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1.国庆期间，某商店熊猫玩偶平均每天可售出80个，每个盈利10元。经调查发现，售价每上涨1元，销量就减少4个。若要使某天盈利900元，设熊猫玩偶售价上涨$ x $元，则下列方程正确的是（）
A.$(10+x)(80-4x)=900$
B.$(10-x)(80-4x)=900$
C.$x(80-4x)=900$
D.$(10+x)(80-\dfrac{x}{4})=900$
A.$(10+x)(80-4x)=900$
B.$(10-x)(80-4x)=900$
C.$x(80-4x)=900$
D.$(10+x)(80-\dfrac{x}{4})=900$
答案
A
解析
【分析】
本题属于销售利润类问题，核心解题思路是抓住“总盈利=单个商品利润×销售数量”这一等量关系，分别求出售价上涨x元后的单个利润和销售数量，再代入等量关系列出方程即可。首先推导单个利润：原本每个盈利10元，售价上涨x元后，单个盈利会对应增加x元；其次推导销量：原本每天售80个，每涨1元销量减少4个，上涨x元后销量减少的总量为4x个，即可得到当前销量，最后结合总盈利900元列方程判断选项。
【解析】
解：销售问题的核心等量关系为：$\mathrm{总盈利}=\mathrm{单个利润} × \mathrm{销售数量}$
1. 求涨价后的单个利润：
原本每个盈利10元，售价上涨x元后，单个利润为$(10+x)$元；
2. 求涨价后的销售数量：
原本每天可售80个，每涨1元销量减少4个，上涨x元后销量共减少$4x$个，因此当前销量为$(80-4x)$个；
3. 结合总盈利为900元，代入等量关系列方程：
$(10+x)(80-4x)=900$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是销售类方程应用的基础题，解题关键是准确梳理涨价对单个利润、销售量的影响，牢记总盈利的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题属于销售利润类问题，核心解题思路是抓住“总盈利=单个商品利润×销售数量”这一等量关系，分别求出售价上涨x元后的单个利润和销售数量，再代入等量关系列出方程即可。首先推导单个利润：原本每个盈利10元，售价上涨x元后，单个盈利会对应增加x元；其次推导销量：原本每天售80个，每涨1元销量减少4个，上涨x元后销量减少的总量为4x个，即可得到当前销量，最后结合总盈利900元列方程判断选项。
【解析】
解：销售问题的核心等量关系为：$\mathrm{总盈利}=\mathrm{单个利润} × \mathrm{销售数量}$
1. 求涨价后的单个利润：
原本每个盈利10元，售价上涨x元后，单个利润为$(10+x)$元；
2. 求涨价后的销售数量：
原本每天可售80个，每涨1元销量减少4个，上涨x元后销量共减少$4x$个，因此当前销量为$(80-4x)$个；
3. 结合总盈利为900元，代入等量关系列方程：
$(10+x)(80-4x)=900$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是销售类方程应用的基础题，解题关键是准确梳理涨价对单个利润、销售量的影响，牢记总盈利的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.某运动鞋专卖店销售一款运动鞋，每双进价为150·元。当销售单价为200元时，每天可售出40双。店庆期间，为最大限度让利给顾客，专卖店决定降价销售。经测算，该款运动鞋每降价1元，平均每天可多售出5双。设该款运动鞋销售单价降低$ x(x＞0) $元。
(1)每天能售出（用含$ x $的代数式表示）双运动鞋。
(2)当该款运动鞋销售单价降低多少元时，该店销售这款运动鞋平均每天盈利3360元？
(1)每天能售出（用含$ x $的代数式表示）双运动鞋。
(2)当该款运动鞋销售单价降低多少元时，该店销售这款运动鞋平均每天盈利3360元？
答案
解：
(1) 每天能售出 $\boldsymbol{40+5x}$ 双运动鞋。
(2) 根据题意，每双运动鞋的利润为 $(200 - x - 150)$ 元，日均销售量为 $(40+5x)$ 双，由总盈利公式列方程：
$(200 - x - 150)(40 + 5x) = 3360$
整理得：
$(50 - x)(40 + 5x) = 3360$
$x^2 - 42x + 272 = 0$
解得：
$x_1 = 8,\quad x_2 = 34$
∵ 专卖店要最大限度让利给顾客，降价幅度尽可能大，
∴ 取 $x=34$。
答：当该款运动鞋销售单价降低34元时，该店销售这款运动鞋平均每天盈利3360元。
(1) 每天能售出 $\boldsymbol{40+5x}$ 双运动鞋。
(2) 根据题意，每双运动鞋的利润为 $(200 - x - 150)$ 元，日均销售量为 $(40+5x)$ 双，由总盈利公式列方程：
$(200 - x - 150)(40 + 5x) = 3360$
整理得：
$(50 - x)(40 + 5x) = 3360$
$x^2 - 42x + 272 = 0$
解得：
$x_1 = 8,\quad x_2 = 34$
∵ 专卖店要最大限度让利给顾客，降价幅度尽可能大，
∴ 取 $x=34$。
答：当该款运动鞋销售单价降低34元时，该店销售这款运动鞋平均每天盈利3360元。
解析
【分析】
(1) 已知原价销售时每天可售出40双，每降价1元日均销量增加5双，那么降价x元时，日均增加的销量为5x双，总销量=原有销量+新增销量，代入数据直接列式即可。
(2) 销售利润问题的核心等量关系为：总盈利=单双利润×日均销量。先计算降价x元后的单双利润（售价-进价，此时售价为200-x元），再结合第一问得到的日均销量，代入等量关系列一元二次方程，解方程后根据“最大限度让利给顾客”的要求，选择降价幅度更大的解即可。
【解析】
(1) 原有销量为40双，降价x元后新增销量为5x双，因此每天能售出的运动鞋数量为$40+5x$双。
(2) 解：降价x元后，单双运动鞋的利润为$(200-x-150)$元，日均销量为$(40+5x)$双。
根据总盈利公式列方程：
$(200 - x - 150)(40 + 5x) = 3360$
