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1. 下列条件中,不一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是 （
A.$∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D$
B.$AB // CD, AD // BC$
C.$AB // CD, AD = BC$
D.$AB = CD, AD = BC$
C
）A.$∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D$
B.$AB // CD, AD // BC$
C.$AB // CD, AD = BC$
D.$AB = CD, AD = BC$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题时需逐一对应平行四边形的判定定理分析各选项，同时注意结合常见反例判断是否一定成立：首先回忆平行四边形的判定方法，包括定义、两组对角相等、两组对边相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分等，再逐个核对选项，对于可能存在其他情况的选项，举出反例即可判断其不一定能判定平行四边形。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，已知$∠A=∠C$，$∠B=∠D$，满足该判定定理，一定能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（平行四边形的定义），已知$AB// CD$，$AD// BC$，满足定义要求，一定能判定，不符合题意；
C. 当一组对边平行，另一组对边相等时，四边形除了是平行四边形，还可能是等腰梯形，因此$AB// CD$，$AD=BC$不一定能判定是平行四边形，符合题意；
D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，已知$AB=CD$，$AD=BC$，满足该判定定理，一定能判定，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；等腰梯形的特征
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础易错题，要求熟练掌握平行四边形的各类判定定理，同时要注意积累特殊反例，避免忽略等腰梯形等特殊四边形的情况导致误判。
【难度系数】
0.7
本题考查平行四边形的判定，解题时需逐一对应平行四边形的判定定理分析各选项，同时注意结合常见反例判断是否一定成立：首先回忆平行四边形的判定方法，包括定义、两组对角相等、两组对边相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分等，再逐个核对选项，对于可能存在其他情况的选项，举出反例即可判断其不一定能判定平行四边形。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，已知$∠A=∠C$，$∠B=∠D$，满足该判定定理，一定能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（平行四边形的定义），已知$AB// CD$，$AD// BC$，满足定义要求，一定能判定，不符合题意；
C. 当一组对边平行，另一组对边相等时，四边形除了是平行四边形，还可能是等腰梯形，因此$AB// CD$，$AD=BC$不一定能判定是平行四边形，符合题意；
D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，已知$AB=CD$，$AD=BC$，满足该判定定理，一定能判定，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；等腰梯形的特征
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础易错题，要求熟练掌握平行四边形的各类判定定理，同时要注意积累特殊反例，避免忽略等腰梯形等特殊四边形的情况导致误判。
【难度系数】
0.7
2.已知平行四边形相邻两边的长度之比为3:2，周长为20 cm，则平行四边形中较长边的长为（
A.12 cm
B.8 cm
C.6 cm
D.4 cm
C
）A.12 cm
B.8 cm
C.6 cm
D.4 cm
答案
2.C
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：首先回忆平行四边形的基本性质，平行四边形两组对边分别相等，因此它的周长等于相邻两边长度之和的2倍，据此可先算出一组相邻边的总长度；其次结合题目给出的相邻两边长度比3:2，我们可以设每份长度为未知数，将较长边、较短边分别用含未知数的式子表示；最后根据相邻边的总长度列方程求解，代入即可得到较长边的长度。
【解析】
解：
∵平行四边形的两组对边分别相等
∴平行四边形的周长=2×（较长边长度+较短边长度）
已知周长为20cm，因此相邻两边的长度和为：$20÷2=10\mathrm{cm}$
设相邻两边中每份长度为$x\ \mathrm{cm}$，则较长边为$3x\ \mathrm{cm}$，较短边为$2x\ \mathrm{cm}$，可列方程：
$3x + 2x = 10$
解得$x=2$
∴较长边的长度为$3x=3×2=6\mathrm{cm}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，比例的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是基础类题型，重点考查平行四边形对边相等的性质，结合比例关系设未知数列方程即可求解，解题的关键是牢记平行四边形的周长与相邻边长的关系。
