$D$。
1. 求顶角度数：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-15°-15°=150°$，
因此$∠ CAD=180°-∠ BAC=30°$。
2. 求腰上的高：
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，斜边$AC=12\ \mathrm{cm}$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
3. 计算三角形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×12×6=36\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$36\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；三角形面积计算
【点评】
本题的解题核心是灵活转换底和高的对应关系，通过构造辅助线将未知高转化为可利用特殊直角三角形性质求解的线段，解题时要注意钝角三角形的部分高会落在三角形外部，避免漏看外角的特殊角度。
【难度系数】
0.6
要求等腰三角形的面积，常规思路是找到一组对应的底和高，若直接计算底边和底边上的高过程较复杂。我们可以转换思路，以腰作为底边，构造腰上的高：首先根据等腰三角形底角度数求出顶角为150°，可知这是钝角三角形，腰上的高在三角形外部，此时高所在的直角三角形中存在30°角，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半的性质求出高，再代入面积公式计算即可。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC=12\ \mathrm{cm}$，$∠ B=∠ ACB=15°$。
过点$C$作$CD⊥ AB$，交$BA$的延长线于点$D$。
1. 求顶角度数：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-15°-15°=150°$，
因此$∠ CAD=180°-∠ BAC=30°$。
2. 求腰上的高：
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，斜边$AC=12\ \mathrm{cm}$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
3. 计算三角形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×12×6=36\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$36\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；三角形面积计算
【点评】
本题的解题核心是灵活转换底和高的对应关系，通过构造辅助线将未知高转化为可利用特殊直角三角形性质求解的线段，解题时要注意钝角三角形的部分高会落在三角形外部，避免漏看外角的特殊角度。
【难度系数】
0.6
14.已知一个等腰三角形的周长为45 cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为
12 cm或18 cm
。答案
14.12 cm或18 cm
解析
【分析】
首先明确等腰三角形两腰相等的性质，一腰上的中线会将该腰分为等长的两段，题目中“中线将三角形周长分为3:2的两部分”指的是将原三角形的周长（不含中线）分为两部分。首先计算出两部分的具体长度：总周长45cm，按3:2分配可得27cm和18cm。接下来需要分类讨论：第一种是“腰长+半腰长”对应27cm，第二种是“腰长+半腰长”对应18cm，分别求出腰长和底边长后，需用三角形三边关系验证是否能构成三角形，符合要求的结果即为答案。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$x$ cm，底边长为$y$ cm，腰上的中线将腰分为两段长度均为$\frac{x}{2}$的线段。
已知总周长为45cm，按3:2分为两部分：
$45×\frac{3}{3+2}=27\ \mathrm{cm}$，$45×\frac{2}{3+2}=18\ \mathrm{cm}$
分两种情况讨论：
1. 当$x+\frac{x}{2}=27$时：
解得$\frac{3x}{2}=27$，$x=18$
此时底边长$y=45-2×18=9\ \mathrm{cm}$
验证三边：18cm、18cm、9cm，满足任意两边之和大于第三边，可构成三角形。
2. 当$x+\frac{x}{2}=18$时：
解得$\frac{3x}{2}=18$，$x=12$
此时底边长$y=45-2×12=21\ \mathrm{cm}$
验证三边：12cm、12cm、21cm，满足任意两边之和大于第三边，可构成三角形。
综上，等腰三角形的腰长为12cm或18cm。
【答案】
12 cm或18 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时需注意分情况讨论两种不同的周长分配方式，求出边长后一定要验证是否符合三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
首先明确等腰三角形两腰相等的性质，一腰上的中线会将该腰分为等长的两段，题目中“中线将三角形周长分为3:2的两部分”指的是将原三角形的周长（不含中线）分为两部分。首先计算出两部分的具体长度：总周长45cm，按3:2分配可得27cm和18cm。接下来需要分类讨论：第一种是“腰长+半腰长”对应27cm，第二种是“腰长+半腰长”对应18cm，分别求出腰长和底边长后，需用三角形三边关系验证是否能构成三角形，符合要求的结果即为答案。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$x$ cm，底边长为$y$ cm，腰上的中线将腰分为两段长度均为$\frac{x}{2}$的线段。
已知总周长为45cm，按3:2分为两部分：
$45×\frac{3}{3+2}=27\ \mathrm{cm}$，$45×\frac{2}{3+2}=18\ \mathrm{cm}$
分两种情况讨论：
1. 当$x+\frac{x}{2}=27$时：
解得$\frac{3x}{2}=27$，$x=18$
此时底边长$y=45-2×18=9\ \mathrm{cm}$
验证三边：18cm、18cm、9cm，满足任意两边之和大于第三边，可构成三角形。
2. 当$x+\frac{x}{2}=18$时：
解得$\frac{3x}{2}=18$，$x=12$
此时底边长$y=45-2×12=21\ \mathrm{cm}$
验证三边：12cm、12cm、21cm，满足任意两边之和大于第三边，可构成三角形。
