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1. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是 （
A.$-\sqrt{\frac{1}{8}}$与$\sqrt{32}$；
B.$2\sqrt{a}$与$b\sqrt{a}$；
C.$\sqrt{5x}$与$\sqrt{45x^3y^2}$；
D.$\sqrt{xy}$与$\sqrt{x^2y^2}$。
D
）A.$-\sqrt{\frac{1}{8}}$与$\sqrt{32}$；
B.$2\sqrt{a}$与$b\sqrt{a}$；
C.$\sqrt{5x}$与$\sqrt{45x^3y^2}$；
D.$\sqrt{xy}$与$\sqrt{x^2y^2}$。
答案
D
解析
【分析】
要判断是否为同类二次根式，首先需明确判断规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类二次根式，反之则不是。解题时逐一化简每个选项的两个二次根式，对比被开方数即可找到不符合要求的选项。
【解析】
首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。我们逐个分析选项：
A. 化简$-\sqrt{\frac{1}{8}}=-\sqrt{\frac{2}{16}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，二者化简后被开方数都是2，是同类二次根式，不符合题意；
B. $2\sqrt{a}$与$b\sqrt{a}$均为最简二次根式，被开方数都是a，是同类二次根式，不符合题意；
C. $\sqrt{5x}$是最简二次根式，化简$\sqrt{45x^3y^2}=\sqrt{9×5× x^2· x· y^2}=3|x||y|\sqrt{5x}$，二者化简后被开方数都是$5x$，是同类二次根式，不符合题意；
D. $\sqrt{xy}$是最简二次根式，化简$\sqrt{x^2y^2}=|xy|$，二者化简后被开方数不同，不是同类二次根式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.同类二次根式的定义 2.二次根式的化简
【点评】
本题核心考查同类二次根式的判断方法，易错点是部分同学未先将二次根式化为最简就直接对比被开方数，或化简二次根式时运算出错，牢记同类二次根式的判断前提是先化为最简，熟练掌握二次根式的化简规则即可正确答题。
【难度系数】
0.75
要判断是否为同类二次根式，首先需明确判断规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类二次根式，反之则不是。解题时逐一化简每个选项的两个二次根式，对比被开方数即可找到不符合要求的选项。
【解析】
首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。我们逐个分析选项：
A. 化简$-\sqrt{\frac{1}{8}}=-\sqrt{\frac{2}{16}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，二者化简后被开方数都是2，是同类二次根式，不符合题意；
B. $2\sqrt{a}$与$b\sqrt{a}$均为最简二次根式，被开方数都是a，是同类二次根式，不符合题意；
C. $\sqrt{5x}$是最简二次根式，化简$\sqrt{45x^3y^2}=\sqrt{9×5× x^2· x· y^2}=3|x||y|\sqrt{5x}$，二者化简后被开方数都是$5x$，是同类二次根式，不符合题意；
D. $\sqrt{xy}$是最简二次根式，化简$\sqrt{x^2y^2}=|xy|$，二者化简后被开方数不同，不是同类二次根式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.同类二次根式的定义 2.二次根式的化简
【点评】
本题核心考查同类二次根式的判断方法，易错点是部分同学未先将二次根式化为最简就直接对比被开方数，或化简二次根式时运算出错，牢记同类二次根式的判断前提是先化为最简，熟练掌握二次根式的化简规则即可正确答题。
【难度系数】
0.75
2. 将下列各组二次根式先化成最简二次根式，再判断它们是不是同类二次根式.
(1) $\sqrt{\dfrac{8}{x}}$与$\sqrt{4x}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{2s}{5}}$与$\sqrt{\dfrac{5}{2s}}$.
(1) $\sqrt{\dfrac{8}{x}}$与$\sqrt{4x}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{2s}{5}}$与$\sqrt{\dfrac{5}{2s}}$.
