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1. 有下列方程:①$x^2 + 1 = 0$；②$ax^2 + bx + c = 0$；③$x^2 + \frac{1}{x} = 3$；④$\frac{y^2}{4} + 3y = 1$；⑤$(x - 1)(x + 1) = (x + 2)(x - 2) + 2x - 5$。其中是一元二次方程的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】要判断哪些是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的判定标准：一是属于整式方程，二是只含有1个未知数，三是未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，接下来按照这个标准逐个判断每个方程即可。
【解析】一元二次方程需同时满足三个条件：1. 是整式方程；2. 只含一个未知数；3. 未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。
逐个判断如下：
①$x^2 + 1 = 0$：是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数为$1≠0$，符合一元二次方程定义；
②$ax^2 + bx + c = 0$：未说明$a≠0$，若$a=0$则方程最高次数不为2，不符合定义；
③$x^2 + \frac{1}{x} = 3$：分母含未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义；
④$\frac{y^2}{4} + 3y = 1$：是整式方程，只含未知数$y$，$y$的最高次数为2，二次项系数为$\frac{1}{4}≠0$，符合一元二次方程定义；
⑤先化简方程：左边展开为$x^2 - 1$，右边展开为$x^2 - 4 + 2x - 5 = x^2 + 2x - 9$，移项合并同类项后得$-2x + 8 = 0$，最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义。
综上，符合条件的是①和④，共2个。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义，整式方程判定，方程化简
【点评】本题是一元二次方程定义的基础考查题，易错点为忽略二次项系数不为0的前提、未先化简方程就判断次数、误将分式方程判定为整式方程，只要严格按照定义逐项排查就能得出正确结果。
【难度系数】0.7
【解析】一元二次方程需同时满足三个条件：1. 是整式方程；2. 只含一个未知数；3. 未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。
逐个判断如下：
①$x^2 + 1 = 0$：是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数为$1≠0$，符合一元二次方程定义；
②$ax^2 + bx + c = 0$：未说明$a≠0$，若$a=0$则方程最高次数不为2，不符合定义；
③$x^2 + \frac{1}{x} = 3$：分母含未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义；
④$\frac{y^2}{4} + 3y = 1$：是整式方程，只含未知数$y$，$y$的最高次数为2，二次项系数为$\frac{1}{4}≠0$，符合一元二次方程定义；
⑤先化简方程：左边展开为$x^2 - 1$，右边展开为$x^2 - 4 + 2x - 5 = x^2 + 2x - 9$，移项合并同类项后得$-2x + 8 = 0$，最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义。
综上，符合条件的是①和④，共2个。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义，整式方程判定，方程化简
【点评】本题是一元二次方程定义的基础考查题，易错点为忽略二次项系数不为0的前提、未先化简方程就判断次数、误将分式方程判定为整式方程，只要严格按照定义逐项排查就能得出正确结果。
【难度系数】0.7
2.若关于$x$的一元二次方程$(m+2)x^2 + x + m^2 -4=0$有一个根为0，则$m$的值为()
A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.$\frac{1}{2}$
A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时需要同时考虑两个条件：①这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易被忽略的隐含条件；②已知x=0是方程的根，将x=0代入方程可得到关于m的方程，求解后结合二次项系数的限制条件就能得到正确的m值。具体步骤：先代入x=0求m的可能值，再排除使二次项系数为0的m值即可。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
第二步：把$x=0$代入原方程，得：
$(m+2)×0^2 + 0 + m^2 -4=0$
化简得$m^2-4=0$，解得$m=2$或$m=-2$。
第三步：结合第一步$m≠-2$的限制，可得$m=2$。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的概念；解一元二次方程
【点评】
本题易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接求解$m^2-4=0$得到m=2或-2，误选C。做题时要注意审题，挖出题中的隐含限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
