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1. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（
A.1.5,2,3
B.7,24,25
C.6,8,10
D.9,12,15
A
）。A.1.5,2,3
B.7,24,25
C.6,8,10
D.9,12,15
答案
1. A
解析
【分析】
这道题考查直角三角形三边的判定，需要用到勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。解题时先找出每组数中的最大边，再计算另外两条边的平方和，将其与最大边的平方对比，若不相等则该组数不能作为直角三角形的三边长。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三个数中最大边为3，计算较小两边平方和：$1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，最大边平方：$3^2=9$，因为$6.25≠9$，所以这组数不能构成直角三角形；
B选项：最大边为25，$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2=625$，满足$7^2+24^2=25^2$，可以构成直角三角形；
C选项：最大边为10，$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2=100$，满足$6^2+8^2=10^2$，可以构成直角三角形；
D选项：最大边为15，$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2=225$，满足$9^2+12^2=15^2$，可以构成直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握勾股定理逆定理的使用方法，只要验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可快速判断。
【难度系数】
0.9
这道题考查直角三角形三边的判定，需要用到勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。解题时先找出每组数中的最大边，再计算另外两条边的平方和，将其与最大边的平方对比，若不相等则该组数不能作为直角三角形的三边长。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三个数中最大边为3，计算较小两边平方和：$1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，最大边平方：$3^2=9$，因为$6.25≠9$，所以这组数不能构成直角三角形；
B选项：最大边为25，$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2=625$，满足$7^2+24^2=25^2$，可以构成直角三角形；
C选项：最大边为10，$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2=100$，满足$6^2+8^2=10^2$，可以构成直角三角形；
D选项：最大边为15，$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2=225$，满足$9^2+12^2=15^2$，可以构成直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握勾股定理逆定理的使用方法，只要验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可快速判断。
【难度系数】
0.9
2. 下列各图形(含阴影部分)中,是轴对称图形的是(
C
)。答案
2. C
解析
【分析】
要判断哪个图形是轴对称图形，首先回忆轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。解题时我们逐个对选项进行验证：分别尝试沿正方形的竖中线、横中线、对角线等常见对称轴折叠，观察阴影部分和空白部分是否能完全重合，只要存在一条满足条件的直线，该图形就是轴对称图形。
【解析】
根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的，叫做轴对称图形。我们逐一分析选项：
选项A：沿任意直线折叠，阴影部分均无法完全重合，不是轴对称图形；
选项B：沿任意直线折叠，阴影部分均无法完全重合，不是轴对称图形；
选项C：沿过正方形中心的竖直直线折叠，直线两侧的阴影、空白部分完全重合，是轴对称图形；
选项D：沿任意直线折叠，阴影部分均无法完全重合，不是轴对称图形。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的定义；轴对称图形的判定
【点评】
本题考查轴对称图形的判断，属于基础题型，解题核心是紧扣定义，重点观察阴影部分的位置是否关于某条直线对称，避免只看正方形轮廓忽略阴影部分的情况。
【难度系数】
0.8
要判断哪个图形是轴对称图形，首先回忆轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。解题时我们逐个对选项进行验证：分别尝试沿正方形的竖中线、横中线、对角线等常见对称轴折叠，观察阴影部分和空白部分是否能完全重合，只要存在一条满足条件的直线，该图形就是轴对称图形。
【解析】
根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的，叫做轴对称图形。我们逐一分析选项：
选项A：沿任意直线折叠，阴影部分均无法完全重合，不是轴对称图形；
选项B：沿任意直线折叠，阴影部分均无法完全重合，不是轴对称图形；
选项C：沿过正方形中心的竖直直线折叠，直线两侧的阴影、空白部分完全重合，是轴对称图形；
选项D：沿任意直线折叠，阴影部分均无法完全重合，不是轴对称图形。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的定义；轴对称图形的判定
【点评】
本题考查轴对称图形的判断，属于基础题型，解题核心是紧扣定义，重点观察阴影部分的位置是否关于某条直线对称，避免只看正方形轮廓忽略阴影部分的情况。
【难度系数】
0.8
3. 已知一个等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长是（
