23.我们知道:有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫作等对边四边形.
(1)如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在$AB,AC$上,设$CD,BE$相交于点$O$,若$∠ A=60°$,$∠ DCB=∠ EBC=\frac{1}{2}∠ A$.请你写出图中一个与$∠ A$相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形.
(2)在$△ ABC$中,如果$∠ A$是不等于$60°$的锐角,点$D,E$分别在$AB,AC$上,且$∠ DCB=∠ EBC=\frac{1}{2}∠ A$.探究满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.

23.(1)与$∠ A$ 相等的角是$∠ BOD$(或$∠ COE$),四边形 $DBCE$ 是等对边四边形.
(2)存在等对边四边形,是四边形 $DBCE$.以 $C$ 为顶点作$∠ FCB=∠ DBC$,$CF$ 交 $BE$ 于点 $F$.
$\because ∠ DCB=∠ EBC=\frac{1}{2}∠ A$,$BC$ 为公共边,
$\therefore △ BDC≌ △ CFB.\therefore BD=CF,∠ BDC=∠ CFB.\therefore ∠ ADC=∠ CFE.$
$\because ∠ ADC=∠ DCB+∠ EBC+∠ ABE,∠ FEC=∠ A+∠ ABE,\therefore ∠ ADC=∠ FEC.$
$\therefore ∠ FEC=∠ CFE.\therefore CF=CE.\therefore BD=CE.\therefore$ 四边形 $DBCE$ 是等对边四边形.

【分析】
(1) 求解与∠A相等的角时，可利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A，可得∠BOD=∠OBC+∠OCB=∠A，同理对顶角∠COE也与∠A相等。结合等对边四边形的定义，可猜想四边形DBCE是等对边四边形。
(2) 要证明存在等对边四边形，只需证明四边形DBCE有一组对边相等即可。我们可以通过构造全等三角形转化线段：作∠FCB=∠DBC交BE于F，先证△BDC≌△CFB得到BD=CF，再通过角度推导证明∠FEC=∠CFE，得到CF=CE，等量代换可得BD=CE，即可证明四边形DBCE是等对边四边形。
【解析】
(1) 因为∠BOD是△BOC的外角，所以∠BOD=∠OBC+∠OCB，已知∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A，∠A=60°，因此∠BOD=$\frac{1}{2}$∠A +$\frac{1}{2}$∠A=∠A，根据对顶角相等可得∠COE=∠BOD=∠A。结合图形特征猜想四边形DBCE是等对边四边形。
(2) 存在等对边四边形，是四边形DBCE，证明如下：
以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于点F。
∵∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A，BC为公共边，
∴△BDC≌△CFB（ASA），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∴∠ADC=∠CFE。
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，
又
∵∠DCB+∠EBC=∠A，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠FEC=∠CFE，
∴CF=CE，
∴BD=CE，
∴四边形DBCE是等对边四边形。
【答案】
(1)与$∠A$ 相等的角是$∠BOD$(或$∠COE$)，四边形 $DBCE$ 是等对边四边形。
(2)存在等对边四边形，是四边形 $DBCE$，证明见解析。
【知识点】
新定义理解，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题为新定义探究题，将三角形的角度计算、全等三角形证明、等腰三角形判定等知识结合，需要在理解新定义的基础上合理构造辅助线解决问题，侧重考查逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6

24.(1)在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,点A,B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E.
①如图①,已知点C的横坐标为－2,直接写出点A的坐标.
②如图②,当等腰直角三角形ABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证∠ADB=∠CDE.
(2)如图③,若点A在x轴上,且A(－6,0),点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB,AB为直角边在第一象限、第二象限作等腰直角三角形BOD和等腰直角三角形ABC,连接CD交y轴于点P.当点B在y轴的正半轴上运动时,BP的长度是否变化?若变化,请说明理由;若不变化,请求出BP的长度.

24.(1)①如图,过点 $C$ 作 $CF⊥ y$ 轴,垂足为 $F$.