解题时需要同时考虑两个条件：①这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易被忽略的隐含条件；②已知x=0是方程的根，将x=0代入方程可得到关于m的方程，求解后结合二次项系数的限制条件就能得到正确的m值。具体步骤：先代入x=0求m的可能值，再排除使二次项系数为0的m值即可。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
第二步：把$x=0$代入原方程，得：
$(m+2)×0^2 + 0 + m^2 -4=0$
化简得$m^2-4=0$，解得$m=2$或$m=-2$。
第三步：结合第一步$m≠-2$的限制，可得$m=2$。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的概念；解一元二次方程
【点评】
本题易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接求解$m^2-4=0$得到m=2或-2，误选C。做题时要注意审题，挖出题中的隐含限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
3.把一元二次方程$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+(x-2)^2=2$化为一般形式是。。
答案
$\boldsymbol{2x^2 -4x -1 = 0}$
解析
【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题思路为：先利用整式乘法公式展开方程左侧的两个乘积项，再合并同类项，最后将右侧的常数项移到左侧整理，即可得到标准一般形式。
【解析】
1. 利用平方差公式展开$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$：
$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=x^2-(\sqrt{3})^2=x^2-3$
2. 利用完全平方公式展开$(x-2)^2$：
$(x-2)^2=x^2-4x+4$
3. 将展开后的式子代入原方程：
$x^2-3 + x^2-4x+4 = 2$
4. 合并左侧同类项：
$2x^2-4x+1 = 2$
5. 移项，将右侧的2移到左侧并合并常数项：
$2x^2-4x+1-2=0$，即$2x^2-4x-1=0$
【答案】
$2x^2 -4x -1 = 0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式乘法公式的运用和一元二次方程的化简，解题时要注意展开多项式的符号问题，移项时记得变号，熟练掌握乘法公式能提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题思路为：先利用整式乘法公式展开方程左侧的两个乘积项，再合并同类项，最后将右侧的常数项移到左侧整理，即可得到标准一般形式。
【解析】
1. 利用平方差公式展开$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$：
$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=x^2-(\sqrt{3})^2=x^2-3$
2. 利用完全平方公式展开$(x-2)^2$：
$(x-2)^2=x^2-4x+4$
3. 将展开后的式子代入原方程：
$x^2-3 + x^2-4x+4 = 2$
4. 合并左侧同类项：
$2x^2-4x+1 = 2$
5. 移项，将右侧的2移到左侧并合并常数项：
$2x^2-4x+1-2=0$，即$2x^2-4x-1=0$
【答案】
$2x^2 -4x -1 = 0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式乘法公式的运用和一元二次方程的化简，解题时要注意展开多项式的符号问题，移项时记得变号，熟练掌握乘法公式能提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
4.已知$a,b$是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的两个实数根，则$a^2 - b - 2026$的值是。
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
解决本题的思路分为两步：第一步利用一元二次方程根的定义，将根a代入方程得到$a^2$的表达式，实现降次，把待求式中的高次项$a^2$替换为含a的一次式；第二步利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$a+b$的值，代入化简后的待求式计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because a$是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的实数根，
$\therefore$将$x=a$代入方程得：$a^2 + a - 2025 = 0$，
整理得：$a^2 = 2025 - a$。
将$a^2 = 2025 - a$代入$a^2 - b - 2026$得：
$\begin{aligned}原式&=(2025 - a) - b - 2026\\&= 2025 - a - b - 2026\\&= -(a + b) - 1\end{aligned}$
又$\because a,b$是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{1}{1} = -1$，
