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7.已知△ABC(如图①所示),按图②③所示的尺规作图痕迹就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 (
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B
)A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先要读懂尺规作图的含义：第一步的作图是作AC的垂直平分线，可得到AC的中点O，即AO=OC；第二步的作图是延长BO至D，使OD=OB，因此可得四边形的两条对角线互相平分，再结合平行四边形的判定定理即可选出正确答案。
【解析】
观察作图痕迹：
1. 图②是作线段AC的垂直平分线，因此O是AC的中点，可得$ AO=OC $；
2. 图③是连接BO并延长，截取$ OD=OB $，即O也是BD的中点。
因此四边形ABCD的对角线AC和BD互相平分，根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作图
2. 平行四边形的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形的判定，解题核心是准确识别作图痕迹得到对角线互相平分的结论，需要同学们熟练掌握常见尺规作图的操作含义和平行四边形的判定定理，属于基础题型。
【难度系数】
0.75
解题时首先要读懂尺规作图的含义：第一步的作图是作AC的垂直平分线，可得到AC的中点O，即AO=OC；第二步的作图是延长BO至D，使OD=OB，因此可得四边形的两条对角线互相平分，再结合平行四边形的判定定理即可选出正确答案。
【解析】
观察作图痕迹：
1. 图②是作线段AC的垂直平分线，因此O是AC的中点，可得$ AO=OC $；
2. 图③是连接BO并延长，截取$ OD=OB $，即O也是BD的中点。
因此四边形ABCD的对角线AC和BD互相平分，根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的尺规作图
2. 平行四边形的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形的判定，解题核心是准确识别作图痕迹得到对角线互相平分的结论，需要同学们熟练掌握常见尺规作图的操作含义和平行四边形的判定定理，属于基础题型。
【难度系数】
0.75
二、填空题
8. 如图所示，E是直线CD上的一点，已知$□ ABCD$的面积为$78\ \mathrm{cm}^2$，则$△ ABE$的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$。
8. 如图所示，E是直线CD上的一点，已知$□ ABCD$的面积为$78\ \mathrm{cm}^2$，则$△ ABE$的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$。
答案
8.39
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形对边平行且相等，平行线之间的距离处处相等。观察图形可知△ABE与平行四边形ABCD共用底边AB，由于点E在CD上，AB与CD平行，因此△ABE在AB边上的高与平行四边形ABCD在AB边上的高完全相等。再结合平行四边形和三角形的面积公式，可推出同底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，代入已知面积计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，平行线AB与CD之间的距离处处相等
即△ABE的底边AB对应的高与平行四边形ABCD底边AB对应的高相等，设高为h，AB长为a
则平行四边形面积：$S_{□ ABCD}=a· h=78\ \mathrm{cm}^2$
三角形ABE的面积：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· a· h$
将$a· h=78$代入得：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×78=39\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
39
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，平行线间距离的性质
【点评】
本题重点考察同底等高的三角形与平行四边形的面积关系，解题的核心是识别出二者共用底边且高相等，只要熟练掌握相关图形的面积公式和基本性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形对边平行且相等，平行线之间的距离处处相等。观察图形可知△ABE与平行四边形ABCD共用底边AB，由于点E在CD上，AB与CD平行，因此△ABE在AB边上的高与平行四边形ABCD在AB边上的高完全相等。再结合平行四边形和三角形的面积公式，可推出同底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，代入已知面积计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，平行线AB与CD之间的距离处处相等
即△ABE的底边AB对应的高与平行四边形ABCD底边AB对应的高相等，设高为h，AB长为a
则平行四边形面积：$S_{□ ABCD}=a· h=78\ \mathrm{cm}^2$
三角形ABE的面积：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· a· h$
将$a· h=78$代入得：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×78=39\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
39
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，平行线间距离的性质
【点评】
本题重点考察同底等高的三角形与平行四边形的面积关系，解题的核心是识别出二者共用底边且高相等，只要熟练掌握相关图形的面积公式和基本性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
9.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为
12
。答案
9.12
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点，因此图中分散的阴影部分可通过对称变换与对应空白区域拼接，最终阴影部分总面积等于平行四边形面积的一半；接下来只需先根据底和高求出平行四边形的总面积，再除以2即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为其对称中心，
∴图中所有阴影部分的面积之和等于平行四边形ABCD面积的$\frac{1}{2}$。
平行四边形ABCD的面积 = 底×高 = $BC ×$ BC边上的高 = $6 × 4 = 24$，
∴阴影部分的面积 = $\frac{1}{2} × 24 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形中心对称性；平行四边形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题巧妙结合平行四边形的中心对称性质求解面积，无需逐一计算各阴影块的面积，通过割补思想即可快速建立阴影面积与平行四边形总面积的关系，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点，因此图中分散的阴影部分可通过对称变换与对应空白区域拼接，最终阴影部分总面积等于平行四边形面积的一半；接下来只需先根据底和高求出平行四边形的总面积，再除以2即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为其对称中心，
∴图中所有阴影部分的面积之和等于平行四边形ABCD面积的$\frac{1}{2}$。
平行四边形ABCD的面积 = 底×高 = $BC ×$ BC边上的高 = $6 × 4 = 24$，
∴阴影部分的面积 = $\frac{1}{2} × 24 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形中心对称性；平行四边形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题巧妙结合平行四边形的中心对称性质求解面积，无需逐一计算各阴影块的面积，通过割补思想即可快速建立阴影面积与平行四边形总面积的关系，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
