登录
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=29°$，$D$为$AC$上一点，且$AB=AD$，$DB=DC$。求$∠ A$的度数。
答案
9. 因为 $BD=DC,∠C=29°$,所以$∠DBC=∠C=29°$,所以$∠ADB=2∠C=58°$。又因为$AD=DB$,所以$∠A=180°-2∠ADB=64°$。
解析
【分析】
解题时先从已知的等边关系和已知角度入手，首先由DB=DC可知△BDC是等腰三角形，利用“等边对等角”可求出∠DBC的度数；再根据三角形外角的性质，可得∠ADB是△BDC的外角，等于两个不相邻内角∠DBC与∠C的和，算出∠ADB的度数；接下来由AB=AD可知△ABD也是等腰三角形，得到两个底角相等，最后结合三角形内角和为180°，即可计算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵$DB=DC$，$∠C=29°$，
∴$∠DBC=∠C=29°$，
∵$∠ADB$是$△BDC$的外角，
∴$∠ADB=∠DBC+∠C=2×29°=58°$，
又
∵$AB=AD$，
∴$∠ABD=∠ADB=58°$，
在$△ABD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-2×58°=64°$。
【答案】
$\boxed{64°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等腰三角形等边对等角的性质推导等角关系，再结合三角形外角和内角和的规律求解，解题的关键是准确识别图中的等腰三角形，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边关系和已知角度入手，首先由DB=DC可知△BDC是等腰三角形，利用“等边对等角”可求出∠DBC的度数；再根据三角形外角的性质，可得∠ADB是△BDC的外角，等于两个不相邻内角∠DBC与∠C的和，算出∠ADB的度数；接下来由AB=AD可知△ABD也是等腰三角形，得到两个底角相等，最后结合三角形内角和为180°，即可计算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵$DB=DC$，$∠C=29°$，
∴$∠DBC=∠C=29°$，
∵$∠ADB$是$△BDC$的外角，
∴$∠ADB=∠DBC+∠C=2×29°=58°$，
又
∵$AB=AD$，
∴$∠ABD=∠ADB=58°$，
在$△ABD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-2×58°=64°$。
【答案】
$\boxed{64°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等腰三角形等边对等角的性质推导等角关系，再结合三角形外角和内角和的规律求解，解题的关键是准确识别图中的等腰三角形，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
10. 如图，已知$AB=AC$，$∠ B=∠ C$，则$BD=CD$。请说明理由。
答案
10. 连结 BC。由 $AB=AC$,得$∠ABC=∠ACB$。又因为$∠ABD=∠ACD$,所以$∠DBC=∠DCB$。所以 $BD=CD$。
解析
【分析】
要证明BD=CD，可通过证明两条边所在的△DBC中对应底角相等，利用等角对等边推导结论。结合已知条件AB=AC，我们可以通过连接BC构造等腰△ABC，先利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABC=∠ACB，再结合已知的∠ABD=∠ACD，通过角的和差关系推出∠DBC=∠DCB，最终得到BD=CD的结论。
【解析】
解：连结BC。
∵ AB=AC（已知），
∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形等边对等角）。
又
∵ ∠ABD=∠ACD（已知），
∴ ∠ABD - ∠ABC = ∠ACD - ∠ACB（等式的性质），即∠DBC=∠DCB。
∴ BD=CD（等腰三角形等角对等边）。
【答案】
连结BC。由 $AB=AC$,得$∠ABC=∠ACB$。又因为$∠ABD=∠ACD$,所以$∠DBC=∠DCB$。所以 $BD=CD$。
【知识点】
1. 等边对等角
2. 等角对等边
3. 角的和差运算
【点评】
本题侧重考察等腰三角形性质与判定的灵活应用，需要通过添加辅助线构造等腰三角形完成已知条件的转化，解题的关键是合理作出辅助线，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
要证明BD=CD，可通过证明两条边所在的△DBC中对应底角相等，利用等角对等边推导结论。结合已知条件AB=AC，我们可以通过连接BC构造等腰△ABC，先利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABC=∠ACB，再结合已知的∠ABD=∠ACD，通过角的和差关系推出∠DBC=∠DCB，最终得到BD=CD的结论。
【解析】
解：连结BC。
∵ AB=AC（已知），
∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形等边对等角）。
又
∵ ∠ABD=∠ACD（已知），
∴ ∠ABD - ∠ABC = ∠ACD - ∠ACB（等式的性质），即∠DBC=∠DCB。
∴ BD=CD（等腰三角形等角对等边）。
【答案】
连结BC。由 $AB=AC$,得$∠ABC=∠ACB$。又因为$∠ABD=∠ACD$,所以$∠DBC=∠DCB$。所以 $BD=CD$。
【知识点】
1. 等边对等角
2. 等角对等边
3. 角的和差运算
【点评】
本题侧重考察等腰三角形性质与判定的灵活应用，需要通过添加辅助线构造等腰三角形完成已知条件的转化，解题的关键是合理作出辅助线，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