答案
(1) 化成$\frac{2}{x}\sqrt{2x}$与$2\sqrt{x}$，不是。 (2) 化成$\frac{\sqrt{10s}}{5}$与$\frac{\sqrt{10s}}{2s}$，是。
解析
【分析】
解题需先明确两个核心概念：一是最简二次根式要满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式；二是同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。解题分两步：第一步先根据二次根式有意义的条件确定字母取值范围，再通过分母有理化、提取可开方的因式将每组根式化为最简；第二步对比化简后根式的被开方数，判断是否为同类二次根式。
【解析】
(1) 由二次根式有意义的条件得$x＞0$：
$\sqrt{\dfrac{8}{x}}=\sqrt{\dfrac{8x}{x^2}}=\dfrac{\sqrt{4×2x}}{x}=\dfrac{2}{x}\sqrt{2x}$
$\sqrt{4x}=\sqrt{4}·\sqrt{x}=2\sqrt{x}$
化简后两个根式的被开方数分别为$2x$和$x$，不相同，因此不是同类二次根式。
(2) 由二次根式有意义的条件得$s＞0$：
$\sqrt{\dfrac{2s}{5}}=\sqrt{\dfrac{10s}{25}}=\dfrac{\sqrt{10s}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{10s}}{5}$
$\sqrt{\dfrac{5}{2s}}=\sqrt{\dfrac{10s}{4s^2}}=\dfrac{\sqrt{10s}}{\sqrt{4s^2}}=\dfrac{\sqrt{10s}}{2s}$
化简后两个根式的被开方数都是$10s$，因此是同类二次根式。
【答案】
(1) 化成$\frac{2}{x}\sqrt{2x}$与$2\sqrt{x}$，不是。 (2) 化成$\frac{\sqrt{10s}}{5}$与$\frac{\sqrt{10s}}{2s}$，是。
【知识点】
二次根式化简，最简二次根式，同类二次根式
【点评】
本题是二次根式的基础题型，关键要掌握最简二次根式的化简规则，注意必须先将根式化为最简后再判断是否为同类二次根式，化简时要注意字母隐含的取值范围，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
解题需先明确两个核心概念：一是最简二次根式要满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式；二是同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。解题分两步：第一步先根据二次根式有意义的条件确定字母取值范围，再通过分母有理化、提取可开方的因式将每组根式化为最简；第二步对比化简后根式的被开方数，判断是否为同类二次根式。
【解析】
(1) 由二次根式有意义的条件得$x＞0$：
$\sqrt{\dfrac{8}{x}}=\sqrt{\dfrac{8x}{x^2}}=\dfrac{\sqrt{4×2x}}{x}=\dfrac{2}{x}\sqrt{2x}$
$\sqrt{4x}=\sqrt{4}·\sqrt{x}=2\sqrt{x}$
化简后两个根式的被开方数分别为$2x$和$x$，不相同，因此不是同类二次根式。
(2) 由二次根式有意义的条件得$s＞0$：
$\sqrt{\dfrac{2s}{5}}=\sqrt{\dfrac{10s}{25}}=\dfrac{\sqrt{10s}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{10s}}{5}$
$\sqrt{\dfrac{5}{2s}}=\sqrt{\dfrac{10s}{4s^2}}=\dfrac{\sqrt{10s}}{\sqrt{4s^2}}=\dfrac{\sqrt{10s}}{2s}$
化简后两个根式的被开方数都是$10s$，因此是同类二次根式。
【答案】
(1) 化成$\frac{2}{x}\sqrt{2x}$与$2\sqrt{x}$，不是。 (2) 化成$\frac{\sqrt{10s}}{5}$与$\frac{\sqrt{10s}}{2s}$，是。
【知识点】
二次根式化简，最简二次根式，同类二次根式
【点评】
本题是二次根式的基础题型，关键要掌握最简二次根式的化简规则，注意必须先将根式化为最简后再判断是否为同类二次根式，化简时要注意字母隐含的取值范围，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
3. 合并下列各式中的同类二次根式：
(1) $\frac{3}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{3}$
$ + \sqrt{3} - \frac{7}{6}\sqrt{3}$；
(2) $2\sqrt{x} + \frac{2}{3}\sqrt{y} - ( \frac{3}{5}\sqrt{x} - \frac{1}{3}\sqrt{y} )$。
(1) $\frac{3}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{3}$
$ + \sqrt{3} - \frac{7}{6}\sqrt{3}$；(2) $2\sqrt{x} + \frac{2}{3}\sqrt{y} - ( \frac{3}{5}\sqrt{x} - \frac{1}{3}\sqrt{y} )$。