【难度系数】
0.8
解题可按以下思路推进：首先回忆平行四边形的基本性质，平行四边形两组对边分别相等，因此它的周长等于相邻两边长度之和的2倍，据此可先算出一组相邻边的总长度；其次结合题目给出的相邻两边长度比3:2，我们可以设每份长度为未知数，将较长边、较短边分别用含未知数的式子表示；最后根据相邻边的总长度列方程求解，代入即可得到较长边的长度。
【解析】
解：
∵平行四边形的两组对边分别相等
∴平行四边形的周长=2×（较长边长度+较短边长度）
已知周长为20cm，因此相邻两边的长度和为：$20÷2=10\mathrm{cm}$
设相邻两边中每份长度为$x\ \mathrm{cm}$，则较长边为$3x\ \mathrm{cm}$，较短边为$2x\ \mathrm{cm}$，可列方程：
$3x + 2x = 10$
解得$x=2$
∴较长边的长度为$3x=3×2=6\mathrm{cm}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，比例的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是基础类题型，重点考查平行四边形对边相等的性质，结合比例关系设未知数列方程即可求解，解题的关键是牢记平行四边形的周长与相邻边长的关系。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示,在$□ ABCD$中,$∠ ADO = 30°$,$AB = 6$,点A的坐标为$(-2,0)$,则点C的坐标为(
A.$(6,\sqrt{3})$
B.$(3,2\sqrt{3})$
C.$(6,2\sqrt{3})$
D.$(6,3)$
C
)A.$(6,\sqrt{3})$
B.$(3,2\sqrt{3})$
C.$(6,2\sqrt{3})$
D.$(6,3)$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先由点A的坐标可求出OA的长度，结合∠ADO=30°、∠AOD=90°，可利用直角三角形的特殊性质和勾股定理求出OD的长度，得到D点坐标；再根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合AB=6求出B点坐标；最后利用平行四边形对角线互相平分的性质，通过中点坐标公式即可求出点C的坐标。
【解析】
1. 求OA长度：已知点A坐标为$(-2,0)$，因此$OA=2$。
2. 求D点坐标：由图可知$∠AOD=90°$，在$Rt△AOD$中，$∠ADO=30°$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$AD=2OA=4$。再由勾股定理计算OD：
$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此D点坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
3. 求B点坐标：四边形ABCD是平行四边形，AB平行于x轴（A在x轴上），且$AB=6$，因此B点横坐标为$-2+6=4$，纵坐标为0，即$B(4,0)$。
4. 求C点坐标：平行四边形对角线互相平分，因此AC与BD的中点重合。设C点坐标为$(x,y)$，BD的中点坐标为$(\frac{4+0}{2},\frac{0+2\sqrt{3}}{2})=(2,\sqrt{3})$；AC的中点坐标为$(\frac{x-2}{2},\frac{y}{2})$。
列方程求解：
$\frac{x-2}{2}=2$，解得$x=6$；
$\frac{y}{2}=\sqrt{3}$，解得$y=2\sqrt{3}$。
因此点C的坐标为$(6,2\sqrt{3})$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与平面直角坐标系结合的基础题，考察多个基础知识点的融合运用，解题关键是先确定D、B两点的坐标，再利用平行四边形对角线的性质求解，运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：首先由点A的坐标可求出OA的长度，结合∠ADO=30°、∠AOD=90°，可利用直角三角形的特殊性质和勾股定理求出OD的长度，得到D点坐标；再根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合AB=6求出B点坐标；最后利用平行四边形对角线互相平分的性质，通过中点坐标公式即可求出点C的坐标。
【解析】
1. 求OA长度：已知点A坐标为$(-2,0)$，因此$OA=2$。
2. 求D点坐标：由图可知$∠AOD=90°$，在$Rt△AOD$中，$∠ADO=30°$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$AD=2OA=4$。再由勾股定理计算OD：
$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此D点坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
3. 求B点坐标：四边形ABCD是平行四边形，AB平行于x轴（A在x轴上），且$AB=6$，因此B点横坐标为$-2+6=4$，纵坐标为0，即$B(4,0)$。
4. 求C点坐标：平行四边形对角线互相平分，因此AC与BD的中点重合。设C点坐标为$(x,y)$，BD的中点坐标为$(\frac{4+0}{2},\frac{0+2\sqrt{3}}{2})=(2,\sqrt{3})$；AC的中点坐标为$(\frac{x-2}{2},\frac{y}{2})$。
列方程求解：
$\frac{x-2}{2}=2$，解得$x=6$；