$\therefore$原式$= -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考基础题型，解题核心是通过根的定义完成高次项降次，再结合根与系数的关系代入计算，解题时需注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路分为两步：第一步利用一元二次方程根的定义，将根a代入方程得到$a^2$的表达式，实现降次，把待求式中的高次项$a^2$替换为含a的一次式；第二步利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$a+b$的值，代入化简后的待求式计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because a$是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的实数根，
$\therefore$将$x=a$代入方程得：$a^2 + a - 2025 = 0$，
整理得：$a^2 = 2025 - a$。
将$a^2 = 2025 - a$代入$a^2 - b - 2026$得：
$\begin{aligned}原式&=(2025 - a) - b - 2026\\&= 2025 - a - b - 2026\\&= -(a + b) - 1\end{aligned}$
又$\because a,b$是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{1}{1} = -1$，
$\therefore$原式$= -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考基础题型，解题核心是通过根的定义完成高次项降次，再结合根与系数的关系代入计算，解题时需注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
5.若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是。
答案
解：
设这个两位数的十位数字为$ x $，则个位数字为$ x+1 $，该两位数可表示为$ 10x + (x+1) = 11x + 1 $。
根据题意列方程：
$(x + x + 1)^2 - 2 = 11x + 1$
整理得：
$4x^2 -7x -2 = 0$
因式分解得：
$(4x + 1)(x - 2) = 0$
解得：
$x_1 = 2,\quad x_2 = -\frac{1}{4}$
由于十位数字是1~9的正整数，故舍去$ x_2=-\frac{1}{4} $，得$ x=2 $，个位数字为$ 2+1=3 $。
答：这个两位数是23。
设这个两位数的十位数字为$ x $，则个位数字为$ x+1 $，该两位数可表示为$ 10x + (x+1) = 11x + 1 $。
根据题意列方程：
$(x + x + 1)^2 - 2 = 11x + 1$
整理得：
$4x^2 -7x -2 = 0$
因式分解得：
$(4x + 1)(x - 2) = 0$
解得：
$x_1 = 2,\quad x_2 = -\frac{1}{4}$
由于十位数字是1~9的正整数，故舍去$ x_2=-\frac{1}{4} $，得$ x=2 $，个位数字为$ 2+1=3 $。
答：这个两位数是23。
解析
【分析】
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；题目给出两个等量关系：①个位数字=十位数字+1；②两位数=（十位数字+个位数字）的平方-2。我们可以先设十位数字为未知数，根据关系①表示出个位数字，进而表示出这个两位数，再根据关系②列方程求解，最后注意十位数字是1~9的正整数，需要舍去不符合实际意义的根，即可得到正确的两位数。
【解析】
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+1$，该两位数可表示为$10x + (x+1) = 11x + 1$。
根据题意列方程：
$(x + x + 1)^2 - 2 = 11x + 1$
整理得：
$4x^2 -7x -2 = 0$
因式分解得：
$(4x + 1)(x - 2) = 0$
解得：
$x_1 = 2,\quad x_2 = -\frac{1}{4}$
由于十位数字是1~9的正整数，故舍去$x_2=-\frac{1}{4}$，得$x=2$，个位数字为$2+1=3$，因此这个两位数是$10×2 +3=23$。
【答案】
23
【知识点】
列一元二次方程解应用题；因式分解法解方程；两位数的表示
【点评】
本题属于典型的数字类方程应用题，解题的核心是正确用未知数表示出两位数及两个数字的和，找准等量关系列方程，同时要注意数字的实际取值要求，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；题目给出两个等量关系：①个位数字=十位数字+1；②两位数=（十位数字+个位数字）的平方-2。我们可以先设十位数字为未知数，根据关系①表示出个位数字，进而表示出这个两位数，再根据关系②列方程求解，最后注意十位数字是1~9的正整数，需要舍去不符合实际意义的根，即可得到正确的两位数。
【解析】
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+1$，该两位数可表示为$10x + (x+1) = 11x + 1$。
根据题意列方程：
$(x + x + 1)^2 - 2 = 11x + 1$
整理得：
$4x^2 -7x -2 = 0$
因式分解得：
$(4x + 1)(x - 2) = 0$
解得：
$x_1 = 2,\quad x_2 = -\frac{1}{4}$
由于十位数字是1~9的正整数，故舍去$x_2=-\frac{1}{4}$，得$x=2$，个位数字为$2+1=3$，因此这个两位数是$10×2 +3=23$。
【答案】
23
【知识点】
列一元二次方程解应用题；因式分解法解方程；两位数的表示
【点评】
