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1.我国古代数学著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽。”意思是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱。问：6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为$x$株，则可列方程为()
A.$3(x-1)x=6\ 210$
B.$3(x-1)=6\ 210$
C.$(3x-1)x=6\ 210$
D.$3x=6\ 210$
A.$3(x-1)x=6\ 210$
B.$3(x-1)=6\ 210$
C.$(3x-1)x=6\ 210$
D.$3x=6\ 210$
答案
A
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的等量关系，分两步推导：第一步先根据运费规则求出单株椽的价格，第二步结合总费用的计算公式列出方程。首先设椽的总数量为x株，少拿一株后需要运输的椽数量为(x-1)株，已知每株运费3文，可先算出这部分运费，题目明确该运费恰好等于1株椽的价钱，即可得到单株椽的价格表达式；再根据“总费用=单价×数量”的基本关系，代入总费用6210文就能列出对应方程。
【解析】
设这批椽的数量为$x$株：
1. 求单株椽的价格：少拿一株后，实际运输的椽数量为$(x-1)$株，总运费为$3(x-1)$文，由题意可知该运费与1株椽的价钱相等，因此每株椽的单价为$3(x-1)$文。
2. 结合总费用列方程：总费用=单价×总数量，已知总费用为6210文，代入各量可得：
$3(x-1)x=6210$
与选项A的表达式一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 实际问题列一元二次方程
2. 费用类等量关系
【点评】
本题以我国古代数学问题为载体，考查方程的实际应用，核心是读懂题意提取有效信息，抓住“少拿一株的运费等于单株椽价格”的关键等量关系，结合基础的费用公式即可求解，侧重对阅读理解能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题目中的等量关系，分两步推导：第一步先根据运费规则求出单株椽的价格，第二步结合总费用的计算公式列出方程。首先设椽的总数量为x株，少拿一株后需要运输的椽数量为(x-1)株，已知每株运费3文，可先算出这部分运费，题目明确该运费恰好等于1株椽的价钱，即可得到单株椽的价格表达式；再根据“总费用=单价×数量”的基本关系，代入总费用6210文就能列出对应方程。
【解析】
设这批椽的数量为$x$株：
1. 求单株椽的价格：少拿一株后，实际运输的椽数量为$(x-1)$株，总运费为$3(x-1)$文，由题意可知该运费与1株椽的价钱相等，因此每株椽的单价为$3(x-1)$文。
2. 结合总费用列方程：总费用=单价×总数量，已知总费用为6210文，代入各量可得：
$3(x-1)x=6210$
与选项A的表达式一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 实际问题列一元二次方程
2. 费用类等量关系
【点评】
本题以我国古代数学问题为载体，考查方程的实际应用，核心是读懂题意提取有效信息，抓住“少拿一株的运费等于单株椽价格”的关键等量关系，结合基础的费用公式即可求解，侧重对阅读理解能力的考查。
【难度系数】
0.7
2.我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题:今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高几何。意思是:已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈(1丈=10尺，1尺=10寸)，则门的高为()
A.96寸
B.86寸
C.62寸
D.28寸
A.96寸
B.86寸
C.62寸
D.28寸
答案
A
解析
【分析】
本题是勾股定理结合一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：首先将题目中的单位统一为寸，避免单位换算出错；其次设门的宽为未知数，根据“高比宽多6尺8寸”表示出门的高；再利用长方形的宽、高与对角线构成直角三角形，满足勾股定理，据此列出一元二次方程；最后解方程，舍去不符合实际的负根，求出高即可。
【解析】
第一步：统一单位
1丈=10尺=100寸，6尺8寸=68寸。
第二步：设未知数，列方程
设门的宽为$ x $寸，则门的高为$ (x+68) $寸。
长方形的宽、高和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理可得：
$ x^2 + (x+68)^2 = 100^2 $
第三步：解方程
展开方程：$ x^2 + x^2 + 136x + 4624 = 10000 $
合并同类项：$ 2x^2 + 136x - 5376 = 0 $
化简得：$ x^2 + 68x - 2688 = 0 $
由求根公式$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $，其中$ a=1,b=68,c=-2688 $，代入得：
$ \Delta = 68^2 - 4×1×(-2688) = 4624 + 10752 = 15376 = 124^2 $
因为长度为正数，所以取正根：
$ x = \frac{-68 + 124}{2} = 28 $
第四步：求门的高
门的高为$ x + 68 = 28 + 68 = 96 $（寸）
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；一元二次方程应用
【点评】
