拓展与思考
5. 二次根式$\sqrt{8}$化简后为$2\sqrt{2}$，即$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；二次根式$\sqrt{\frac{8}{9}}$化简后为$\frac{2}{3}\sqrt{2}$，即$\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$。
（1）请举出三个二次根式，经过化简后可表示成$a\sqrt{2}$（其中$a$是有理数）的形式；
（2）设计两个二次根式，经过化简后可表示成$a\sqrt{2}$（其中$a$是有理数）的形式，且它们合并后的结果为$\frac{3}{5}\sqrt{2}$。

(1) 答案不唯一，如$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 答案不唯一，如$\sqrt{2}$和$-\frac{2}{5}\sqrt{2}$。

【分析】
（1）要使二次根式化简后为$a\sqrt{2}$（$a$是有理数），核心是被开方数在去掉所有完全平方因数（或约分后去掉分母的完全平方因数）后，剩余的因数为2，即被开方数可表示为$2k^2$（$k$为正有理数），只要选取不同的正有理数$k$，就能得到符合要求的二次根式。
（2）化简后为$a\sqrt{2}$的二次根式属于同类二次根式，合并同类二次根式时仅系数相加，根号部分保持不变，因此只要找两个有理数相加和为$\frac{3}{5}$，分别作为两个同类二次根式的系数，就能得到符合要求的二次根式。
【解析】
（1）根据上述规律举例：
① 取$k=4$，被开方数为$2×4^2=32$，则$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$；
② 取$k=\frac{1}{3}$，被开方数为$2×(\frac{1}{3})^2=\frac{2}{9}$，则$\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$；
③ 取$k=\frac{1}{2}$，被开方数为$2×(\frac{1}{2})^2=0.5$，则$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
（2）设两个二次根式化简后的系数分别为$m$、$n$，则需满足$m+n=\frac{3}{5}$，取$m=1$，则$n=\frac{3}{5}-1=-\frac{2}{5}$，对应两个二次根式为$\sqrt{2}$和$-\frac{2}{5}\sqrt{2}$，合并得$\sqrt{2}-\frac{2}{5}\sqrt{2}=(1-\frac{2}{5})\sqrt{2}=\frac{3}{5}\sqrt{2}$，符合要求。
（以上两问答案均不唯一）
【答案】
(1) 答案不唯一，如$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 答案不唯一，如$\sqrt{2}$和$-\frac{2}{5}\sqrt{2}$。
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并
【点评】
本题为开放性题目，核心考查二次根式的化简规则和同类二次根式的合并法则，掌握核心规律后可灵活选取符合要求的结果。
【难度系数】
0.8