$\therefore ∠ CFA=90°,∠ ACF+∠ CAF=90°.$
$\because ∠ CAB=90°,\therefore ∠ CAF+∠ BAO=90°.$
$\therefore ∠ ACF=∠ BAO.\therefore △ ACF≌ △ BAO(\mathrm{AAS}).\therefore CF=OA=2.\therefore A(0,2).$
②如图,过点 $C$ 作 $CG⊥ AC$ 交 $y$ 轴于点 $G$.

$\therefore ∠ ACG=90°,∠ CAG+∠ AGC=90°.$
$\because ∠ AOD=90°,\therefore ∠ ADO+∠ DAO=90°.\therefore ∠ AGC=∠ ADO.$
$\therefore △ ACG≌ △ BAD(\mathrm{AAS}).\therefore CG=AD=CD.$
$\because ∠ ACB=45°,∠ ACG=90°,\therefore ∠ DCE=∠ GCE=45°.\therefore △ DCE≌ △ GCE(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ CDE=∠ CGE.\therefore ∠ ADB=∠ CDE.$
(2)$BP$ 的长度不变,理由如下:
如图,过点 $C$ 作 $CE⊥ y$ 轴,垂足为 $E$.

$\because ∠ ABC=90°,\therefore ∠ CBE+∠ ABO=90°.$
$\because ∠ BAO+∠ ABO=90°,\therefore ∠ CBE=∠ BAO.$
$\because ∠ CEB=∠ AOB=90°,AB=BC,\therefore △ CBE≌ △ BAO(\mathrm{AAS}).$
$\therefore CE=BO,BE=AO=6.$
$\because BD=BO,\therefore CE=BD.$
$\because ∠ CEP=∠ DBP=90°,∠ CPE=∠ DPB,$
$\therefore △ CPE≌ △ DPB(\mathrm{AAS}).\therefore BP=EP=3.$

【分析】
(1)①点A在y轴上，只需求出OA的长度即可确定A的坐标。已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°、AB=AC，可通过过点C作y轴的垂线构造全等三角形，利用同角的余角相等得到一组等角，结合直角和等边证明三角形全等，将C点的横坐标转化为OA的长度。
(1)②要证∠ADB=∠CDE，可通过构造全等三角形实现角的转化：先过点C作AC的垂线交y轴于G，先证△ACG≌△BAD，得到∠ADB=∠CGE、CG=AD，结合D是AC中点得CG=CD，再利用等腰直角三角形底角为45°的性质证△DCE≌△GCE，得到∠CDE=∠CGE，即可推出结论。
(2)判断BP的长度是否变化，同样通过构造全等三角形分析：过点C作y轴的垂线，先证△CBE≌△BAO，得到CE=BO、BE=AO的长度，再结合等腰直角△BOD的性质得CE=BD，进而证△CPE≌△DPB，得到BP=EP，即可求出BP的定值。
【解析】
(1)①过点 $C$ 作 $CF⊥ y$ 轴，垂足为 $F$，则 $∠ CFA=90°$，根据直角三角形两锐角互余得$∠ ACF+∠ CAF=90°$。
$\because ∠CAB=90°$，$\therefore ∠CAF+∠BAO=90°$，根据同角的余角相等得 $∠ ACF=∠BAO$。
在$△ ACF$和$△ BAO$中：
$\begin{cases}∠ CFA=∠ AOB=90°\\∠ ACF=∠ BAO\\AC=BA\end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ BAO(\mathrm{AAS})$，$\therefore CF=OA$。
$\because$点C的横坐标为$-2$，$\therefore CF=2$，即$OA=2$，$\therefore A(0,2)$。
②过点 $C$ 作 $CG⊥AC$ 交 $y$ 轴于点 $G$，则 $∠ ACG=90°$，$\therefore ∠CAG+∠AGC=90°$。
$\because ∠AOD=90°$，$\therefore ∠ADO+∠DAO=90°$，根据同角的余角相等得$∠AGC=∠ADO$。
在$△ ACG$和$△ BAD$中：
$\begin{cases}∠ ACG=∠ BAD=90°\\∠ AGC=∠ ADO\\AC=BA\end{cases}$
$\therefore △ ACG≌△ BAD(\mathrm{AAS})$，$\therefore CG=AD$，$∠CGE=∠ADB$。
$\because D$为$AC$中点，$\therefore AD=CD$，$\therefore CG=CD$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ACB=45°$，又$\because ∠ACG=90°$，$\therefore ∠DCE=∠GCE=45°$。
在$△ DCE$和$△ GCE$中：
$\begin{cases}CD=CG\\∠ DCE=∠ GCE\\CE=CE\end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ GCE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠CDE=∠CGE$，$\therefore ∠ADB=∠CDE$。
(2)$BP$的长度不变，理由如下：
过点 $C$ 作 $CE⊥y$ 轴，垂足为 $E$。
$\because ∠ABC=90°$，$\therefore ∠CBE+∠ABO=90°$，又$\because ∠BAO+∠ABO=90°$，$\therefore ∠CBE=∠BAO$。
在$△ CBE$和$△ BAO$中：
$\begin{cases}∠ CEB=∠ AOB=90°\\∠ CBE=∠ BAO\\BC=AB\end{cases}$
$\therefore △ CBE≌△ BAO(\mathrm{AAS})$，$\therefore CE=BO$，$BE=AO=6$。
$\because △ BOD$是等腰直角三角形，$\therefore BD=BO$，$\therefore CE=BD$。
在$△ CPE$和$△ DPB$中：
$\begin{cases}∠ CEP=∠ DBP=90°\\∠ CPE=∠ DPB\\CE=BD\end{cases}$
$\therefore △ CPE≌△ DPB(\mathrm{AAS})$，$\therefore BP=EP=\frac{1}{2}BE=3$。
【答案】
24.(1)①如图,过点 $C$ 作 $CF⊥ y$ 轴,垂足为 $F$.