$\frac{y}{2}=\sqrt{3}$，解得$y=2\sqrt{3}$。
因此点C的坐标为$(6,2\sqrt{3})$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与平面直角坐标系结合的基础题，考察多个基础知识点的融合运用，解题关键是先确定D、B两点的坐标，再利用平行四边形对角线的性质求解，运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
4.如图所示，$□ ABCD$是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线分别与AD，BC交于点E，F，则图中相等的线段有 （
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
C
）A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的基本性质入手，先找出平行四边形本身固有的相等线段，再结合中心对称图形的性质，找出过对称中心的直线所截得的相等线段，按顺序统计即可，注意不要漏数或重复计数。
【解析】
1. 由平行四边形的性质可得：
平行四边形对边相等，因此$AB=CD$，$AD=BC$，共2对相等线段；
平行四边形对角线互相平分，因此$OA=OC$，$OB=OD$，共2对相等线段；
2. 由中心对称图形的性质可得：
平行四边形是中心对称图形，对称中心为O，过对称中心O的直线与AD、BC分别交于E、F，则E、F关于O对称，因此$OE=OF$，共1对相等线段。
综上，相等线段总共有$2+2+1=5$对。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，中心对称的性质
【点评】
本题需要熟练掌握平行四边形和中心对称的基本性质，解题时按类别梳理相等线段，能有效避免计数错误。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形的基本性质入手，先找出平行四边形本身固有的相等线段，再结合中心对称图形的性质，找出过对称中心的直线所截得的相等线段，按顺序统计即可，注意不要漏数或重复计数。
【解析】
1. 由平行四边形的性质可得：
平行四边形对边相等，因此$AB=CD$，$AD=BC$，共2对相等线段；
平行四边形对角线互相平分，因此$OA=OC$，$OB=OD$，共2对相等线段；
2. 由中心对称图形的性质可得：
平行四边形是中心对称图形，对称中心为O，过对称中心O的直线与AD、BC分别交于E、F，则E、F关于O对称，因此$OE=OF$，共1对相等线段。
综上，相等线段总共有$2+2+1=5$对。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，中心对称的性质
【点评】
本题需要熟练掌握平行四边形和中心对称的基本性质，解题时按类别梳理相等线段，能有效避免计数错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC,BD交于点O，若BC的长为5，则AC,BD的长可能为（
A.3,4
B.4,5
C.5,6
D.10,20
C
）A.3,4
B.4,5
C.5,6
D.10,20
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可将两条对角线的一半与BC边转化为同一个三角形的三条边，再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，代入各选项的数据逐一验证即可得到答案。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$。
在$△ OBC$中，根据三角形三边关系可得：
$OB+OC＞BC$，$|OB-OC|＜BC$，已知$BC=5$，
代入得：$\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD＞5$，即$AC+BD＞10$；
同时$\left|\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BD\right|＜5$，即$|AC-BD|＜10$。
逐一验证选项：
A选项：$3+4=7＜10$，不符合要求，排除；
B选项：$4+5=9＜10$，不符合要求，排除；
C选项：$5+6=11＞10$，$|5-6|=1＜10$，符合要求；
D选项：$|10-20|=10$，不满足小于10的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是平行四边形性质与三角形三边关系结合的典型基础题，解题核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质，将对角线转化为三角形的边，再通过三边关系筛选符合条件的选项，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可将两条对角线的一半与BC边转化为同一个三角形的三条边，再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，代入各选项的数据逐一验证即可得到答案。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$。
在$△ OBC$中，根据三角形三边关系可得：
$OB+OC＞BC$，$|OB-OC|＜BC$，已知$BC=5$，
代入得：$\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD＞5$，即$AC+BD＞10$；
同时$\left|\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BD\right|＜5$，即$|AC-BD|＜10$。