A.11
B.13
C.11或13
D.12或13
C
）。A.11
B.13
C.11或13
D.12或13
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查等腰三角形周长的计算，解题思路如下：首先根据等腰三角形两条腰长相等的特征，题目未明确3和5哪个是腰长、哪个是底边长，因此需要分两种情况讨论；其次每种情况得到三边长后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，排除不符合条件的情况；最后分别计算符合条件的三角形周长，汇总得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为3，底边长为5时，三角形三边长为3、3、5。
验证三边关系：$3+3=6＞5$，满足三角形构成条件，此时周长为$3+3+5=11$。
② 当腰长为5，底边长为3时，三角形三边长为5、5、3。
验证三边关系：$3+5=8＞5$，满足三角形构成条件，此时周长为$5+5+3=13$。
因此这个等腰三角形的周长是11或13，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时容易因只考虑其中一种情况漏解，或忘记验证三边关系得到错误结果，做题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形周长的计算，解题思路如下：首先根据等腰三角形两条腰长相等的特征，题目未明确3和5哪个是腰长、哪个是底边长，因此需要分两种情况讨论；其次每种情况得到三边长后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，排除不符合条件的情况；最后分别计算符合条件的三角形周长，汇总得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为3，底边长为5时，三角形三边长为3、3、5。
验证三边关系：$3+3=6＞5$，满足三角形构成条件，此时周长为$3+3+5=11$。
② 当腰长为5，底边长为3时，三角形三边长为5、5、3。
验证三边关系：$3+5=8＞5$，满足三角形构成条件，此时周长为$5+5+3=13$。
因此这个等腰三角形的周长是11或13，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时容易因只考虑其中一种情况漏解，或忘记验证三边关系得到错误结果，做题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.7
4. 在直角三角形中,斜边与较小直角边的和、差分别为8,2,则较长直角边长为（
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）。A.5
B.4
C.3
D.2
答案
4. B
解析
【分析】
我们可以先通过设未知数，结合题目给出的斜边与较小直角边的和、差条件列出方程组，先求出斜边和较小直角边的长度，再利用直角三角形的勾股定理计算出较长直角边的长度即可。
【解析】
设直角三角形的斜边为$ c $，较小直角边为$ a $，较长直角边为$ b $。
根据题意可得方程组：
$\begin{cases}c + a = 8 \\c - a = 2\end{cases}$
将两个方程相加，得$ 2c = 10 $，解得$ c = 5 $。
把$ c = 5 $代入$ c + a = 8 $，得$ a = 8 - 5 = 3 $。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$ a^2 + b^2 = c^2 $，代入数值：
$ 3^2 + b^2 = 5^2 $
即$ 9 + b^2 = 25 $，解得$ b^2 = 16 $，因为边长为正数，所以$ b = 4 $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先根据和差关系求出斜边和较小直角边的长度，再结合勾股定理计算未知边，考查学生对基础公式的掌握和简单计算能力。
【难度系数】
0.8
我们可以先通过设未知数，结合题目给出的斜边与较小直角边的和、差条件列出方程组，先求出斜边和较小直角边的长度，再利用直角三角形的勾股定理计算出较长直角边的长度即可。
【解析】
设直角三角形的斜边为$ c $，较小直角边为$ a $，较长直角边为$ b $。
根据题意可得方程组：
$\begin{cases}c + a = 8 \\c - a = 2\end{cases}$
将两个方程相加，得$ 2c = 10 $，解得$ c = 5 $。
把$ c = 5 $代入$ c + a = 8 $，得$ a = 8 - 5 = 3 $。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$ a^2 + b^2 = c^2 $，代入数值：
$ 3^2 + b^2 = 5^2 $
即$ 9 + b^2 = 25 $，解得$ b^2 = 16 $，因为边长为正数，所以$ b = 4 $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先根据和差关系求出斜边和较小直角边的长度，再结合勾股定理计算未知边，考查学生对基础公式的掌握和简单计算能力。
【难度系数】
0.8
5. 已知直角三角形的一条直角边长与斜边长分别为6 cm和10 cm，则这个直角三角形斜边上的中线长为
5
cm，斜边上的高线长为4.8
cm。答案
5. 5;4.8
解析
【分析】
解题分两步思考：①求斜边上的中线长：回忆直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知斜边长度，可直接计算得到结果；②求斜边上的高线长：首先根据勾股定理算出另一条直角边的长度，再利用三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）相等，即等面积法，列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
1. 求斜边上的中线长：
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知斜边长为10 cm，
因此斜边上的中线长 = $ \frac{1}{2} × 10 = 5 $ cm。
2. 求斜边上的高线长：