本题结合我国古代数学名著的内容出题，既考查数学知识的实际应用，也能感受传统数学文化，解题的核心是找到直角三角形三边的数量关系，列方程求解时注意根要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是勾股定理结合一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：首先将题目中的单位统一为寸，避免单位换算出错；其次设门的宽为未知数，根据“高比宽多6尺8寸”表示出门的高；再利用长方形的宽、高与对角线构成直角三角形，满足勾股定理，据此列出一元二次方程；最后解方程，舍去不符合实际的负根，求出高即可。
【解析】
第一步：统一单位
1丈=10尺=100寸，6尺8寸=68寸。
第二步：设未知数，列方程
设门的宽为$ x $寸，则门的高为$ (x+68) $寸。
长方形的宽、高和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理可得：
$ x^2 + (x+68)^2 = 100^2 $
第三步：解方程
展开方程：$ x^2 + x^2 + 136x + 4624 = 10000 $
合并同类项：$ 2x^2 + 136x - 5376 = 0 $
化简得：$ x^2 + 68x - 2688 = 0 $
由求根公式$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $，其中$ a=1,b=68,c=-2688 $，代入得：
$ \Delta = 68^2 - 4×1×(-2688) = 4624 + 10752 = 15376 = 124^2 $
因为长度为正数，所以取正根：
$ x = \frac{-68 + 124}{2} = 28 $
第四步：求门的高
门的高为$ x + 68 = 28 + 68 = 96 $（寸）
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；一元二次方程应用
【点评】
本题结合我国古代数学名著的内容出题，既考查数学知识的实际应用，也能感受传统数学文化，解题的核心是找到直角三角形三边的数量关系，列方程求解时注意根要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3.把小圆形场地的半径增加6 m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为 m。
答案
解：设小圆形场地的半径为$ x \, \mathrm{m} $，则大圆形场地的半径为$ (x+6) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$π (x+6)^2 = 2π x^2$
两边同时除以$ π $并整理，得：
$x^2 - 12x - 36 = 0$
由求根公式解得：
$x = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 + 4×36}}{2} = 6 \pm 6\sqrt{2}$
因为半径为正数，舍去负根$ x=6-6\sqrt{2} $，得$ x=6+6\sqrt{2} $。
答：小圆形场地的半径为$ 6+6\sqrt{2} \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$π (x+6)^2 = 2π x^2$
两边同时除以$ π $并整理，得：
$x^2 - 12x - 36 = 0$
由求根公式解得：
$x = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 + 4×36}}{2} = 6 \pm 6\sqrt{2}$
因为半径为正数，舍去负根$ x=6-6\sqrt{2} $，得$ x=6+6\sqrt{2} $。
答：小圆形场地的半径为$ 6+6\sqrt{2} \, \mathrm{m} $。
解析
【分析】
这是一道结合圆面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确题中等量关系：半径增加6m后的大圆面积是小圆面积的2倍；其次设小圆半径为未知数，分别表示出小圆和大圆的面积；再根据等量关系列方程，可先约去等式两边的π简化方程；最后解一元二次方程，结合半径为正数的实际意义舍去不符合要求的负根，即可得到结果。
【解析】
解：设小圆形场地的半径为$ x \, \mathrm{m} $，则大圆形场地的半径为$ (x+6) \, \mathrm{m} $。
根据圆的面积公式$S=π r^2$，结合题意列方程：
$π (x+6)^2 = 2π x^2$
两边同时除以$π$，展开整理得：
$x^2 - 12x - 36 = 0$
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=-12,c=-36$）得：
$x = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 + 4×36}}{2} = 6 \pm 6\sqrt{2}$
由于半径为正数，$6-6\sqrt{2}＜0$不符合实际，舍去负根，得$x=6+6\sqrt{2}$。
【答案】
$6+6\sqrt{2}$
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 一元二次方程的解法
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确抓住面积的倍数关系建立方程，求解后要注意结合实际场景对根进行检验，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
这是一道结合圆面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确题中等量关系：半径增加6m后的大圆面积是小圆面积的2倍；其次设小圆半径为未知数，分别表示出小圆和大圆的面积；再根据等量关系列方程，可先约去等式两边的π简化方程；最后解一元二次方程，结合半径为正数的实际意义舍去不符合要求的负根，即可得到结果。