逐一验证选项：
A选项：$3+4=7＜10$，不符合要求，排除；
B选项：$4+5=9＜10$，不符合要求，排除；
C选项：$5+6=11＞10$，$|5-6|=1＜10$，符合要求；
D选项：$|10-20|=10$，不满足小于10的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是平行四边形性质与三角形三边关系结合的典型基础题，解题核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质，将对角线转化为三角形的边，再通过三边关系筛选符合条件的选项，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图所示,在平行四边形$ABCD$中,$AD=2$,$AB=\sqrt{6}$,$∠ B$是锐角,$AE ⊥ BC$于点$E$,$F$是$AB$的中点,连接$DF$,$EF$。若$∠ EFD=90°$,则$AE$的长为（
A.$2$
B.$\sqrt{5}$
C.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
B
）A.$2$
B.$\sqrt{5}$
C.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
答案
6.B
解析
【分析】
我们可以通过构造全等三角形结合垂直平分线性质求解：首先利用平行四边形对边平行的性质，延长EF交DA的延长线于点G，结合F是AB中点可证△AFG≌△BFE，得到AG=BE、GF=EF；再由∠EFD=90°可得DF垂直平分EG，推出DE=DG；最后设BE=x，AE=h，结合Rt△ABE和Rt△ADE的勾股关系列方程求解即可。
【解析】
解：延长EF交DA的延长线于点G。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=2，∠GAF=∠B。
∵F是AB的中点，
∴AF=BF。
又
∵∠AFG=∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（ASA），
∴AG=BE，GF=EF。
∵∠EFD=90°，即DF⊥EG，
∴DF是线段EG的垂直平分线，
∴DE=DG。
设BE=x，AE=h。
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE^2 + AE^2 = AB^2$，即$x^2 + h^2 = (\sqrt{6})^2 =6$ ①。
∵DG=AD+AG=2+x，
∴DE=2+x。
∵AD//BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE^2 = AE^2 + AD^2$，即$(2+x)^2 = h^2 + 2^2$，
化简得$x^2 +4x = h^2$ ②。
将②代入①得：$x^2 +x^2 +4x=6$，
整理得$x^2 +2x -3=0$，
解得$x=1$（$x=-3$不符合线段长度为正的要求，舍去）。
把$x=1$代入①得：$1 + h^2=6$，
解得$h=\sqrt{5}$（$h$为长度，取正值），即AE的长为$\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形的综合题，解题的关键是通过构造全等三角形转化线段关系，结合垂直平分线的性质建立等量关系，再利用勾股定理列方程求解，有效考查了转化思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.6
我们可以通过构造全等三角形结合垂直平分线性质求解：首先利用平行四边形对边平行的性质，延长EF交DA的延长线于点G，结合F是AB中点可证△AFG≌△BFE，得到AG=BE、GF=EF；再由∠EFD=90°可得DF垂直平分EG，推出DE=DG；最后设BE=x，AE=h，结合Rt△ABE和Rt△ADE的勾股关系列方程求解即可。
【解析】
解：延长EF交DA的延长线于点G。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=2，∠GAF=∠B。
∵F是AB的中点，
∴AF=BF。
又
∵∠AFG=∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（ASA），
∴AG=BE，GF=EF。
∵∠EFD=90°，即DF⊥EG，
∴DF是线段EG的垂直平分线，
∴DE=DG。
设BE=x，AE=h。
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE^2 + AE^2 = AB^2$，即$x^2 + h^2 = (\sqrt{6})^2 =6$ ①。
∵DG=AD+AG=2+x，
∴DE=2+x。
∵AD//BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE^2 = AE^2 + AD^2$，即$(2+x)^2 = h^2 + 2^2$，
化简得$x^2 +4x = h^2$ ②。
将②代入①得：$x^2 +x^2 +4x=6$，
整理得$x^2 +2x -3=0$，
解得$x=1$（$x=-3$不符合线段长度为正的要求，舍去）。
把$x=1$代入①得：$1 + h^2=6$，
解得$h=\sqrt{5}$（$h$为长度，取正值），即AE的长为$\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形的综合题，解题的关键是通过构造全等三角形转化线段关系，结合垂直平分线的性质建立等量关系，再利用勾股定理列方程求解，有效考查了转化思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.6