首先根据勾股定理计算另一条直角边的长度：
设另一条直角边长为$ a $，则$ a = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 $ cm。
设斜边上的高线长为$ h $，根据三角形面积相等可得：
$ \frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × h $
化简得：$ 24 = 5h $，解得$ h = 4.8 $ cm。
【答案】
5；4.8
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是直角三角形相关性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握直角三角形的基础定理，灵活运用等面积法计算对应线段长度，计算时注意准确性即可。
【难度系数】
0.85
解题分两步思考：①求斜边上的中线长：回忆直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知斜边长度，可直接计算得到结果；②求斜边上的高线长：首先根据勾股定理算出另一条直角边的长度，再利用三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）相等，即等面积法，列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
1. 求斜边上的中线长：
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知斜边长为10 cm，
因此斜边上的中线长 = $ \frac{1}{2} × 10 = 5 $ cm。
2. 求斜边上的高线长：
首先根据勾股定理计算另一条直角边的长度：
设另一条直角边长为$ a $，则$ a = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 $ cm。
设斜边上的高线长为$ h $，根据三角形面积相等可得：
$ \frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × h $
化简得：$ 24 = 5h $，解得$ h = 4.8 $ cm。
【答案】
5；4.8
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是直角三角形相关性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握直角三角形的基础定理，灵活运用等面积法计算对应线段长度，计算时注意准确性即可。
【难度系数】
0.85
6. 已知命题:等边三角形的各个内角都等于$60°$。这个命题的逆命题是
各内角都等于60°的三角形是等边三角形
，，这是一个真
（填“真”或“假”）命题。答案
6. 各内角都等于60°的三角形是等边三角形;真
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确逆命题的改写规则：先将原命题拆分为“题设（条件）”和“结论”两部分，再把题设和结论互换位置，就能得到逆命题。之后结合等边三角形的判定定理判断逆命题的真假即可。首先拆分原命题“等边三角形的各个内角都等于60°”，可改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么它的各个内角都等于60°”，其中题设是“一个三角形是等边三角形”，结论是“它的各个内角都等于60°”，互换后整理即可得到逆命题，再根据等边三角形判定规则判断真假。
【解析】
1. 改写逆命题：将原命题的题设和结论互换，整理为通顺的语句，得到逆命题：各内角都等于60°的三角形是等边三角形。
2. 判断真假：根据等边三角形的判定定理，三个内角都相等的三角形是等边三角形。若三角形的各个内角都为60°，则三个内角全部相等，完全符合等边三角形的判定条件，因此这个逆命题是真命题。
【答案】
各内角都等于60°的三角形是等边三角形；真
【知识点】
逆命题的定义；等边三角形的判定
【点评】
本题主要考查逆命题的改写方法和命题真假的判断，解题核心是准确区分原命题的题设和结论，同时熟练掌握等边三角形的相关判定规则，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确逆命题的改写规则：先将原命题拆分为“题设（条件）”和“结论”两部分，再把题设和结论互换位置，就能得到逆命题。之后结合等边三角形的判定定理判断逆命题的真假即可。首先拆分原命题“等边三角形的各个内角都等于60°”，可改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么它的各个内角都等于60°”，其中题设是“一个三角形是等边三角形”，结论是“它的各个内角都等于60°”，互换后整理即可得到逆命题，再根据等边三角形判定规则判断真假。
【解析】
1. 改写逆命题：将原命题的题设和结论互换，整理为通顺的语句，得到逆命题：各内角都等于60°的三角形是等边三角形。
2. 判断真假：根据等边三角形的判定定理，三个内角都相等的三角形是等边三角形。若三角形的各个内角都为60°，则三个内角全部相等，完全符合等边三角形的判定条件，因此这个逆命题是真命题。
【答案】
各内角都等于60°的三角形是等边三角形；真
【知识点】
逆命题的定义；等边三角形的判定
【点评】
本题主要考查逆命题的改写方法和命题真假的判断，解题核心是准确区分原命题的题设和结论，同时熟练掌握等边三角形的相关判定规则，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
7. 如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点D。若∠A=36°,AB=AC=8,则∠C的度数是
72°
,∠1的度数是72°
,AD=4
。答案
7. 72°;72°;4
解析
【分析】
解题可分三步推导：第一步求∠C，已知AB=AC可得△ABC是等腰三角形，结合三角形内角和180°与已知∠A=36°，利用等腰三角形两底角相等的性质即可计算；第二步求∠1，先根据角平分线定义算出∠ABE的度数，再利用三角形外角性质（或三角形内角和定理）计算即可；第三步求AD，先判断△ABE为等腰三角形，结合DE⊥AB的条件，利用等腰三角形三线合一的性质可得D是AB中点，进而求出AD长度。
【解析】
1. 计算∠C的度数：
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C。
