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4. 计算：
(1) $\sqrt{12} + 3\sqrt{1$
$\frac{1}{3}} - \sqrt{5\frac{1}{3}} - \frac{2}{3}\sqrt{48}$；
(2) $\sqrt{\frac{3}{8}} - (-\frac{3}{$
$}\sqrt{\frac{27}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{6}})$；
(3) $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + $
$\sqrt{\frac{x}{4}} - 2x\sqrt{\frac{1}{x}}$；
(4) $\sqrt{0.2m} + \frac{1}{m}\sqrt{5m^3} - m\sqrt{\frac{125}{m}}$。
(1) $\sqrt{12} + 3\sqrt{1$
$\frac{1}{3}} - \sqrt{5\frac{1}{3}} - \frac{2}{3}\sqrt{48}$；(2) $\sqrt{\frac{3}{8}} - (-\frac{3}{$
$}\sqrt{\frac{27}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{6}})$；(3) $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + $
$\sqrt{\frac{x}{4}} - 2x\sqrt{\frac{1}{x}}$；(4) $\sqrt{0.2m} + \frac{1}{m}\sqrt{5m^3} - m\sqrt{\frac{125}{m}}$。
答案
(1) 0。(2) $\frac{7}{8}\sqrt{6}$。(3) $3\sqrt{x}$。(4) $-\frac{19}{5}\sqrt{5m}$。
解析
【分析】
二次根式加减运算的核心思路是“一化二找三合并”：第一步先将所有二次根式化为最简二次根式（带分数先化为假分数、小数先化为分数，保证被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式）；第二步找出被开方数相同的同类二次根式；第三步合并同类二次根式，仅将系数相加减，根号和被开方数保持不变。运算时注意去括号的符号规则，以及二次根式有意义的隐含条件（被开方数≥0，分母不为0）。
【解析】
(1) 计算 $\sqrt{12} + 3\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{5\frac{1}{3}} - \frac{2}{3}\sqrt{48}$
先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
$3\sqrt{1\frac{1}{3}}=3\sqrt{\frac{4}{3}}=3×\frac{2\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$
$\sqrt{5\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
$\frac{2}{3}\sqrt{48}=\frac{2}{3}×\sqrt{16×3}=\frac{2}{3}×4\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=0$
---
(2) 计算 $\sqrt{\frac{3}{8}} - (-\frac{3}{4}\sqrt{\frac{27}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{6}})$
先去括号，再化简各二次根式：
原式$=\sqrt{\frac{3}{8}}+\frac{3}{4}\sqrt{\frac{27}{2}}-3\sqrt{\frac{1}{6}}$
$\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{6}{16}}=\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{2\sqrt{6}}{8}$
$\frac{3}{4}\sqrt{\frac{27}{2}}=\frac{3}{4}×\sqrt{\frac{54}{4}}=\frac{3}{4}×\frac{3\sqrt{6}}{2}=\frac{9\sqrt{6}}{8}$
$3\sqrt{\frac{1}{6}}=3×\sqrt{\frac{6}{36}}=3×\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{8}$
合并同类二次根式：
原式$=\frac{2\sqrt{6}}{8}+\frac{9\sqrt{6}}{8}-\frac{4\sqrt{6}}{8}=\frac{7\sqrt{6}}{8}$
---
(3) 计算 $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 6\sqrt{\frac{x}{4}} - 2x\sqrt{\frac{1}{x}}$
由二次根式有意义得$x＞0$，先化简各二次根式：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x}=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}=2\sqrt{x}$
$6\sqrt{\frac{x}{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{2}=3\sqrt{x}$
$2x\sqrt{\frac{1}{x}}=2x×\frac{\sqrt{x}}{x}=2\sqrt{x}$
合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=3\sqrt{x}$
---
(4) 计算 $\sqrt{0.2m} + \frac{1}{m}\sqrt{5m^3} - m\sqrt{\frac{125}{m}}$
由二次根式有意义得$m＞0$，先化简各二次根式：
$\sqrt{0.2m}=\sqrt{\frac{m}{5}}=\frac{\sqrt{5m}}{5}$
$\frac{1}{m}\sqrt{5m^3}=\frac{1}{m}× m\sqrt{5m}=\sqrt{5m}$
$m\sqrt{\frac{125}{m}}=m×\sqrt{\frac{125m}{m^2}}=m×\frac{5\sqrt{5m}}{m}=5\sqrt{5m}$