11. 一个等腰三角形的底边长为5，一条腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为（
A.2
B.8
C.2或8
D.10
B
）。A.2
B.8
C.2或8
D.10
答案
11. B
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：等腰三角形底边长为5，腰上的中线分周长为差是3的两部分。首先设腰长为x，腰上的中线会将腰分成两个长度为x/2的相等线段；由于被中线分成的两部分周长都包含中线的长度，因此两部分周长的差实际就是（腰长+半腰长）与（底边长+半腰长）的差，即腰长与底边长的差为±3，分两种情况计算即可；最后一定要用三角形三边关系验证计算出的边长能否构成三角形，排除不符合的情况。
【解析】
解：设该等腰三角形的腰长为$ x $。
腰上的中线将腰分为长度相等的两段，每段长为$ \frac{x}{2} $，两部分周长都包含中线长度，因此周长差仅和腰长、底边长有关，分两种情况讨论：
1. 若含腰的周长部分更长：
$ (x + \frac{x}{2}) - (5 + \frac{x}{2}) = 3 $
化简得：$ x - 5 = 3 $，解得$ x=8 $。
此时三角形三边长为8、8、5，验证三边关系：$ 5+8＞8 $，满足三角形构成条件。
2. 若含底边的周长部分更长：
$ (5 + \frac{x}{2}) - (x + \frac{x}{2}) = 3 $
化简得：$ 5 - x = 3 $，解得$ x=2 $。
此时三角形三边长为2、2、5，验证三边关系：$ 2+2=4＜5 $，不满足三角形构成条件，舍去该结果。
综上，腰长为8，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确周长差的本质，注意要分两种情况讨论，易错点是求出腰长后忽略验证三角形三边关系，从而误选两个结果。
【难度系数】
0.6
解题时先明确已知条件：等腰三角形底边长为5，腰上的中线分周长为差是3的两部分。首先设腰长为x，腰上的中线会将腰分成两个长度为x/2的相等线段；由于被中线分成的两部分周长都包含中线的长度，因此两部分周长的差实际就是（腰长+半腰长）与（底边长+半腰长）的差，即腰长与底边长的差为±3，分两种情况计算即可；最后一定要用三角形三边关系验证计算出的边长能否构成三角形，排除不符合的情况。
【解析】
解：设该等腰三角形的腰长为$ x $。
腰上的中线将腰分为长度相等的两段，每段长为$ \frac{x}{2} $，两部分周长都包含中线长度，因此周长差仅和腰长、底边长有关，分两种情况讨论：
1. 若含腰的周长部分更长：
$ (x + \frac{x}{2}) - (5 + \frac{x}{2}) = 3 $
化简得：$ x - 5 = 3 $，解得$ x=8 $。
此时三角形三边长为8、8、5，验证三边关系：$ 5+8＞8 $，满足三角形构成条件。
2. 若含底边的周长部分更长：
$ (5 + \frac{x}{2}) - (x + \frac{x}{2}) = 3 $
化简得：$ 5 - x = 3 $，解得$ x=2 $。
此时三角形三边长为2、2、5，验证三边关系：$ 2+2=4＜5 $，不满足三角形构成条件，舍去该结果。
综上，腰长为8，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确周长差的本质，注意要分两种情况讨论，易错点是求出腰长后忽略验证三角形三边关系，从而误选两个结果。
【难度系数】
0.6
12.已知两条线段的长为3 cm和4 cm，当第三条线段的长为
5或$\sqrt{7}$
cm时，这三条线段就能组成一个直角三角形。答案
12. 5或$\sqrt{7}$
解析
【分析】
要让三条线段组成直角三角形，需结合勾股定理求解第三条边的长度，由于题目未明确哪条边是斜边，因此需要分类讨论：首先确定已知两条边中较长的边为4cm，因此分两种情况：①第三条边为斜边（长度大于4cm）；②4cm长的线段为斜边（第三条边为直角边，长度小于4cm），分别结合勾股定理计算后，再验证是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当长度为4cm的线段为直角边时，第三条线段为斜边：
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$（cm），此时3+4＞5，满足三角形三边关系，成立；
2. 当长度为4cm的线段为斜边时，第三条线段为直角边：
根据勾股定理，该直角边长为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}$（cm），此时$3+\sqrt{7}＞4$，满足三角形三边关系，成立。
综上，第三条线段的长为5或$\sqrt{7}$cm。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认第三条边为斜边，仅算出5这一个结果。解题时遇到未明确直角三角形斜边的问题，要先对最长边的角色进行分类讨论，同时计算后要验证结果是否符合三角形三边的构成要求，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.6
要让三条线段组成直角三角形，需结合勾股定理求解第三条边的长度，由于题目未明确哪条边是斜边，因此需要分类讨论：首先确定已知两条边中较长的边为4cm，因此分两种情况：①第三条边为斜边（长度大于4cm）；②4cm长的线段为斜边（第三条边为直角边，长度小于4cm），分别结合勾股定理计算后，再验证是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当长度为4cm的线段为直角边时，第三条线段为斜边：
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$（cm），此时3+4＞5，满足三角形三边关系，成立；