∵ 三角形内角和为180°，∠A=36°，
∴ $∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
2. 计算∠1的度数：
∵ BE是∠ABC的平分线，
∴ $∠ ABE=∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×72°=36°$。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ $∠1=∠ A+∠ ABE=36°+36°=72°$。
3. 计算AD的长度：
∵ ∠A=∠ABE=36°，
∴ AE=BE，即△ABE是等腰三角形。
又
∵ DE⊥AB，根据等腰三角形三线合一的性质，DE是AB边上的中线，即D为AB中点，
∵ AB=8，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
$72°$；$72°$；$4$
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查等腰三角形相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形等边对等角、三线合一的性质，结合角平分线、三角形内角和/外角的性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.75
解题可分三步推导：第一步求∠C，已知AB=AC可得△ABC是等腰三角形，结合三角形内角和180°与已知∠A=36°，利用等腰三角形两底角相等的性质即可计算；第二步求∠1，先根据角平分线定义算出∠ABE的度数，再利用三角形外角性质（或三角形内角和定理）计算即可；第三步求AD，先判断△ABE为等腰三角形，结合DE⊥AB的条件，利用等腰三角形三线合一的性质可得D是AB中点，进而求出AD长度。
【解析】
1. 计算∠C的度数：
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C。
∵ 三角形内角和为180°，∠A=36°，
∴ $∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
2. 计算∠1的度数：
∵ BE是∠ABC的平分线，
∴ $∠ ABE=∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×72°=36°$。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ $∠1=∠ A+∠ ABE=36°+36°=72°$。
3. 计算AD的长度：
∵ ∠A=∠ABE=36°，
∴ AE=BE，即△ABE是等腰三角形。
又
∵ DE⊥AB，根据等腰三角形三线合一的性质，DE是AB边上的中线，即D为AB中点，
∵ AB=8，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
$72°$；$72°$；$4$
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查等腰三角形相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形等边对等角、三线合一的性质，结合角平分线、三角形内角和/外角的性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.75
8. 如图，已知$∠ OAB = ∠ OBC = ∠ OCD = 90°$，$AB = BC = CD = 1$，$OA = 2$，则$OD = \_\_\_\_\_\_$。
答案
8. $\sqrt{7}$
解析
【分析】
题目中给出了多个有公共顶点的直角三角形，且已知各直角边的长度，我们可以连续运用勾股定理依次计算OB、OC的平方值，最终求出OD的长度。解题时无需中途对边长开方，直接用平方值进行后续计算，能简化运算过程、减少计算失误。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$OA=2$，$AB=1$，根据勾股定理可得：
$OB^2=OA^2+AB^2=2^2+1^2=4+1=5$
2. 在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$∠ OBC=90°$，$BC=1$，根据勾股定理可得：
$OC^2=OB^2+BC^2=5+1^2=5+1=6$
3. 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ OCD=90°$，$CD=1$，根据勾股定理可得：
$OD^2=OC^2+CD^2=6+1^2=6+1=7$
因为线段长度为正数，所以$OD=\sqrt{7}$
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是准确识别图中的直角三角形，逐层计算斜边的平方，熟练掌握勾股定理公式即可顺利解答，计算时注意细心即可避免出错。
【难度系数】
0.8
题目中给出了多个有公共顶点的直角三角形，且已知各直角边的长度，我们可以连续运用勾股定理依次计算OB、OC的平方值，最终求出OD的长度。解题时无需中途对边长开方，直接用平方值进行后续计算，能简化运算过程、减少计算失误。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$OA=2$，$AB=1$，根据勾股定理可得：
$OB^2=OA^2+AB^2=2^2+1^2=4+1=5$
2. 在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$∠ OBC=90°$，$BC=1$，根据勾股定理可得：
$OC^2=OB^2+BC^2=5+1^2=5+1=6$
3. 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ OCD=90°$，$CD=1$，根据勾股定理可得：
$OD^2=OC^2+CD^2=6+1^2=6+1=7$
因为线段长度为正数，所以$OD=\sqrt{7}$
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是准确识别图中的直角三角形，逐层计算斜边的平方，熟练掌握勾股定理公式即可顺利解答，计算时注意细心即可避免出错。
【难度系数】
0.8