本题属于典型的数字类方程应用题，解题的核心是正确用未知数表示出两位数及两个数字的和，找准等量关系列方程，同时要注意数字的实际取值要求，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
6.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售出30件。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：若每件降价1元，则平均每天可多售出5件。如果每天要盈利800元，那么每件应降价元。
答案
解：设每件应降价x元，
根据题意，每件的利润为$(65-45-x)$元，日均销售量为$(30+5x)$件，列方程得：
$(20-x)(30+5x)=800$
整理得：
$x^2-14x+40=0$
因式分解得：
$(x-4)(x-10)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=10$。
∵商场需要尽快减少库存，降价幅度越大，日销售量越高，库存减少越快，
∴取$x=10$。
答：每件应降价10元。
根据题意，每件的利润为$(65-45-x)$元，日均销售量为$(30+5x)$件，列方程得：
$(20-x)(30+5x)=800$
整理得：
$x^2-14x+40=0$
因式分解得：
$(x-4)(x-10)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=10$。
∵商场需要尽快减少库存，降价幅度越大，日销售量越高，库存减少越快，
∴取$x=10$。
答：每件应降价10元。
解析
【分析】
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①先明确核心等量关系：总利润=单件商品利润×销售总数量；②设每件降价x元，分别表示出降价后的单件利润和日均销售量：单件利润=原售价-进货价-降价金额，日均销售量=原销量+每降价1元增加的销量×降价金额；③根据总盈利800元的条件列方程求解；④结合“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解（降价越多销量越高，去库存速度越快），舍去不符合题意的根。
【解析】
解：设每件应降价x元。
降价后每件服装的利润为$(65-45-x)=(20-x)$元，
降价后日均销售量为$(30+5x)$件，
根据总利润的等量关系列方程得：
$(20-x)(30+5x)=800$
展开整理得：
$x^2-14x+40=0$
因式分解得：
$(x-4)(x-10)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=10$。
∵要尽快减少库存，降价幅度越大，日销售量越高，库存减少越快，
∴舍去$x=4$，取$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；实根合理性判断
【点评】
本题是典型的销售类应用型问题，解题核心是抓住总利润的等量关系列方程，易错点是容易忽略“尽快减少库存”的限制条件，未对求出的根进行合理取舍导致出错，解题时要注意结合实际情境判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①先明确核心等量关系：总利润=单件商品利润×销售总数量；②设每件降价x元，分别表示出降价后的单件利润和日均销售量：单件利润=原售价-进货价-降价金额，日均销售量=原销量+每降价1元增加的销量×降价金额；③根据总盈利800元的条件列方程求解；④结合“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解（降价越多销量越高，去库存速度越快），舍去不符合题意的根。
【解析】
解：设每件应降价x元。
降价后每件服装的利润为$(65-45-x)=(20-x)$元，
降价后日均销售量为$(30+5x)$件，
根据总利润的等量关系列方程得：
$(20-x)(30+5x)=800$
展开整理得：
$x^2-14x+40=0$
因式分解得：
$(x-4)(x-10)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=10$。
∵要尽快减少库存，降价幅度越大，日销售量越高，库存减少越快，
∴舍去$x=4$，取$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；实根合理性判断
【点评】
本题是典型的销售类应用型问题，解题核心是抓住总利润的等量关系列方程，易错点是容易忽略“尽快减少库存”的限制条件，未对求出的根进行合理取舍导致出错，解题时要注意结合实际情境判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
7.解下列方程：
(1)$3(x-1)^2=12$；
(2)$x^2+4x-2=0$；
(3)$3x(x-2)=x-2$；
(4)$x^2+1=\sqrt{6}x$。
(1)$3(x-1)^2=12$；
(2)$x^2+4x-2=0$；
(3)$3x(x-2)=x-2$；
(4)$x^2+1=\sqrt{6}x$。
答案
解：
(1) 方程两边同时除以3，得
$(x-1)^2=4$
直接开平方，得
$x-1=\pm2$
即$x-1=2$或$x-1=-2$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 移项，得
$x^2+4x=2$
配方，方程两边同时加4，得
$x^2+4x+4=6$
即$(x+2)^2=6$
开平方，得
$x+2=\pm\sqrt{6}$
解得$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$。
(3) 移项，得
$3x(x-2)-(x-2)=0$
因式分解，得
$(x-2)(3x-1)=0$
则$x-2=0$或$3x-1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{3}$。