答案
(1) $\frac{1}{4}\sqrt{3}$。(2) $\frac{7}{5}\sqrt{x}+\sqrt{y}$。
解析
【分析】
本题是同类二次根式的合并问题，解题思路如下：首先明确同类二次根式可以类比同类项合并，只需将系数相加减，被开方数保持不变。(1)中所有项都是含$\sqrt{3}$的同类二次根式，直接提取$\sqrt{3}$，对系数做分数加减运算即可；(2)先根据去括号法则去掉括号，再分别合并含$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$的同类二次根式，注意去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 所有项均为同类二次根式，提取公因式$\sqrt{3}$计算系数：
$\begin{aligned}原式&=( \frac{3}{4} - \frac{1}{3} + 1 - \frac{7}{6} )\sqrt{3}\\&=( \frac{9}{12} - \frac{4}{12} + \frac{12}{12} - \frac{14}{12} )\sqrt{3}\\&=\frac{9-4+12-14}{12}\sqrt{3}\\&=\frac{3}{12}\sqrt{3}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先去括号，再分组合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{x} + \frac{2}{3}\sqrt{y} - \frac{3}{5}\sqrt{x} + \frac{1}{3}\sqrt{y}\\&=( 2 - \frac{3}{5} )\sqrt{x} + ( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} )\sqrt{y}\\&=( \frac{10}{5} - \frac{3}{5} )\sqrt{x} + 1×\sqrt{y}\\&=\frac{7}{5}\sqrt{x} + \sqrt{y}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}\sqrt{3}$；(2) $\frac{7}{5}\sqrt{x}+\sqrt{y}$
【知识点】
1. 同类二次根式合并 2. 去括号法则 3. 分数加减法
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考察同类二次根式的合并规则，计算时注意去括号的符号变化、分数通分的准确性，熟练掌握基础运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是同类二次根式的合并问题，解题思路如下：首先明确同类二次根式可以类比同类项合并，只需将系数相加减，被开方数保持不变。(1)中所有项都是含$\sqrt{3}$的同类二次根式，直接提取$\sqrt{3}$，对系数做分数加减运算即可；(2)先根据去括号法则去掉括号，再分别合并含$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$的同类二次根式，注意去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 所有项均为同类二次根式，提取公因式$\sqrt{3}$计算系数：
$\begin{aligned}原式&=( \frac{3}{4} - \frac{1}{3} + 1 - \frac{7}{6} )\sqrt{3}\\&=( \frac{9}{12} - \frac{4}{12} + \frac{12}{12} - \frac{14}{12} )\sqrt{3}\\&=\frac{9-4+12-14}{12}\sqrt{3}\\&=\frac{3}{12}\sqrt{3}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先去括号，再分组合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{x} + \frac{2}{3}\sqrt{y} - \frac{3}{5}\sqrt{x} + \frac{1}{3}\sqrt{y}\\&=( 2 - \frac{3}{5} )\sqrt{x} + ( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} )\sqrt{y}\\&=( \frac{10}{5} - \frac{3}{5} )\sqrt{x} + 1×\sqrt{y}\\&=\frac{7}{5}\sqrt{x} + \sqrt{y}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}\sqrt{3}$；(2) $\frac{7}{5}\sqrt{x}+\sqrt{y}$
【知识点】
1. 同类二次根式合并 2. 去括号法则 3. 分数加减法
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考察同类二次根式的合并规则，计算时注意去括号的符号变化、分数通分的准确性，熟练掌握基础运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