整理得：
$(50 - x)(40 + 5x) = 3360$
展开移项化简得：
$x^2 - 42x + 272 = 0$
因式分解得$(x-8)(x-34)=0$，解得：
$x_1 = 8,\quad x_2 = 34$
∵ 专卖店要最大限度让利给顾客，需选择降价幅度更大的方案，
∴ 舍去$x=8$，取$x=34$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40+5x}$
(2) 当该款运动鞋销售单价降低$\boldsymbol{34}$元时，平均每天盈利3360元。
【知识点】
1. 列代数式
2. 一元二次方程的应用
3. 销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，考查学生梳理数量关系、列方程解方程的能力，解题时要注意结合题干的限制条件对求得的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 已知原价销售时每天可售出40双，每降价1元日均销量增加5双，那么降价x元时，日均增加的销量为5x双，总销量=原有销量+新增销量，代入数据直接列式即可。
(2) 销售利润问题的核心等量关系为：总盈利=单双利润×日均销量。先计算降价x元后的单双利润（售价-进价，此时售价为200-x元），再结合第一问得到的日均销量，代入等量关系列一元二次方程，解方程后根据“最大限度让利给顾客”的要求，选择降价幅度更大的解即可。
【解析】
(1) 原有销量为40双，降价x元后新增销量为5x双，因此每天能售出的运动鞋数量为$40+5x$双。
(2) 解：降价x元后，单双运动鞋的利润为$(200-x-150)$元，日均销量为$(40+5x)$双。
根据总盈利公式列方程：
$(200 - x - 150)(40 + 5x) = 3360$
整理得：
$(50 - x)(40 + 5x) = 3360$
展开移项化简得：
$x^2 - 42x + 272 = 0$
因式分解得$(x-8)(x-34)=0$，解得：
$x_1 = 8,\quad x_2 = 34$
∵ 专卖店要最大限度让利给顾客，需选择降价幅度更大的方案，
∴ 舍去$x=8$，取$x=34$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40+5x}$
(2) 当该款运动鞋销售单价降低$\boldsymbol{34}$元时，平均每天盈利3360元。
【知识点】
1. 列代数式
2. 一元二次方程的应用
3. 销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，考查学生梳理数量关系、列方程解方程的能力，解题时要注意结合题干的限制条件对求得的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
3. 提升题 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销售情况:该品牌头盔4月份销售150个,6月份销售216个,且从4月份到6月份销售量的月增长率相同。
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率。
(2)若该品牌头盔每个进价为30元,经调查统计,当每个头盔售价为40元时,月销售量为600个,在此基础上售价每上涨1元,月销售量就减少10个。设该品牌头盔的售价为x元,月销售量为y个。
①y与x之间的关系式为。
②若要使月销售利润达到10 000元,且尽可能让顾客得到实惠,该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率。
(2)若该品牌头盔每个进价为30元,经调查统计,当每个头盔售价为40元时,月销售量为600个,在此基础上售价每上涨1元,月销售量就减少10个。设该品牌头盔的售价为x元,月销售量为y个。
①y与x之间的关系式为。
②若要使月销售利润达到10 000元,且尽可能让顾客得到实惠,该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
答案
解：
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为$ x $。
根据题意，得：
$ 150(1+x)^2 = 216 $
解得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
$ 1+x = \pm1.2 $
$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $（不符合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%。
(2)① $ y = -10x + 1000 $
② 根据题意，得：
$ (x - 30)(-10x + 1000) = 10000 $
整理得：
$ x^2 - 130x + 4000 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 50)(x - 80) = 0 $
解得：
$ x_1 = 50 $，$ x_2 = 80 $
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴取$ x = 50 $。
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元。
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为$ x $。
根据题意，得：
$ 150(1+x)^2 = 216 $
解得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
$ 1+x = \pm1.2 $
$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $（不符合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%。
(2)① $ y = -10x + 1000 $
② 根据题意，得：