(4) 移项，将方程化为一般形式：
$x^2-\sqrt{6}x+1=0$
其中$a=1$，$b=-\sqrt{6}$，$c=1$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0$
由求根公式得
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$
解得$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
(1) 方程两边同时除以3，得
$(x-1)^2=4$
直接开平方，得
$x-1=\pm2$
即$x-1=2$或$x-1=-2$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 移项，得
$x^2+4x=2$
配方，方程两边同时加4，得
$x^2+4x+4=6$
即$(x+2)^2=6$
开平方，得
$x+2=\pm\sqrt{6}$
解得$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$。
(3) 移项，得
$3x(x-2)-(x-2)=0$
因式分解，得
$(x-2)(3x-1)=0$
则$x-2=0$或$3x-1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{3}$。
(4) 移项，将方程化为一般形式：
$x^2-\sqrt{6}x+1=0$
其中$a=1$，$b=-\sqrt{6}$，$c=1$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0$
由求根公式得
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$
解得$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
这是一组一元二次方程求解的题目，需根据每个方程的结构特征选择最优解法：
(1)方程左侧是含未知数的完全平方式乘常数，右侧为正实数，适合用直接开平方法，先将完全平方式的系数化为1，再开平方转化为两个一元一次方程求解；
(2)方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法，移项后给方程两边加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式再开方求解；
(3)方程左右两侧有公共因式$(x-2)$，适合用因式分解法，注意不要直接两边除以$(x-2)$避免丢根，先移项提取公因式，转化为两个一次因式乘积为0的形式求解；
(4)方程化为一般形式后不易因式分解，采用公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 方程两边同时除以3，得
$(x-1)^2=4$
直接开平方，得
$x-1=\pm2$
即$x-1=2$或$x-1=-2$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 移项，得
$x^2+4x=2$
配方，方程两边同时加4，得
$x^2+4x+4=6$
即$(x+2)^2=6$
开平方，得
$x+2=\pm\sqrt{6}$
解得$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$。
(3) 移项，得
$3x(x-2)-(x-2)=0$
因式分解，得
$(x-2)(3x-1)=0$
则$x-2=0$或$3x-1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{3}$。
(4) 移项，将方程化为一般形式：
$x^2-\sqrt{6}x+1=0$
其中$a=1$，$b=-\sqrt{6}$，$c=1$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0$
由求根公式得
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$
解得$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=-1$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$；
(3)$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{3}$；
(4)$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程解法，配方法，因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的四种基础解法，解题时可根据方程结构优先选择简便方法，使用因式分解法时注意不要随意除以含未知数的因式避免漏根，使用公式法前要先验证判别式是否非负，属于一元二次方程求解的基础训练题。
【难度系数】
0.85
这是一组一元二次方程求解的题目，需根据每个方程的结构特征选择最优解法：
(1)方程左侧是含未知数的完全平方式乘常数，右侧为正实数，适合用直接开平方法，先将完全平方式的系数化为1，再开平方转化为两个一元一次方程求解；
(2)方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法，移项后给方程两边加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式再开方求解；
(3)方程左右两侧有公共因式$(x-2)$，适合用因式分解法，注意不要直接两边除以$(x-2)$避免丢根，先移项提取公因式，转化为两个一次因式乘积为0的形式求解；
(4)方程化为一般形式后不易因式分解，采用公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 方程两边同时除以3，得