合并同类二次根式：
原式$=\frac{\sqrt{5m}}{5}+\sqrt{5m}-5\sqrt{5m}=\frac{\sqrt{5m}}{5}-4\sqrt{5m}=\frac{\sqrt{5m}}{5}-\frac{20\sqrt{5m}}{5}=-\frac{19\sqrt{5m}}{5}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\frac{7}{8}\sqrt{6}}$；(3) $\boxed{3\sqrt{x}}$；(4) $\boxed{-\frac{19}{5}\sqrt{5m}}$
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础训练题，重点考查运算的规范性，解题关键是严格按照“先化简、再合并”的步骤计算，注意去括号的符号变化和二次根式有意义的隐含条件，避免因化简错误或符号疏漏失分。
【难度系数】
0.7
二次根式加减运算的核心思路是“一化二找三合并”：第一步先将所有二次根式化为最简二次根式（带分数先化为假分数、小数先化为分数，保证被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式）；第二步找出被开方数相同的同类二次根式；第三步合并同类二次根式，仅将系数相加减，根号和被开方数保持不变。运算时注意去括号的符号规则，以及二次根式有意义的隐含条件（被开方数≥0，分母不为0）。
【解析】
(1) 计算 $\sqrt{12} + 3\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{5\frac{1}{3}} - \frac{2}{3}\sqrt{48}$
先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
$3\sqrt{1\frac{1}{3}}=3\sqrt{\frac{4}{3}}=3×\frac{2\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$
$\sqrt{5\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
$\frac{2}{3}\sqrt{48}=\frac{2}{3}×\sqrt{16×3}=\frac{2}{3}×4\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=0$
---
(2) 计算 $\sqrt{\frac{3}{8}} - (-\frac{3}{4}\sqrt{\frac{27}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{6}})$
先去括号，再化简各二次根式：
原式$=\sqrt{\frac{3}{8}}+\frac{3}{4}\sqrt{\frac{27}{2}}-3\sqrt{\frac{1}{6}}$
$\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{6}{16}}=\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{2\sqrt{6}}{8}$
$\frac{3}{4}\sqrt{\frac{27}{2}}=\frac{3}{4}×\sqrt{\frac{54}{4}}=\frac{3}{4}×\frac{3\sqrt{6}}{2}=\frac{9\sqrt{6}}{8}$
$3\sqrt{\frac{1}{6}}=3×\sqrt{\frac{6}{36}}=3×\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{8}$
合并同类二次根式：
原式$=\frac{2\sqrt{6}}{8}+\frac{9\sqrt{6}}{8}-\frac{4\sqrt{6}}{8}=\frac{7\sqrt{6}}{8}$
---
(3) 计算 $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 6\sqrt{\frac{x}{4}} - 2x\sqrt{\frac{1}{x}}$
由二次根式有意义得$x＞0$，先化简各二次根式：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x}=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}=2\sqrt{x}$
$6\sqrt{\frac{x}{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{2}=3\sqrt{x}$
$2x\sqrt{\frac{1}{x}}=2x×\frac{\sqrt{x}}{x}=2\sqrt{x}$
合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=3\sqrt{x}$
---
(4) 计算 $\sqrt{0.2m} + \frac{1}{m}\sqrt{5m^3} - m\sqrt{\frac{125}{m}}$
由二次根式有意义得$m＞0$，先化简各二次根式：
$\sqrt{0.2m}=\sqrt{\frac{m}{5}}=\frac{\sqrt{5m}}{5}$
$\frac{1}{m}\sqrt{5m^3}=\frac{1}{m}× m\sqrt{5m}=\sqrt{5m}$
$m\sqrt{\frac{125}{m}}=m×\sqrt{\frac{125m}{m^2}}=m×\frac{5\sqrt{5m}}{m}=5\sqrt{5m}$
合并同类二次根式：
原式$=\frac{\sqrt{5m}}{5}+\sqrt{5m}-5\sqrt{5m}=\frac{\sqrt{5m}}{5}-4\sqrt{5m}=\frac{\sqrt{5m}}{5}-\frac{20\sqrt{5m}}{5}=-\frac{19\sqrt{5m}}{5}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\frac{7}{8}\sqrt{6}}$；(3) $\boxed{3\sqrt{x}}$；(4) $\boxed{-\frac{19}{5}\sqrt{5m}}$
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础训练题，重点考查运算的规范性，解题关键是严格按照“先化简、再合并”的步骤计算，注意去括号的符号变化和二次根式有意义的隐含条件，避免因化简错误或符号疏漏失分。
【难度系数】
0.7
