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9.某商场销售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(单位:件)与每件售价x(单位:元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)写出y与x之间的关系式。(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)该商品的日销售额能否达到2600元？若能，求出每件的售价；若不能，请说明理由。
(1)写出y与x之间的关系式。(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)该商品的日销售额能否达到2600元？若能，求出每件的售价；若不能，请说明理由。
答案
解：
(1) 设y与x之间的关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=45\\y=55\end{cases}$和$\begin{cases}x=55\\y=45\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}45k + b = 55 \\55k + b = 45\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=100\end{cases}$
所以y与x之间的关系式为$y=-x+100$。
(2) 假设日销售额能达到2600元，日销售额为$x· y$，列方程得：
$x(-x+100)=2600$
整理得：$x^2 -100x +2600=0$
该一元二次方程的判别式：
$\Delta=(-100)^2 -4×1×2600=10000-10400=-400＜0$
∴该方程无实数根，即该商品的日销售额不能达到2600元。
(1) 设y与x之间的关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=45\\y=55\end{cases}$和$\begin{cases}x=55\\y=45\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}45k + b = 55 \\55k + b = 45\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=100\end{cases}$
所以y与x之间的关系式为$y=-x+100$。
(2) 假设日销售额能达到2600元，日销售额为$x· y$，列方程得：
$x(-x+100)=2600$
整理得：$x^2 -100x +2600=0$
该一元二次方程的判别式：
$\Delta=(-100)^2 -4×1×2600=10000-10400=-400＜0$
∴该方程无实数根，即该商品的日销售额不能达到2600元。
解析
【分析】
(1) 题目明确日销售量y和售价x是一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到y与x的关系式。
(2) 日销售额=每件售价×日销售量，即$销售额=x·y$。假设日销售额能达到2600元，将(1)中得到的y的关系式代入，即可列出关于x的一元二次方程，通过计算方程根的判别式Δ判断方程是否有实数根：若Δ≥0，说明存在符合条件的售价，能达到目标销售额；若Δ＜0，说明不存在符合条件的售价，不能达到目标销售额。
【解析】
(1) 设y与x之间的关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=45\\y=55\end{cases}$和$\begin{cases}x=55\\y=45\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}45k + b = 55 \\55k + b = 45\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$10k=-10$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$45k + b = 55$，得$-45+b=55$，解得$b=100$，
因此y与x的关系式为$y=-x+100$。
(2) 假设日销售额能达到2600元，根据日销售额的计算方法列方程：
$x(-x+100)=2600$
整理得$x^2-100x+2600=0$，
计算该方程的判别式：$\Delta=(-100)^2-4×1×2600=10000-10400=-400＜0$，
因此该方程无实数根，即不存在符合条件的售价，日销售额不能达到2600元。
【答案】
(1) $y=-x+100$
(2) 不能达到2600元，因为所列一元二次方程无实数根，不存在满足要求的售价。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根的判别式的应用
【点评】
本题是函数与方程结合的实际应用类基础题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，也考查了利用根的判别式判断实际问题是否有解的能力，需要熟练掌握函数与方程的关联应用。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确日销售量y和售价x是一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到y与x的关系式。
(2) 日销售额=每件售价×日销售量，即$销售额=x·y$。假设日销售额能达到2600元，将(1)中得到的y的关系式代入，即可列出关于x的一元二次方程，通过计算方程根的判别式Δ判断方程是否有实数根：若Δ≥0，说明存在符合条件的售价，能达到目标销售额；若Δ＜0，说明不存在符合条件的售价，不能达到目标销售额。
【解析】
(1) 设y与x之间的关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=45\\y=55\end{cases}$和$\begin{cases}x=55\\y=45\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}45k + b = 55 \\55k + b = 45\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$10k=-10$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$45k + b = 55$，得$-45+b=55$，解得$b=100$，
因此y与x的关系式为$y=-x+100$。
(2) 假设日销售额能达到2600元，根据日销售额的计算方法列方程：
$x(-x+100)=2600$
整理得$x^2-100x+2600=0$，
计算该方程的判别式：$\Delta=(-100)^2-4×1×2600=10000-10400=-400＜0$，
因此该方程无实数根，即不存在符合条件的售价，日销售额不能达到2600元。