综上，等腰三角形的腰长为12cm或18cm。
【答案】
12 cm或18 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时需注意分情况讨论两种不同的周长分配方式，求出边长后一定要验证是否符合三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
15.如图，已知两条互不平行的线段AB和A'B'关于直线l对称，A，A'是对应点，AB和A'B'所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB＝A'B'；②点P在直线l上；③直线l垂直平分线段AA'；④PB＝PB'.其中正确的是
①②③④
（填写序号）。答案
15.①②③④
解析
【分析】
解题时需结合轴对称的基本性质逐一判断四个结论：首先回忆轴对称的核心性质：成轴对称的两个图形全等，对应线段相等；对应点的连线被对称轴垂直平分；对应线段（或其延长线）的交点落在对称轴上；对称轴上的点到任意一组对应点的距离相等，依次代入验证即可。
【解析】
①因为线段AB和A'B'关于直线l对称，成轴对称的两个图形全等，对应线段长度相等，因此AB＝A'B'，①正确；
②成轴对称的两个图形中，若对应线段所在直线相交，交点一定在对称轴上，本题中AB和A'B'所在直线交于点P，因此点P在直线l上，②正确；
③成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分，A和A'是一组对应点，因此直线l垂直平分线段AA'，③正确；
④B和B'是一组对应点，直线l是对称轴，且点P在对称轴l上，根据对称轴上的点到两个对应点的距离相等，可得PB＝PB'，④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查轴对称性质的基础应用，属于对基础概念的考查，只要熟练记忆轴对称的相关性质，就能快速判断所有结论，解题时结合图形理解性质会更直观。
【难度系数】
0.8
解题时需结合轴对称的基本性质逐一判断四个结论：首先回忆轴对称的核心性质：成轴对称的两个图形全等，对应线段相等；对应点的连线被对称轴垂直平分；对应线段（或其延长线）的交点落在对称轴上；对称轴上的点到任意一组对应点的距离相等，依次代入验证即可。
【解析】
①因为线段AB和A'B'关于直线l对称，成轴对称的两个图形全等，对应线段长度相等，因此AB＝A'B'，①正确；
②成轴对称的两个图形中，若对应线段所在直线相交，交点一定在对称轴上，本题中AB和A'B'所在直线交于点P，因此点P在直线l上，②正确；
③成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分，A和A'是一组对应点，因此直线l垂直平分线段AA'，③正确；
④B和B'是一组对应点，直线l是对称轴，且点P在对称轴l上，根据对称轴上的点到两个对应点的距离相等，可得PB＝PB'，④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查轴对称性质的基础应用，属于对基础概念的考查，只要熟练记忆轴对称的相关性质，就能快速判断所有结论，解题时结合图形理解性质会更直观。
【难度系数】
0.8
16.如图，△ABC的∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.过点P作PE⊥AB，垂足为E，PG⊥AC，垂足为G，PF⊥BC，垂足为F，若AB=8，AC=6，BC=7，则AE=
3.5
。答案
16.3.5
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此可得点P到△ABC三边的距离PE=PF=PG，再根据角平分线的判定可推出AP平分∠BAC；接下来利用HL证明三组直角三角形全等，得到对应边相等的关系，最后设AE为未知数，结合三边长度的和差关系列方程求解即可。
【解析】
解：
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
同理可得PF=PG，因此PE=PG。
∵PE⊥AB，PG⊥AC，PE=PG，
∴AP平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
在Rt△AEP和Rt△AGP中：
$\{\begin{array}{l}AP=AP\\ PE=PG\end{array} $
∴Rt△AEP≌Rt△AGP（HL），得AE=AG。
同理可证：Rt△BEP≌Rt△BFP，Rt△CFP≌Rt△CGP，
∴BE=BF，CF=CG。
设AE=x，则AG=x，
∴BE=AB-AE=8-x，CG=AC-AG=6-x，
即BF=8-x，CF=6-x。
∵BF+CF=BC=7，
∴$(8-x)+(6-x)=7$，
解得$x=3.5$，即AE=3.5。
【答案】
3.5
【知识点】
角平分线的性质与判定；直角三角形全等的判定；方程思想解几何题
【点评】
本题将角平分线的相关性质、全等三角形的判定和方程思想结合考查，解题关键是通过全等得到边的等量关系，用代数方法解决几何边长计算问题，是三角形章节的典型中等题。
【难度系数】
0.65
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此可得点P到△ABC三边的距离PE=PF=PG，再根据角平分线的判定可推出AP平分∠BAC；接下来利用HL证明三组直角三角形全等，得到对应边相等的关系，最后设AE为未知数，结合三边长度的和差关系列方程求解即可。
【解析】
解：
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
同理可得PF=PG，因此PE=PG。
∵PE⊥AB，PG⊥AC，PE=PG，
∴AP平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
在Rt△AEP和Rt△AGP中：
$\{\begin{array}{l}AP=AP\\ PE=PG\end{array} $
∴Rt△AEP≌Rt△AGP（HL），得AE=AG。
同理可证：Rt△BEP≌Rt△BFP，Rt△CFP≌Rt△CGP，
∴BE=BF，CF=CG。
设AE=x，则AG=x，
∴BE=AB-AE=8-x，CG=AC-AG=6-x，
即BF=8-x，CF=6-x。
∵BF+CF=BC=7，
∴$(8-x)+(6-x)=7$，
解得$x=3.5$，即AE=3.5。
【答案】
3.5
【知识点】
角平分线的性质与判定；直角三角形全等的判定；方程思想解几何题
【点评】
本题将角平分线的相关性质、全等三角形的判定和方程思想结合考查，解题关键是通过全等得到边的等量关系，用代数方法解决几何边长计算问题，是三角形章节的典型中等题。
【难度系数】
0.65
三、解答题
17.尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
如图,点P为∠ABC的边BA上一定点.
