9. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC。以BP为边作$∠ PBQ=60°$，且$BQ=BP$，连结$CQ$，$PQ$。
（1）观察并猜想$AP$与$CQ$的大小关系，并说明理由。
（2）若$PA:PB:PC=3:4:5$，试判断$△ PQC$的形状，并说明理由。

（1）猜想:$AP=CQ$。理由如下:
由$∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°$,可得$∠ABP=∠QBC$。又$AB=BC,BP=BQ$,所以$△ ABP ≌ △ CBQ(\mathrm{SAS})$,所以$AP=CQ$。
（2）由$PA:PB:PC=3:4:5$,可设$PA=3a,PB=4a,PC=5a$。在$△ PBQ$中,由于$PB=BQ=4a$,且$∠PBQ=60°$,所以$△ PBQ$为等边三角形,所以$PQ=4a$。于是在$△ PQC$中,因为$PQ^2+QC^2=(4a)^2+(3a)^2=25a^2=PC^2$,所以$△ PQC$是直角三角形。

【分析】
（1）要判断AP和CQ的大小关系，可通过证明两条边所在的三角形全等求解。已知△ABC是等边三角形，可得AB=BC、∠ABC=60°，结合题目给出的∠PBQ=60°、BQ=BP的条件，可推导出∠ABP=∠CBQ，进而利用SAS证明△ABP和△CBQ全等，即可得到AP和CQ的关系。
（2）要判断△PQC的形状，已知三边的比例关系，可先设参数表示出三边长度，再结合勾股定理的逆定理判断。首先由∠PBQ=60°且BQ=BP，可得△PBQ是等边三角形，因此PQ=PB，再结合（1）中得到的CQ=AP，即可将△PQC的三条边都用参数表示，验证三边是否满足勾股定理的逆定理即可。
【解析】
（1）猜想：$AP=CQ$，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ $AB=BC$，$∠ABC=60°$，即$∠ABP + ∠PBC = 60°$，
又
∵ $∠PBQ=60°$，即$∠QBC + ∠PBC = 60°$，
∴ $∠ABP = ∠QBC$，
在$△ ABP$和$△ CBQ$中：
$\{\begin{array}{l}AB=CB \\∠ABP=∠CBQ \\BP=BQ\end{array} $
∴ $△ ABP ≌ △ CBQ(\mathrm{SAS})$，
∴ $AP=CQ$。
（2）$△ PQC$是直角三角形，理由如下：
由$PA:PB:PC=3:4:5$，设$PA=3a$，$PB=4a$，$PC=5a$（$a＞0$），
∵ $BQ=BP$，$∠PBQ=60°$，
∴ $△ PBQ$是等边三角形，
∴ $PQ=PB=4a$，
由（1）可知$CQ=AP=3a$，
在$△ PQC$中，$PQ^2 + CQ^2 = (4a)^2 + (3a)^2 = 16a^2 + 9a^2 = 25a^2$，
而$PC^2 = (5a)^2 = 25a^2$，
∴ $PQ^2 + CQ^2 = PC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ PQC$是直角三角形。
【答案】
（1）$AP=CQ$，理由见解析；
（2）$△ PQC$是直角三角形，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先通过全等三角形实现边的转化，再利用等边三角形的性质得到边的等量关系，最后结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，能有效考查几何逻辑推理能力和边的转化思想。
【难度系数】
0.7