2. 当长度为4cm的线段为斜边时，第三条线段为直角边：
根据勾股定理，该直角边长为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}$（cm），此时$3+\sqrt{7}＞4$，满足三角形三边关系，成立。
综上，第三条线段的长为5或$\sqrt{7}$cm。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认第三条边为斜边，仅算出5这一个结果。解题时遇到未明确直角三角形斜边的问题，要先对最长边的角色进行分类讨论，同时计算后要验证结果是否符合三角形三边的构成要求，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.6
13. 如图，在$△ ABC$中，$AB=CB$，$∠ ABC=90°$。$F$为$AB$延长线上一点，点$E$在$BC$上，且$BE=BF$。
（1）求证：$△ ABE ≌ △ CBF$。
（2）若$∠ CAE=30°$，求$∠ ACF$的度数。
（1）求证：$△ ABE ≌ △ CBF$。
（2）若$∠ CAE=30°$，求$∠ ACF$的度数。
答案
13. （1）由 $BE=BF,∠CBF=∠ABE=90°,AB=CB$,得$△ ABE ≌ △ CBF (\mathrm{SAS})$。
（2）由 $AB=BC,∠ABC=90°$,得$∠CAB=∠ACB=45°$,
所以$∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°$,所以$∠BCF=∠BAE=15°$,
所以$∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°$。
（2）由 $AB=BC,∠ABC=90°$,得$∠CAB=∠ACB=45°$,
所以$∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°$,所以$∠BCF=∠BAE=15°$,
所以$∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°$。
解析
【分析】
（1）要证明△ABE≌△CBF，先梳理已知边的条件：AB=CB、BE=BF，再找两边的夹角，由∠ABC=90°、F在AB延长线上可得∠CBF=∠ABE=90°，满足SAS全等判定的条件，即可证明全等。
（2）求∠ACF的度数，先根据AB=CB、∠ABC=90°得出△ABC是等腰直角三角形，得到∠CAB和∠ACB都是45°，结合∠CAE=30°算出∠BAE的度数，再利用第一问全等的对应角相等得到∠BCF=∠BAE，最后将∠BCF和∠ACB相加即可得到∠ACF的度数。
【解析】
（1）证明：
∵∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在△ABE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠ABE=∠CBF \\ BE=BF \end{array} $
∴△ABE≌△CBF（SAS）。
（2）解：
∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB - ∠CAE = 45° - 30° = 15°，
由（1）得△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF + ∠ACB = 15° + 45° = 60°。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boxed{60°}$
【知识点】
1. 全等三角形的SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形章节的基础典型题，综合考察全等三角形的判定、性质和等腰直角三角形的角度计算，解题核心是找准全等的判定条件，利用全等对应角相等完成角度的转化。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABE≌△CBF，先梳理已知边的条件：AB=CB、BE=BF，再找两边的夹角，由∠ABC=90°、F在AB延长线上可得∠CBF=∠ABE=90°，满足SAS全等判定的条件，即可证明全等。
（2）求∠ACF的度数，先根据AB=CB、∠ABC=90°得出△ABC是等腰直角三角形，得到∠CAB和∠ACB都是45°，结合∠CAE=30°算出∠BAE的度数，再利用第一问全等的对应角相等得到∠BCF=∠BAE，最后将∠BCF和∠ACB相加即可得到∠ACF的度数。
【解析】
（1）证明：
∵∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在△ABE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠ABE=∠CBF \\ BE=BF \end{array} $
∴△ABE≌△CBF（SAS）。
（2）解：
∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB - ∠CAE = 45° - 30° = 15°，
由（1）得△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF + ∠ACB = 15° + 45° = 60°。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boxed{60°}$
【知识点】
1. 全等三角形的SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形章节的基础典型题，综合考察全等三角形的判定、性质和等腰直角三角形的角度计算，解题核心是找准全等的判定条件，利用全等对应角相等完成角度的转化。
【难度系数】
0.7
