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6. 在$△ ABC$中，$AB=c$，$AC=b$，$BC=a$。有下列条件：
①$a^2 = b^2 + c^2$；②$∠ A = ∠ B - ∠ C$；③$∠ A: ∠ B: ∠ C = 3:4:5$；
④$a:b:c = 3:4:5$；⑤$∠ A = \frac{1}{2}∠ B = \frac{2}{3}∠ C$。
其中可以判定$△ ABC$为直角三角形的有
①$a^2 = b^2 + c^2$；②$∠ A = ∠ B - ∠ C$；③$∠ A: ∠ B: ∠ C = 3:4:5$；
④$a:b:c = 3:4:5$；⑤$∠ A = \frac{1}{2}∠ B = \frac{2}{3}∠ C$。
其中可以判定$△ ABC$为直角三角形的有
①②④
（填序号）。答案
①②④
解析
【分析】
判定直角三角形有两种常用思路：一是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边平方和等于第三边的平方；二是利用三角形内角和为180°，计算三个内角中是否存在90°的角。我们逐个分析每个条件，对应选用合适的方法验证即可。
【解析】
我们逐个分析给出的条件：
1. 对于条件①：已知$a^2 = b^2 + c^2$，符合勾股定理的逆定理，边长$a$对应的角$∠A$为直角，因此$△ ABC$是直角三角形。
2. 对于条件②：由$∠A = ∠B - ∠C$可得$∠B = ∠A + ∠C$，结合三角形内角和为180°，即$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，代入得$∠B + ∠B = 180°$，解得$∠B=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形。
3. 对于条件③：设三个角分别为$3x、4x、5x$，则$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，三个角分别为$45°、60°、75°$，无直角，因此$△ ABC$不是直角三角形。
4. 对于条件④：设三边长分别为$3k、4k、5k（k＞0）$，计算得$(3k)^2 + (4k)^2 = 25k^2 = (5k)^2$，符合勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形。
5. 对于条件⑤：设$∠A=x$，则$∠B=2x$，$∠C=\frac{3}{2}x$，代入内角和公式得$x+2x+\frac{3}{2}x=180°$，解得$x=40°$，三个角分别为$40°、80°、60°$，无直角，因此$△ ABC$不是直角三角形。
综上，可判定为直角三角形的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的两种判定方法，解题时可根据条件类型灵活选择：给出边的关系优先用勾股逆定理验证，给出角的关系优先通过内角和计算是否存在90°角，计算时注意理清各角的数量关系避免出错。
【难度系数】
0.7
判定直角三角形有两种常用思路：一是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边平方和等于第三边的平方；二是利用三角形内角和为180°，计算三个内角中是否存在90°的角。我们逐个分析每个条件，对应选用合适的方法验证即可。
【解析】
我们逐个分析给出的条件：
1. 对于条件①：已知$a^2 = b^2 + c^2$，符合勾股定理的逆定理，边长$a$对应的角$∠A$为直角，因此$△ ABC$是直角三角形。
2. 对于条件②：由$∠A = ∠B - ∠C$可得$∠B = ∠A + ∠C$，结合三角形内角和为180°，即$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，代入得$∠B + ∠B = 180°$，解得$∠B=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形。
3. 对于条件③：设三个角分别为$3x、4x、5x$，则$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，三个角分别为$45°、60°、75°$，无直角，因此$△ ABC$不是直角三角形。
4. 对于条件④：设三边长分别为$3k、4k、5k（k＞0）$，计算得$(3k)^2 + (4k)^2 = 25k^2 = (5k)^2$，符合勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形。
5. 对于条件⑤：设$∠A=x$，则$∠B=2x$，$∠C=\frac{3}{2}x$，代入内角和公式得$x+2x+\frac{3}{2}x=180°$，解得$x=40°$，三个角分别为$40°、80°、60°$，无直角，因此$△ ABC$不是直角三角形。
综上，可判定为直角三角形的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的两种判定方法，解题时可根据条件类型灵活选择：给出边的关系优先用勾股逆定理验证，给出角的关系优先通过内角和计算是否存在90°角，计算时注意理清各角的数量关系避免出错。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°, AD=AB=4, BC=6, CD=2。求∠ADC的度数。
答案
连结$BD$。由$∠A=90°,AD=AB=4$,可得$BD=4\sqrt{2},∠ADB=45°$。又因为$CD=2,BC=6$,所以$CD^2+BD^2=CB^2$,所以$∠CDB=90°$。所以$∠ADC=∠ADB+∠CDB=135°$。
解析
【分析】
要求∠ADC的度数，可通过连接辅助线BD，将四边形拆分为两个三角形求解：首先△ABD是含直角的等腰三角形，可先利用勾股定理求出BD的长度，同时得到∠ADB的度数；再结合已知的CD、BC的长度，用勾股定理的逆定理判断△BCD的形状，求出∠CDB的度数，最后将两个角相加即可得到∠ADC的度数。
【解析】
解：连接BD，
在Rt△ABD中，∠A=90°，AD=AB=4，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
∵AD=AB，∠A=90°，
∴∠ADB=45°，
在△BCD中，CD=2，BD=$4\sqrt{2}$，BC=6，
∵$CD^2+BD^2=2^2+(4\sqrt{2})^2=4+32=36$，$BC^2=6^2=36$，
∴$CD^2+BD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△BCD是直角三角形，且∠CDB=90°，
∴$∠ADC=∠ADB+∠CDB=45°+90°=135°$。
【答案】
$\boxed{135°}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是通过作辅助线将四边形问题转化为三角形问题，结合勾股定理及其逆定理求解角度，掌握辅助线构造方法和勾股定理相关内容是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求∠ADC的度数，可通过连接辅助线BD，将四边形拆分为两个三角形求解：首先△ABD是含直角的等腰三角形，可先利用勾股定理求出BD的长度，同时得到∠ADB的度数；再结合已知的CD、BC的长度，用勾股定理的逆定理判断△BCD的形状，求出∠CDB的度数，最后将两个角相加即可得到∠ADC的度数。