$(x-1)^2=4$
直接开平方，得
$x-1=\pm2$
即$x-1=2$或$x-1=-2$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 移项，得
$x^2+4x=2$
配方，方程两边同时加4，得
$x^2+4x+4=6$
即$(x+2)^2=6$
开平方，得
$x+2=\pm\sqrt{6}$
解得$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$。
(3) 移项，得
$3x(x-2)-(x-2)=0$
因式分解，得
$(x-2)(3x-1)=0$
则$x-2=0$或$3x-1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{3}$。
(4) 移项，将方程化为一般形式：
$x^2-\sqrt{6}x+1=0$
其中$a=1$，$b=-\sqrt{6}$，$c=1$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0$
由求根公式得
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$
解得$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=-1$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$；
(3)$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{3}$；
(4)$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程解法，配方法，因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的四种基础解法，解题时可根据方程结构优先选择简便方法，使用因式分解法时注意不要随意除以含未知数的因式避免漏根，使用公式法前要先验证判别式是否非负，属于一元二次方程求解的基础训练题。
【难度系数】
0.85
8.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m+5)x + 3m +6=0$。
(1)求证:不论实数$m$取何值,方程总有实数根。
(2)若该方程的两个根是一个矩形的两条邻边的长,当这个矩形的对角线长为5时,求$m$的值。
(1)求证:不论实数$m$取何值,方程总有实数根。
(2)若该方程的两个根是一个矩形的两条邻边的长,当这个矩形的对角线长为5时,求$m$的值。
答案
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2 - (m+5)x + 3m +6=0$中，
判别式
$\begin{aligned}\Delta &= [-(m+5)]^2 - 4×1×(3m+6)\\&= m^2 +10m +25 -12m -24\\&= m^2 -2m +1\\&= (m-1)^2\end{aligned}$
∵ 不论实数$m$取何值，都有$(m-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 不论实数$m$取何值，方程总有实数根。
---
(2) 解：
设方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，由题意知$x_1$，$x_2$是矩形的两条邻边长，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = m+5$，$x_1x_2 = 3m+6$
∵ 矩形对角线长为5，由勾股定理得$x_1^2 + x_2^2 = 5^2 =25$，
又∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$(m+5)^2 - 2(3m+6) =25$
展开整理：
$m^2 +10m +25 -6m -12 =25$
$m^2 +4m -12 =0$
解得 $m_1=2$，$m_2=-6$。
∵ 矩形的两条邻边长均为正数，
∴ $x_1+x_2 = m+5 ＞0$，$x_1x_2=3m+6＞0$。
当$m=-6$时，$m+5=-1＜0$，不符合题意，舍去；
当$m=2$时，$m+5=7＞0$，$3m+6=12＞0$，符合题意。
答：$m$的值为2。
在一元二次方程$x^2 - (m+5)x + 3m +6=0$中，
判别式
$\begin{aligned}\Delta &= [-(m+5)]^2 - 4×1×(3m+6)\\&= m^2 +10m +25 -12m -24\\&= m^2 -2m +1\\&= (m-1)^2\end{aligned}$
∵ 不论实数$m$取何值，都有$(m-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 不论实数$m$取何值，方程总有实数根。
---
(2) 解：
设方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，由题意知$x_1$，$x_2$是矩形的两条邻边长，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = m+5$，$x_1x_2 = 3m+6$
∵ 矩形对角线长为5，由勾股定理得$x_1^2 + x_2^2 = 5^2 =25$，
又∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$(m+5)^2 - 2(3m+6) =25$
展开整理：
$m^2 +10m +25 -6m -12 =25$
$m^2 +4m -12 =0$
解得 $m_1=2$，$m_2=-6$。
∵ 矩形的两条邻边长均为正数，
∴ $x_1+x_2 = m+5 ＞0$，$x_1x_2=3m+6＞0$。