【解析】
解：设小圆形场地的半径为$ x \, \mathrm{m} $，则大圆形场地的半径为$ (x+6) \, \mathrm{m} $。
根据圆的面积公式$S=π r^2$，结合题意列方程：
$π (x+6)^2 = 2π x^2$
两边同时除以$π$，展开整理得：
$x^2 - 12x - 36 = 0$
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=-12,c=-36$）得：
$x = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 + 4×36}}{2} = 6 \pm 6\sqrt{2}$
由于半径为正数，$6-6\sqrt{2}＜0$不符合实际，舍去负根，得$x=6+6\sqrt{2}$。
【答案】
$6+6\sqrt{2}$
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 一元二次方程的解法
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确抓住面积的倍数关系建立方程，求解后要注意结合实际场景对根进行检验，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
4. 提升题如图，$AB⊥OC$于点$O$，$AO=BO=50\ \mathrm{cm}$，$OC$是射线。蚂蚁甲以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$A$爬向点$B$，同时蚂蚁乙以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$O$沿射线$OC$爬行。经过$\mathrm{s}$，两只蚂蚁和点$O$围成的三角形的面积为$450\ \mathrm{cm}^2$。
答案
$\boldsymbol{10、15、30}$
解析
【分析】
这是动态几何结合面积求解的问题，解题时先设运动时间为t，根据蚂蚁甲的位置分两类讨论：①当甲在AO段（未到达O点）时，②当甲在OB段（经过O点向B爬行）时，分别表示出两种情况下甲到点O的距离，再结合AB⊥OC的垂直关系，利用直角三角形面积公式列一元二次方程求解，最后检验所得的解是否符合对应情况的时间范围，排除无效解即可。
【解析】
设经过$ t\ \mathrm{s} $，两只蚂蚁和点$ O $围成的三角形面积为$ 450\ \mathrm{cm}^2 $。
已知蚂蚁甲从A到O的时间为$ 50÷2=25\ \mathrm{s} $，从A到B的总时间为$ 100÷2=50\ \mathrm{s} $，分两种情况讨论：
1. 当$ 0≤ t≤25 $时，蚂蚁甲在AO段，距O点的距离为$ (50-2t)\ \mathrm{cm} $，蚂蚁乙距O点的距离为$ 3t\ \mathrm{cm} $。
由直角三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×(50-2t)×3t=450$
整理得$ t^2-25t+150=0 $，因式分解为$ (t-10)(t-15)=0 $，解得$ t_1=10 $，$ t_2=15 $，均符合$ 0≤ t≤25 $的范围，有效。
2. 当$ 25＜ t≤50 $时，蚂蚁甲在OB段，距O点的距离为$ (2t-50)\ \mathrm{cm} $，蚂蚁乙距O点的距离为$ 3t\ \mathrm{cm} $。
由直角三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×(2t-50)×3t=450$
整理得$ t^2-25t-150=0 $，因式分解为$ (t-30)(t+5)=0 $，解得$ t_1=30 $，$ t_2=-5 $（时间为负不符合实际，舍去），$ t=30 $符合$ 25＜ t≤50 $的范围，有效。
综上，符合条件的时间为10s、15s、30s。
【答案】
$\boldsymbol{10、15、30}$
【知识点】
一元二次方程的应用；直角三角形面积计算；动点分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略动点的位置变化，未分类讨论导致漏解，求解后要注意结合实际运动范围检验解的合理性，排除不符合条件的解。
【难度系数】
0.5
这是动态几何结合面积求解的问题，解题时先设运动时间为t，根据蚂蚁甲的位置分两类讨论：①当甲在AO段（未到达O点）时，②当甲在OB段（经过O点向B爬行）时，分别表示出两种情况下甲到点O的距离，再结合AB⊥OC的垂直关系，利用直角三角形面积公式列一元二次方程求解，最后检验所得的解是否符合对应情况的时间范围，排除无效解即可。
【解析】
设经过$ t\ \mathrm{s} $，两只蚂蚁和点$ O $围成的三角形面积为$ 450\ \mathrm{cm}^2 $。
已知蚂蚁甲从A到O的时间为$ 50÷2=25\ \mathrm{s} $，从A到B的总时间为$ 100÷2=50\ \mathrm{s} $，分两种情况讨论：
1. 当$ 0≤ t≤25 $时，蚂蚁甲在AO段，距O点的距离为$ (50-2t)\ \mathrm{cm} $，蚂蚁乙距O点的距离为$ 3t\ \mathrm{cm} $。
由直角三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×(50-2t)×3t=450$
整理得$ t^2-25t+150=0 $，因式分解为$ (t-10)(t-15)=0 $，解得$ t_1=10 $，$ t_2=15 $，均符合$ 0≤ t≤25 $的范围，有效。
2. 当$ 25＜ t≤50 $时，蚂蚁甲在OB段，距O点的距离为$ (2t-50)\ \mathrm{cm} $，蚂蚁乙距O点的距离为$ 3t\ \mathrm{cm} $。