【解析】
解：连接BD，
在Rt△ABD中，∠A=90°，AD=AB=4，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
∵AD=AB，∠A=90°，
∴∠ADB=45°，
在△BCD中，CD=2，BD=$4\sqrt{2}$，BC=6，
∵$CD^2+BD^2=2^2+(4\sqrt{2})^2=4+32=36$，$BC^2=6^2=36$，
∴$CD^2+BD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△BCD是直角三角形，且∠CDB=90°，
∴$∠ADC=∠ADB+∠CDB=45°+90°=135°$。
【答案】
$\boxed{135°}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是通过作辅助线将四边形问题转化为三角形问题，结合勾股定理及其逆定理求解角度，掌握辅助线构造方法和勾股定理相关内容是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 已知如下数表：
（1）观察$a,b,c$与$n$之间的关系，用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示：
$a=$
（2）试猜想：以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形吗？请说明理由。
（1）观察$a,b,c$与$n$之间的关系，用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示：
$a=$
$n^2-1$
，$b=$$2n$
，$c=$$n^2+1$
。（2）试猜想：以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形吗？请说明理由。
答案
（1）$n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
（2）以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形。理由如下:因为$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4+2n^2+1$,$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$,所以$a^2+b^2=c^2$。所以以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形。
（2）以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形。理由如下:因为$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4+2n^2+1$,$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$,所以$a^2+b^2=c^2$。所以以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形。
解析
【分析】
（1）本题属于规律探究题，观察表格中每组n对应的a、b、c的表达式：a的值为对应n的平方减1，b的值是n的2倍，c的值为对应n的平方加1，据此可归纳出含n的代数式。（2）要判断以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可，首先判断c是最长边，再分别计算a²+b²和c²，对比是否相等即可得出结论。
【解析】
（1）观察表格数据：
当n=2时，a=2²-1，b=4=2×2，c=2²+1；
当n=3时，a=3²-1，b=6=2×3，c=3²+1；
……
以此类推，可得：$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$。
（2）以a,b,c为边的三角形是直角三角形，理由如下：
先计算两条较短边的平方和：
$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2$
$=n^4-2n^2+1+4n^2$
$=n^4+2n^2+1$
再计算最长边c的平方：
$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$
因此可得$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，以a,b,c为边的三角形是直角三角形。
【答案】
（1）$n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
（2）是直角三角形，理由：$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4+2n^2+1=c^2$，故为直角三角形。
【知识点】
规律探究；勾股定理的逆定理；整式的运算
【点评】
本题将规律探究和几何判定相结合，既考查了观察归纳的能力，又考查了勾股定理逆定理的应用，属于基础综合题，掌握勾股定理逆定理的使用方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于规律探究题，观察表格中每组n对应的a、b、c的表达式：a的值为对应n的平方减1，b的值是n的2倍，c的值为对应n的平方加1，据此可归纳出含n的代数式。（2）要判断以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可，首先判断c是最长边，再分别计算a²+b²和c²，对比是否相等即可得出结论。
【解析】
（1）观察表格数据：
当n=2时，a=2²-1，b=4=2×2，c=2²+1；
当n=3时，a=3²-1，b=6=2×3，c=3²+1；
……
以此类推，可得：$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$。
（2）以a,b,c为边的三角形是直角三角形，理由如下：
先计算两条较短边的平方和：
$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2$
$=n^4-2n^2+1+4n^2$
$=n^4+2n^2+1$
再计算最长边c的平方：
$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$
因此可得$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，以a,b,c为边的三角形是直角三角形。
【答案】
（1）$n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
（2）是直角三角形，理由：$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4+2n^2+1=c^2$，故为直角三角形。
【知识点】
规律探究；勾股定理的逆定理；整式的运算
【点评】
本题将规律探究和几何判定相结合，既考查了观察归纳的能力，又考查了勾股定理逆定理的应用，属于基础综合题，掌握勾股定理逆定理的使用方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