【答案】
(1) $y=-x+100$
(2) 不能达到2600元，因为所列一元二次方程无实数根，不存在满足要求的售价。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根的判别式的应用
【点评】
本题是函数与方程结合的实际应用类基础题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，也考查了利用根的判别式判断实际问题是否有解的能力，需要熟练掌握函数与方程的关联应用。
【难度系数】
0.7
10. 提升题▶已知关于$ x $的一元二次方程$ a(1 - x^2) - 2\sqrt{2}bx + c(1 + x^2) = 0 $，其中$ a,b,c $分别是$ \mathrm{Rt}△ ABC $中$ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $的对边边长，$ ∠ C = 90° $。
(1)求证:该方程有两个不相等的实数根。
(2)若方程的两个根是$ x_1,x_2 $，且$ x_1^2 + x_2^2 = 12 $，求$ a:b:c $。
(1)求证:该方程有两个不相等的实数根。
(2)若方程的两个根是$ x_1,x_2 $，且$ x_1^2 + x_2^2 = 12 $，求$ a:b:c $。
答案
证明：
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$(c - a)x^2 - 2\sqrt{2}bx + (a + c) = 0$
∵ ∠C=90°，a,b,c是Rt△ABC的三边，
∴ $a^2 + b^2 = c^2$，且$b＞0$。
计算方程的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2\sqrt{2}b)^2 - 4(c-a)(a+c) \\&= 8b^2 - 4(c^2 - a^2)\end{aligned}$
将$c^2 - a^2 = b^2$代入上式，得：
$\Delta = 8b^2 - 4b^2 = 4b^2$
∵ $b＞0$，∴ $4b^2＞0$，即$\Delta＞0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{2}b}{c - a}, \quad x_1x_2 = \frac{a + c}{c - a}$
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 12$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$(\frac{2\sqrt{2}b}{c - a})^2 - 2·\frac{a + c}{c - a} = 12$
整理得：
$\frac{8b^2}{(c - a)^2} - \frac{2(a + c)}{c - a} = 12$
两边同乘$(c - a)^2$，得：
$8b^2 - 2(a + c)(c - a) = 12(c - a)^2$
将$c^2 - a^2 = b^2$代入左边，得：
$8b^2 - 2b^2 = 12(c - a)^2$
即$6b^2 = 12(c - a)^2$，化简得$b^2 = 2(c - a)^2$。
将$b^2 = c^2 - a^2$代入上式：
$c^2 - a^2 = 2(c - a)^2$
左边因式分解得$(c - a)(c + a) = 2(c - a)^2$，
∵ 原方程是一元二次方程，∴ $c - a ≠ 0$，两边同时除以$c - a$，得：
$c + a = 2(c - a)$
整理得$c = 3a$。
将$c = 3a$代入$b^2 = c^2 - a^2$，得：
$b^2 = 9a^2 - a^2 = 8a^2$
∵ $b＞0$，∴ $b = 2\sqrt{2}a$，
∴ $a:b:c = a:2\sqrt{2}a:3a = 1:2\sqrt{2}:3$。
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$(c - a)x^2 - 2\sqrt{2}bx + (a + c) = 0$
∵ ∠C=90°，a,b,c是Rt△ABC的三边，
∴ $a^2 + b^2 = c^2$，且$b＞0$。
计算方程的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2\sqrt{2}b)^2 - 4(c-a)(a+c) \\&= 8b^2 - 4(c^2 - a^2)\end{aligned}$
将$c^2 - a^2 = b^2$代入上式，得：
$\Delta = 8b^2 - 4b^2 = 4b^2$
∵ $b＞0$，∴ $4b^2＞0$，即$\Delta＞0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{2}b}{c - a}, \quad x_1x_2 = \frac{a + c}{c - a}$
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 12$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$(\frac{2\sqrt{2}b}{c - a})^2 - 2·\frac{a + c}{c - a} = 12$
整理得：
$\frac{8b^2}{(c - a)^2} - \frac{2(a + c)}{c - a} = 12$
两边同乘$(c - a)^2$，得：
$8b^2 - 2(a + c)(c - a) = 12(c - a)^2$
将$c^2 - a^2 = b^2$代入左边，得：
$8b^2 - 2b^2 = 12(c - a)^2$
即$6b^2 = 12(c - a)^2$，化简得$b^2 = 2(c - a)^2$。
将$b^2 = c^2 - a^2$代入上式：
$c^2 - a^2 = 2(c - a)^2$
左边因式分解得$(c - a)(c + a) = 2(c - a)^2$，
∵ 原方程是一元二次方程，∴ $c - a ≠ 0$，两边同时除以$c - a$，得：
$c + a = 2(c - a)$
整理得$c = 3a$。
将$c = 3a$代入$b^2 = c^2 - a^2$，得：
$b^2 = 9a^2 - a^2 = 8a^2$
∵ $b＞0$，∴ $b = 2\sqrt{2}a$，
∴ $a:b:c = a:2\sqrt{2}a:3a = 1:2\sqrt{2}:3$。
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，第一步先将原方程整理为$Ax²+Bx+C=0$的一般形式，再计算判别式$\Delta$，结合Rt△ABC中$∠ C=90°$的勾股定理$c^2=a^2+b^2$对$\Delta$进行化简，只要证明$\Delta＞0$即可，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