当$m=-6$时，$m+5=-1＜0$，不符合题意，舍去；
当$m=2$时，$m+5=7＞0$，$3m+6=12＞0$，符合题意。
答：$m$的值为2。
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有实数根，核心思路是证明方程的判别式Δ恒大于等于0：先写出判别式的表达式，展开化简后配方，判断其取值范围即可完成证明。
(2) 已知方程两根为矩形邻边、对角线长为5，解题思路如下：首先根据韦达定理写出两根之和与两根之积的表达式；再结合勾股定理得到两根平方和为25，利用完全平方公式将两根平方和转化为与两根之和、两根之积相关的式子，代入后列方程求解m；最后结合矩形邻边均为正数的实际要求，对求出的m值进行检验取舍，得到最终结果。
【解析】
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2 - (m+5)x + 3m +6=0$中，
判别式
$\begin{aligned}\Delta &= [-(m+5)]^2 - 4×1×(3m+6)\\&= m^2 +10m +25 -12m -24\\&= m^2 -2m +1\\&= (m-1)^2\end{aligned}$
∵ 不论实数$m$取何值，都有$(m-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 不论实数$m$取何值，方程总有实数根。
(2) 解：
设方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，由题意知$x_1$，$x_2$是矩形的两条邻边长，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = m+5$，$x_1x_2 = 3m+6$
∵ 矩形对角线长为5，由勾股定理得$x_1^2 + x_2^2 = 5^2 =25$，
又
∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$(m+5)^2 - 2(3m+6) =25$
展开整理：
$m^2 +10m +25 -6m -12 =25$
$m^2 +4m -12 =0$
解得 $m_1=2$，$m_2=-6$。
∵ 矩形的两条邻边长均为正数，
∴ $x_1+x_2 = m+5 ＞0$，$x_1x_2=3m+6＞0$。
当$m=-6$时，$m+5=-1＜0$，不符合题意，舍去；
当$m=2$时，$m+5=7＞0$，$3m+6=12＞0$，符合题意。
【答案】
(1) 不论实数$m$取何值，方程总有实数根，证明成立；
(2) $m$的值为2。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 勾股定理
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，既考查了一元二次方程的核心性质，也结合了矩形的性质与勾股定理，解题时需注意结合实际意义对方程的解进行检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程总有实数根，核心思路是证明方程的判别式Δ恒大于等于0：先写出判别式的表达式，展开化简后配方，判断其取值范围即可完成证明。
(2) 已知方程两根为矩形邻边、对角线长为5，解题思路如下：首先根据韦达定理写出两根之和与两根之积的表达式；再结合勾股定理得到两根平方和为25，利用完全平方公式将两根平方和转化为与两根之和、两根之积相关的式子，代入后列方程求解m；最后结合矩形邻边均为正数的实际要求，对求出的m值进行检验取舍，得到最终结果。
【解析】
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2 - (m+5)x + 3m +6=0$中，
判别式
$\begin{aligned}\Delta &= [-(m+5)]^2 - 4×1×(3m+6)\\&= m^2 +10m +25 -12m -24\\&= m^2 -2m +1\\&= (m-1)^2\end{aligned}$
∵ 不论实数$m$取何值，都有$(m-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 不论实数$m$取何值，方程总有实数根。
(2) 解：
设方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，由题意知$x_1$，$x_2$是矩形的两条邻边长，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = m+5$，$x_1x_2 = 3m+6$
∵ 矩形对角线长为5，由勾股定理得$x_1^2 + x_2^2 = 5^2 =25$，
又
∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$(m+5)^2 - 2(3m+6) =25$
展开整理：
$m^2 +10m +25 -6m -12 =25$
$m^2 +4m -12 =0$
解得 $m_1=2$，$m_2=-6$。
∵ 矩形的两条邻边长均为正数，
∴ $x_1+x_2 = m+5 ＞0$，$x_1x_2=3m+6＞0$。
当$m=-6$时，$m+5=-1＜0$，不符合题意，舍去；
当$m=2$时，$m+5=7＞0$，$3m+6=12＞0$，符合题意。
【答案】
(1) 不论实数$m$取何值，方程总有实数根，证明成立；
(2) $m$的值为2。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 勾股定理
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，既考查了一元二次方程的核心性质，也结合了矩形的性质与勾股定理，解题时需注意结合实际意义对方程的解进行检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