10.如图所示，$□ ABCD$的对角线AC与BD相交于点O，$AB ⊥ AC$，若AB=4，AC=6，则BD的长是
10
。答案
10.10
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可以先求出对角线AC一半的长度即AO的长；再结合AB⊥AC的条件，可知△ABO是直角三角形，可利用勾股定理求出BO的长度；最后根据BD=2BO即可算出BD的总长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴OB=OD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC
∵AC=6，
∴OA=$\frac{1}{2}×6=3$
又
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，△ABO为直角三角形
在Rt△ABO中，AB=4，OA=3，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 + OA^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{25}=5$
∴BD=2BO=2×5=10
【答案】
10
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形性质与勾股定理的基础综合应用题，解题的核心是先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到直角三角形的直角边长，再通过勾股定理求出部分对角线长度，进而得到完整对角线长，是平行四边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可以先求出对角线AC一半的长度即AO的长；再结合AB⊥AC的条件，可知△ABO是直角三角形，可利用勾股定理求出BO的长度；最后根据BD=2BO即可算出BD的总长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴OB=OD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC
∵AC=6，
∴OA=$\frac{1}{2}×6=3$
又
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，△ABO为直角三角形
在Rt△ABO中，AB=4，OA=3，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 + OA^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{25}=5$
∴BD=2BO=2×5=10
【答案】
10
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形性质与勾股定理的基础综合应用题，解题的核心是先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到直角三角形的直角边长，再通过勾股定理求出部分对角线长度，进而得到完整对角线长，是平行四边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,EO⊥AC。
(1)若△ABE的周长为12 cm,求平行四边形ABCD的周长；
(2)若∠ABC=72°,AE平分∠BAC,试求∠DAC的度数。
好学生暑假生活 八年级数学 BS
11. 如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,EO⊥AC。
(1)若△ABE的周长为12 cm,求平行四边形ABCD的周长；
(2)若∠ABC=72°,AE平分∠BAC,试求∠DAC的度数。
好学生暑假生活 八年级数学 BS
答案
(1)平行四边形ABCD的周长为24 cm。
(2)∠DAC=36°
(2)∠DAC=36°
解析
【分析】
(1) 首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得O是AC中点，结合EO⊥AC可知EO是AC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，得AE=CE；将△ABE的周长中的AE替换为CE，可将周长转化为AB+BC的长度，再利用平行四边形周长为邻边和的2倍即可求出结果。
(2) 由AE=CE可得∠EAC=∠ECA，结合AE平分∠BAC的条件，可得∠BAE=∠EAC=∠ECA；再根据平行四边形对边平行，内错角相等得∠DAC=∠ECA，最后在△ABC中利用内角和定理列等式即可求出∠DAC的度数。
【解析】
(1) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC
∵EO⊥AC，OA=OC
∴EO是线段AC的垂直平分线
∴AE=CE
∵△ABE的周长为12cm
∴AB+BE+AE=12cm
将AE=CE代入得：AB+BE+CE=AB+BC=12cm
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2×12=24cm
(2) 解：
∵AE=CE
∴∠EAC=∠ECA
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAC
∴∠BAE=∠EAC=∠ECA
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠DAC=∠ECA（两直线平行，内错角相等）
∴∠BAE=∠EAC=∠DAC
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
其中∠BAC=∠BAE+∠EAC=2∠DAC，∠BCA=∠DAC，∠ABC=72°
代入得：72°+2∠DAC+∠DAC=180°
3∠DAC=108°
解得∠DAC=36°
【答案】
(1) 平行四边形ABCD的周长为24 cm；
(2) ∠DAC=36°
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形相关性质的基础综合题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段和角的等量转化，需要学生熟练掌握相关几何性质，锻炼几何推理中的等量代换能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得O是AC中点，结合EO⊥AC可知EO是AC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，得AE=CE；将△ABE的周长中的AE替换为CE，可将周长转化为AB+BC的长度，再利用平行四边形周长为邻边和的2倍即可求出结果。
(2) 由AE=CE可得∠EAC=∠ECA，结合AE平分∠BAC的条件，可得∠BAE=∠EAC=∠ECA；再根据平行四边形对边平行，内错角相等得∠DAC=∠ECA，最后在△ABC中利用内角和定理列等式即可求出∠DAC的度数。
【解析】
(1) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC
∵EO⊥AC，OA=OC
∴EO是线段AC的垂直平分线
∴AE=CE
∵△ABE的周长为12cm
∴AB+BE+AE=12cm
将AE=CE代入得：AB+BE+CE=AB+BC=12cm
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2×12=24cm
(2) 解：
∵AE=CE
∴∠EAC=∠ECA
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAC
∴∠BAE=∠EAC=∠ECA
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠DAC=∠ECA（两直线平行，内错角相等）
∴∠BAE=∠EAC=∠DAC
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
其中∠BAC=∠BAE+∠EAC=2∠DAC，∠BCA=∠DAC，∠ABC=72°
代入得：72°+2∠DAC+∠DAC=180°
3∠DAC=108°
解得∠DAC=36°
【答案】
(1) 平行四边形ABCD的周长为24 cm；
(2) ∠DAC=36°
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形相关性质的基础综合题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段和角的等量转化，需要学生熟练掌握相关几何性质，锻炼几何推理中的等量代换能力。
【难度系数】
0.7