(2) 已知两根的平方和，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系代入表达式，结合勾股定理逐步化简得到$a、b、c$三者的数量关系，最终求出三边的比值。
【解析】
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$(c - a)x^2 - 2\sqrt{2}bx + (a + c) = 0$
∵ $∠ C=90°$，$a,b,c$是Rt△ABC的三边，
∴ $a^2 + b^2 = c^2$，且$b＞0$。
计算方程的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2\sqrt{2}b)^2 - 4(c-a)(a+c) \\&= 8b^2 - 4(c^2 - a^2)\end{aligned}$
将$c^2 - a^2 = b^2$代入上式，得：
$\Delta = 8b^2 - 4b^2 = 4b^2$
∵ $b＞0$，
∴ $4b^2＞0$，即$\Delta＞0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{2}b}{c - a}, \quad x_1x_2 = \frac{a + c}{c - a}$
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 12$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$(\frac{2\sqrt{2}b}{c - a})^2 - 2·\frac{a + c}{c - a} = 12$
整理得：
$\frac{8b^2}{(c - a)^2} - \frac{2(a + c)}{c - a} = 12$
两边同乘$(c - a)^2$，得：
$8b^2 - 2(a + c)(c - a) = 12(c - a)^2$
将$c^2 - a^2 = b^2$代入左边，得：
$8b^2 - 2b^2 = 12(c - a)^2$
即$6b^2 = 12(c - a)^2$，化简得$b^2 = 2(c - a)^2$。
将$b^2 = c^2 - a^2$代入上式：
$c^2 - a^2 = 2(c - a)^2$
左边因式分解得$(c - a)(c + a) = 2(c - a)^2$，
∵ 原方程是一元二次方程，
∴ $c - a ≠ 0$，两边同时除以$c - a$，得：
$c + a = 2(c - a)$
整理得$c = 3a$。
将$c = 3a$代入$b^2 = c^2 - a^2$，得：
$b^2 = 9a^2 - a^2 = 8a^2$
∵ $b＞0$，
∴ $b = 2\sqrt{2}a$，
∴ $a:b:c = a:2\sqrt{2}a:3a = 1:2\sqrt{2}:3$。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根，得证；
(2) $a:b:c=1:2\sqrt{2}:3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合题，既考察了一元二次方程根的判别式、根与系数关系的应用，又结合了直角三角形勾股定理的性质，解题时需熟练掌握代数式变形技巧，注意挖掘一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，第一步先将原方程整理为$Ax²+Bx+C=0$的一般形式，再计算判别式$\Delta$，结合Rt△ABC中$∠ C=90°$的勾股定理$c^2=a^2+b^2$对$\Delta$进行化简，只要证明$\Delta＞0$即可，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
(2) 已知两根的平方和，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系代入表达式，结合勾股定理逐步化简得到$a、b、c$三者的数量关系，最终求出三边的比值。
【解析】
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$(c - a)x^2 - 2\sqrt{2}bx + (a + c) = 0$
∵ $∠ C=90°$，$a,b,c$是Rt△ABC的三边，
∴ $a^2 + b^2 = c^2$，且$b＞0$。
计算方程的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2\sqrt{2}b)^2 - 4(c-a)(a+c) \\&= 8b^2 - 4(c^2 - a^2)\end{aligned}$
将$c^2 - a^2 = b^2$代入上式，得：
$\Delta = 8b^2 - 4b^2 = 4b^2$
∵ $b＞0$，
∴ $4b^2＞0$，即$\Delta＞0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{2}b}{c - a}, \quad x_1x_2 = \frac{a + c}{c - a}$
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 12$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入得：
$(\frac{2\sqrt{2}b}{c - a})^2 - 2·\frac{a + c}{c - a} = 12$
整理得：
$\frac{8b^2}{(c - a)^2} - \frac{2(a + c)}{c - a} = 12$
两边同乘$(c - a)^2$，得：
$8b^2 - 2(a + c)(c - a) = 12(c - a)^2$
将$c^2 - a^2 = b^2$代入左边，得：
$8b^2 - 2b^2 = 12(c - a)^2$
即$6b^2 = 12(c - a)^2$，化简得$b^2 = 2(c - a)^2$。
将$b^2 = c^2 - a^2$代入上式：
$c^2 - a^2 = 2(c - a)^2$
左边因式分解得$(c - a)(c + a) = 2(c - a)^2$，
∵ 原方程是一元二次方程，
∴ $c - a ≠ 0$，两边同时除以$c - a$，得：
$c + a = 2(c - a)$
整理得$c = 3a$。
将$c = 3a$代入$b^2 = c^2 - a^2$，得：
$b^2 = 9a^2 - a^2 = 8a^2$
∵ $b＞0$，
∴ $b = 2\sqrt{2}a$，
∴ $a:b:c = a:2\sqrt{2}a:3a = 1:2\sqrt{2}:3$。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根，得证；
(2) $a:b:c=1:2\sqrt{2}:3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合题，既考察了一元二次方程根的判别式、根与系数关系的应用，又结合了直角三角形勾股定理的性质，解题时需熟练掌握代数式变形技巧，注意挖掘一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