由直角三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×(2t-50)×3t=450$
整理得$ t^2-25t-150=0 $，因式分解为$ (t-30)(t+5)=0 $，解得$ t_1=30 $，$ t_2=-5 $（时间为负不符合实际，舍去），$ t=30 $符合$ 25＜ t≤50 $的范围，有效。
综上，符合条件的时间为10s、15s、30s。
【答案】
$\boldsymbol{10、15、30}$
【知识点】
一元二次方程的应用；直角三角形面积计算；动点分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略动点的位置变化，未分类讨论导致漏解，求解后要注意结合实际运动范围检验解的合理性，排除不符合条件的解。
【难度系数】
0.5
5.在一堂数学与美术的融合课上,每名同学桌上都有一段长 60 cm 的铁丝,需要将铁丝剪成两段,并把每一段铁丝做成一个配件。
(1)小东想做两个正方形配件,若设其中一个正方形配件的边长为 x cm,则另一个正方形配件的边长为(用含 x 的代数式表示)cm。
(2)小东想让这两个正方形配件的面积之和为 100 cm²,他的想法能否实现?请说明理由。
(1)小东想做两个正方形配件,若设其中一个正方形配件的边长为 x cm,则另一个正方形配件的边长为(用含 x 的代数式表示)cm。
(2)小东想让这两个正方形配件的面积之和为 100 cm²,他的想法能否实现?请说明理由。
答案
解：
(1) $\boldsymbol{(15 - x)}$
(2) 他的想法不能实现，理由如下：
根据题意列方程：
$x^2 + (15 - x)^2 = 100$
整理得：
$2x^2 - 30x + 125 = 0$
该一元二次方程的判别式：
$\Delta = (-30)^2 - 4×2×125 = 900 - 1000 = -100 ＜ 0$
∴ 此方程没有实数根，不存在符合题意的边长取值。
答：小东的想法不能实现。
(1) $\boldsymbol{(15 - x)}$
(2) 他的想法不能实现，理由如下：
根据题意列方程：
$x^2 + (15 - x)^2 = 100$
整理得：
$2x^2 - 30x + 125 = 0$
该一元二次方程的判别式：
$\Delta = (-30)^2 - 4×2×125 = 900 - 1000 = -100 ＜ 0$
∴ 此方程没有实数根，不存在符合题意的边长取值。
答：小东的想法不能实现。
解析
【分析】
(1) 先计算边长为x cm的正方形的周长为4x cm，总铁丝长60 cm，因此剩余铁丝长度为(60-4x) cm，剩余铁丝为另一个正方形的周长，根据正方形边长=周长÷4化简即可得到结果。
(2) 要判断想法是否能实现，先根据“两个正方形面积之和为100 cm²”的等量关系列出一元二次方程，再通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若有正实数根则想法可实现，反之不能实现。
【解析】
(1) 边长为x cm的正方形周长为4x cm，剩余铁丝长度为$60-4x$ cm，因此另一个正方形的边长为$\frac{60-4x}{4}=15-x$（cm）。
(2) 他的想法不能实现，理由如下：
根据题意列方程：
$x^2 + (15 - x)^2 = 100$
展开整理得：
$2x^2 - 30x + 125 = 0$
计算该一元二次方程的判别式：
$\Delta = (-30)^2 - 4×2×125 = 900 - 1000 = -100 ＜ 0$
因此该方程没有实数根，不存在符合题意的边长取值，小东的想法不能实现。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(15 - x)}$
(2) 不能实现，理由见解析
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；根的判别式应用
【点评】
本题结合跨学科场景命题，贴近生活实际，考查代数式化简、一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列方程，掌握用判别式判断方程实根情况的方法，从而判断实际方案的可行性。
【难度系数】
0.7
(1) 先计算边长为x cm的正方形的周长为4x cm，总铁丝长60 cm，因此剩余铁丝长度为(60-4x) cm，剩余铁丝为另一个正方形的周长，根据正方形边长=周长÷4化简即可得到结果。
(2) 要判断想法是否能实现，先根据“两个正方形面积之和为100 cm²”的等量关系列出一元二次方程，再通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若有正实数根则想法可实现，反之不能实现。
【解析】
(1) 边长为x cm的正方形周长为4x cm，剩余铁丝长度为$60-4x$ cm，因此另一个正方形的边长为$\frac{60-4x}{4}=15-x$（cm）。
(2) 他的想法不能实现，理由如下：
根据题意列方程：
$x^2 + (15 - x)^2 = 100$
展开整理得：
$2x^2 - 30x + 125 = 0$
计算该一元二次方程的判别式：
$\Delta = (-30)^2 - 4×2×125 = 900 - 1000 = -100 ＜ 0$
因此该方程没有实数根，不存在符合题意的边长取值，小东的想法不能实现。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(15 - x)}$
(2) 不能实现，理由见解析
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；根的判别式应用
【点评】
本题结合跨学科场景命题，贴近生活实际，考查代数式化简、一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列方程，掌握用判别式判断方程实根情况的方法，从而判断实际方案的可行性。
【难度系数】
0.7