(1)用尺规作图法在BC上求作一点D,使∠BPD=∠BDP.
(2)用尺规作图法在BC上求作一点D,使∠BPD=∠B.
(3)用尺规作图法在BC上求作一点D,使∠BDP=∠B.
B F C
17.尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
如图,点P为∠ABC的边BA上一定点.
(1)用尺规作图法在BC上求作一点D,使∠BPD=∠BDP.
(2)用尺规作图法在BC上求作一点D,使∠BPD=∠B.
(3)用尺规作图法在BC上求作一点D,使∠BDP=∠B.
B F C
答案
17.(1)以B 为圆心,PB 为半径画弧交BC 于点D即可.
(2)作 BP 的中垂线交 BC 于点 D 即可.
(3)以 P 为圆心,PB 为半径画弧交 BC 于另一点即为 D.
(2)作 BP 的中垂线交 BC 于点 D 即可.
(3)以 P 为圆心,PB 为半径画弧交 BC 于另一点即为 D.
解析
【分析】
本题是尺规作图与等腰三角形性质结合的基础题，解题思路如下：
(1) 要使∠BPD=∠BDP，根据等腰三角形“等角对等边”，可知△BPD中BD=PB，只需在BC上截取长度等于PB的线段BD即可；
(2) 要使∠BPD=∠B，同理可得△BPD中PD=BD，即点D到B、P两点距离相等，根据线段垂直平分线的性质，点D在BP的垂直平分线上，因此作BP的垂直平分线与BC的交点即可；
(3) 要使∠BDP=∠B，可得△BPD中PB=PD，即点D到点P的距离等于PB长，因此以P为圆心、PB为半径画弧，与BC的交点（除B外）即为所求。
【解析】
(1) 依据等角对等边，满足BD=PB即可：以B为圆心，PB长为半径画弧，交BC于点D，点D即为所求；
(2) 依据等角对等边和线段垂直平分线的性质，满足D到B、P距离相等即可：作线段BP的垂直平分线，交BC于点D，点D即为所求；
(3) 依据等角对等边，满足PB=PD即可：以P为圆心，PB长为半径画弧，交BC于除B外的另一点D，点D即为所求。
（作图均保留作图痕迹即可）
【答案】
(1)以B 为圆心,PB 为半径画弧交BC 于点D即可.
(2)作 BP 的中垂线交 BC 于点 D 即可.
(3)以 P 为圆心,PB 为半径画弧交 BC 于另一点即为 D.
【知识点】
1.等腰三角形的判定与性质
2.尺规作图
3.线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础作图题，核心是将角相等的条件转化为边相等的关系，再结合对应的尺规作图方法完成操作，解题时要注意理解几何性质和作图方法的对应关系，按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
本题是尺规作图与等腰三角形性质结合的基础题，解题思路如下：
(1) 要使∠BPD=∠BDP，根据等腰三角形“等角对等边”，可知△BPD中BD=PB，只需在BC上截取长度等于PB的线段BD即可；
(2) 要使∠BPD=∠B，同理可得△BPD中PD=BD，即点D到B、P两点距离相等，根据线段垂直平分线的性质，点D在BP的垂直平分线上，因此作BP的垂直平分线与BC的交点即可；
(3) 要使∠BDP=∠B，可得△BPD中PB=PD，即点D到点P的距离等于PB长，因此以P为圆心、PB为半径画弧，与BC的交点（除B外）即为所求。
【解析】
(1) 依据等角对等边，满足BD=PB即可：以B为圆心，PB长为半径画弧，交BC于点D，点D即为所求；
(2) 依据等角对等边和线段垂直平分线的性质，满足D到B、P距离相等即可：作线段BP的垂直平分线，交BC于点D，点D即为所求；
(3) 依据等角对等边，满足PB=PD即可：以P为圆心，PB长为半径画弧，交BC于除B外的另一点D，点D即为所求。
（作图均保留作图痕迹即可）
【答案】
(1)以B 为圆心,PB 为半径画弧交BC 于点D即可.
(2)作 BP 的中垂线交 BC 于点 D 即可.
(3)以 P 为圆心,PB 为半径画弧交 BC 于另一点即为 D.
【知识点】
1.等腰三角形的判定与性质
2.尺规作图
3.线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础作图题，核心是将角相等的条件转化为边相等的关系，再结合对应的尺规作图方法完成操作，解题时要注意理解几何性质和作图方法的对应关系，按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
