14. 如图，直角三角形纸片的两直角边$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$。现将直角边$AC$沿$AD$折叠，使它落在斜边$AB$上，点$C$与点$E$重合。求$CD$的长。

14. 由已知得 $AB=10\ \mathrm{cm},∠AED=∠C=\mathrm{Rt}∠,AE=AC=6\ \mathrm{cm},DE=DC$,
则 $BE=4\ \mathrm{cm}$。在 $\mathrm{Rt}△ BED$ 中,$BE^2+DE^2=BD^2$,即 $4^2+CD^2=(8-CD)^2$,
解得 $CD=3\ \mathrm{cm}$。

【分析】
遇到折叠类的几何计算问题，首先利用折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。第一步先在Rt△ABC中，用勾股定理算出斜边AB的长度；第二步根据折叠性质得到AE=AC、DE=CD、∠AED为直角，进而求出BE的长度；第三步观察到Rt△BED中，BE长度已知，DE、BD的长度都与CD相关，因此设CD为未知数，将DE、BD用含未知数的式子表示，再利用勾股定理列方程求解即可得到CD的长。
【解析】
在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$
由折叠的性质可得：$△ ACD≌△ AED$，因此$AE=AC=6\ \mathrm{cm}$，$DE=CD$，$∠ AED=∠ C=90°$，故$∠ BED=90°$。
则$BE=AB-AE=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，则$DE=x\ \mathrm{cm}$，$BD=BC-CD=(8-x)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△BED中，由勾股定理得：$BE^2+DE^2=BD^2$，代入得：
$4^2+x^2=(8-x)^2$
展开计算：$16+x^2=64-16x+x^2$
消去$x^2$后整理得：$16x=48$，解得$x=3$。
【答案】
$CD$的长为$3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想解几何题
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题关键是利用折叠的性质转化线段和角的条件，结合勾股定理构造方程求解，很好地体现了数形结合与方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7

15. 已知:如图,AC,BD交于点O,∠A=∠D=90°,AC=BD。求证:OB=OC。

15. 连结 BC。可证 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DCB$,所以$∠ACB=∠DBC$,从而 $OB=OC$。

【分析】
要证明OB=OC，可通过“等角对等边”转化为证明∠OBC=∠OCB。已知∠A、∠D均为直角，且AC=BD，两个三角形共享边BC，因此可连接BC构造直角三角形，通过证明两个直角三角形全等得到对应角相等，进而推导结论。
【解析】
证明：连结BC。
∵ ∠A=∠D=90°，
∴ △ABC与△DCB均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DCB$中：
$\begin{cases} AC=BD(\mathrm{已知}) \\ BC=CB(\mathrm{公共边}) \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ABC ≌ \mathrm{Rt}△DCB(\mathrm{HL})$，
∴ ∠ACB=∠DBC（全等三角形对应角相等），
∴ OB=OC（等角对等边）。
【答案】
连结 BC。可证 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DCB$,所以$∠ACB=∠DBC$,从而 $OB=OC$。
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查辅助线的构造能力以及基础几何定理的应用，只要掌握直角三角形全等判定和等腰三角形判定相关知识，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

16. 已知:如图,在$△ ABC$中,$BF ⊥ AC$于点$F$,$CG ⊥ AB$于点$G$,$D$是$BC$的中点,$DE ⊥ FG$于点$E$。求证:$GE=EF$。

16. 连结 $DG,DF$。由 $CG⊥AB,D$ 是 $BC$ 的中点,得 $DG=\frac{1}{2}BC$。同理,$DF=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DG=DF$。而 $DE⊥FG$,所以 $GE=EF$。

【分析】
要证明GE=EF，结合已知DE⊥FG的条件，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，只需先证明△DGF为等腰三角形（即DG=DF）即可。观察已知条件，图中有两个直角三角形Rt△BGC和Rt△BFC，且D是斜边BC的中点，因此可通过连结DG、DF，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，证明DG与DF相等，进而推导得出结论。
【解析】
证明：连结DG、DF。
∵ CG⊥AB，D是BC的中点，
∴ DG是Rt△BGC斜边BC上的中线，可得$DG=\frac{1}{2}BC$。
同理，BF⊥AC，D是BC的中点，
∴ DF是Rt△BFC斜边BC上的中线，可得$DF=\frac{1}{2}BC$。
∴ DG=DF，即△DGF是等腰三角形。
又
∵ DE⊥FG，根据等腰三角形三线合一的性质，DE平分FG，
∴ GE=EF。
【答案】
连结 $DG,DF$。由 $CG⊥AB,D$ 是 $BC$ 的中点,得 $DG=\frac{1}{2}BC$。同理,$DF=\frac{1}{2}BC$。所以 $DG=DF$。而 $DE⊥FG$,所以 $GE=EF$。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题重点考查直角三角形和等腰三角形性质的综合应用，解题的突破口是正确添加辅助线，将中点、垂直的已知条件和待证结论串联起来，掌握常见几何性质的适用场景是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.6

17. 已知:如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的中线,F是AD上一点,延长BF,交AC于点E,且$AE=EF$。求证:$BF=AC$。

17. 如图,延长 $FD$ 到 $G$,使 $DG=DF$,连结 $CG$。因为 $AD$ 是
BC 边的中线,所以 $BD=CD$。又因为$∠FDB=∠GDC$,所
以$△ BDF ≌ △ CDG (\mathrm{SAS})$,所以 $BF=CG,∠BFD=∠G$。
因为 $AE=EF$,所以$∠EAF=∠EFA=∠BFD$,所以$∠G$
$=∠CAG$,所以 $AC=CG$,所以 $BF=AC$。

【分析】
要证明线段$BF=AC$，观察两条线段的位置，没有直接的全等关系可证，因此考虑通过构造全等三角形转移线段。已知AD是BC边上的中线，可采用倍长中线的常用辅助线做法：延长FD到G使$DG=DF$，即可构造$△ BDF$和$△ CDG$全等，将BF转化为CG，再结合已知$AE=EF$推导角的等量关系，证明$AC=CG$，最后通过等量代换得到结论。
【解析】
证明：延长 $FD$ 到 $G$,使 $DG=DF$,连结 $CG$。
∵ $AD$ 是$BC$ 边的中线，
∴ $BD=CD$。
在$△ BDF$和$△ CDG$中：
$\begin{cases}BD=CD \\∠ FDB=∠ GDC \\DF=DG\end{cases}$
∴$△ BDF ≌ △ CDG (\mathrm{SAS})$，
∴ $BF=CG,∠ BFD=∠ G$。
∵ $AE=EF$，
∴$∠ EAF=∠ EFA$，
又
∵$∠ EFA=∠ BFD$（对顶角相等），
∴$∠ EAF=∠ BFD$，
∴$∠ G=∠ CAG$，
∴ $AC=CG$，
结合$BF=CG$可得：$BF=AC$。
【答案】
17. 如图,延长 $FD$ 到 $G$,使 $DG=DF$,连结 $CG$。因为 $AD$ 是
BC 边的中线,所以 $BD=CD$。又因为$∠FDB=∠GDC$,所
以$△ BDF ≌ △ CDG (\mathrm{SAS})$,所以 $BF=CG,∠BFD=∠G$。
因为 $AE=EF$,所以$∠EAF=∠EFA=∠BFD$,所以$∠G$
$=∠CAG$,所以 $AC=CG$,所以 $BF=AC$。

【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形中证明线段相等的典型题型，核心是利用倍长中线的辅助线构造全等三角形，实现边和角的转移，再结合等腰三角形“等角对等边”的性质完成证明，熟练掌握这类辅助线的构造方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6