$\therefore ∠ CFA=90°,∠ ACF+∠ CAF=90°.$
$\because ∠ CAB=90°,\therefore ∠ CAF+∠ BAO=90°.$
$\therefore ∠ ACF=∠ BAO.\therefore △ ACF≌ △ BAO(\mathrm{AAS}).\therefore CF=OA=2.\therefore A(0,2).$
②如图,过点 $C$ 作 $CG⊥ AC$ 交 $y$ 轴于点 $G$.

$\therefore ∠ ACG=90°,∠ CAG+∠ AGC=90°.$
$\because ∠ AOD=90°,\therefore ∠ ADO+∠ DAO=90°.\therefore ∠ AGC=∠ ADO.$
$\therefore △ ACG≌ △ BAD(\mathrm{AAS}).\therefore CG=AD=CD.$
$\because ∠ ACB=45°,∠ ACG=90°,\therefore ∠ DCE=∠ GCE=45°.\therefore △ DCE≌ △ GCE(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ CDE=∠ CGE.\therefore ∠ ADB=∠ CDE.$
(2)$BP$ 的长度不变,理由如下:
如图,过点 $C$ 作 $CE⊥ y$ 轴,垂足为 $E$.

$\because ∠ ABC=90°,\therefore ∠ CBE+∠ ABO=90°.$
$\because ∠ BAO+∠ ABO=90°,\therefore ∠ CBE=∠ BAO.$
$\because ∠ CEB=∠ AOB=90°,AB=BC,\therefore △ CBE≌ △ BAO(\mathrm{AAS}).$
$\therefore CE=BO,BE=AO=6.$
$\because BD=BO,\therefore CE=BD.$
$\because ∠ CEP=∠ DBP=90°,∠ CPE=∠ DPB,$
$\therefore △ CPE≌ △ DPB(\mathrm{AAS}).\therefore BP=EP=3.$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 同角的余角相等
【点评】
本题是平面直角坐标系与三角形知识结合的综合题，核心解题思路是通过作垂线构造全等三角形，实现角、线段的等量转化，既考查了基础的三角形全等判定，也考查了动态几何中不变量的分析能力，是三角形章节的典型综合题型。
【难度系数】
0.3