$ (x - 30)(-10x + 1000) = 10000 $
整理得：
$ x^2 - 130x + 4000 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 50)(x - 80) = 0 $
解得：
$ x_1 = 50 $，$ x_2 = 80 $
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴取$ x = 50 $。
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元。
解析
【分析】
（1）第一问属于增长率问题，核心是使用增长率计算公式：初始量×(1+月增长率)^增长次数=最终量。已知4月份销量为初始量150个，经过2次增长后6月销量为216个，设月增长率为未知数列方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）①求y与x的函数关系式时，先算出售价为x元时相比40元上涨的金额，再用基础销量600减去上涨价格对应的减少销量，化简即可得到关系式。
②月销售利润=单个头盔利润×月销售量，单个利润为（售价-进价），代入①的销量关系式，令总利润等于10000元列方程求解，最后根据“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择数值更小的售价即可。
【解析】
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为$ x $。
根据题意，得：
$ 150(1+x)^2 = 216 $
解得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
$ 1+x = \pm1.2 $
$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $（不符合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%。
(2)① 当售价为x元时，相比40元上涨了$(x-40)$元，月销量减少$10(x-40)$个，因此：
$y = 600 - 10(x-40) = -10x + 1000$
② 根据题意，月销售利润=单个利润×月销量，得：
$ (x - 30)(-10x + 1000) = 10000 $
整理得：
$ x^2 - 130x + 4000 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 50)(x - 80) = 0 $
解得：
$ x_1 = 50 $，$ x_2 = 80 $
∵要尽可能让顾客得到实惠，售价应更低，
∴取$ x = 50 $。
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元。
【答案】
(1) 20%
(2) ① $y=-10x+1000$；② 50元
【知识点】
一元二次方程应用，一次函数实际应用，增长率问题
【点评】
本题结合生活中的销售场景，考查了数学知识在实际问题中的应用，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行取舍，既能巩固基础公式的运用，也能提升学生分析实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于增长率问题，核心是使用增长率计算公式：初始量×(1+月增长率)^增长次数=最终量。已知4月份销量为初始量150个，经过2次增长后6月销量为216个，设月增长率为未知数列方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）①求y与x的函数关系式时，先算出售价为x元时相比40元上涨的金额，再用基础销量600减去上涨价格对应的减少销量，化简即可得到关系式。
②月销售利润=单个头盔利润×月销售量，单个利润为（售价-进价），代入①的销量关系式，令总利润等于10000元列方程求解，最后根据“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择数值更小的售价即可。
【解析】
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为$ x $。
根据题意，得：
$ 150(1+x)^2 = 216 $
解得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
$ 1+x = \pm1.2 $
$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $（不符合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%。
(2)① 当售价为x元时，相比40元上涨了$(x-40)$元，月销量减少$10(x-40)$个，因此：
$y = 600 - 10(x-40) = -10x + 1000$
② 根据题意，月销售利润=单个利润×月销量，得：
$ (x - 30)(-10x + 1000) = 10000 $
整理得：
$ x^2 - 130x + 4000 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 50)(x - 80) = 0 $
解得：
$ x_1 = 50 $，$ x_2 = 80 $
∵要尽可能让顾客得到实惠，售价应更低，
∴取$ x = 50 $。
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元。
【答案】
(1) 20%
(2) ① $y=-10x+1000$；② 50元
【知识点】
一元二次方程应用，一次函数实际应用，增长率问题
【点评】
本题结合生活中的销售场景，考查了数学知识在实际问题中的应用，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行取舍，既能巩固基础公式的运用，也能提升学生分析实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
