12. 如图所示,在$□ ABCD$中,BE平分$∠ ABC$,CE平分$∠ BCD$,且点E恰好落在AD上。
(1)求证:$BE^2 + CE^2 = BC^2$;
(2)若$AB=2$,求$□ ABCD$的周长。

解:(1)证明:
∵ BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD,
∴ ∠EBC = 1/2 ∠ABC,∠ECB = 1/2 ∠BCD,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB//CD,
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°,
∴ ∠EBC + ∠ECB = 90°,
∴ ∠BEC = 90°,
∴ BE² + CE² = BC²。
(2)□ABCD的周长=2×(4+2)=12。

【分析】
（1）要证明$BE^2 + CE^2 = BC^2$，根据勾股定理的逆定理，只需证明$△ BEC$是直角三角形，即$∠ BEC=90°$即可。结合平行四边形邻角互补的性质，以及角平分线的定义，可推出$∠ EBC$与$∠ ECB$的和为$90°$，进而得到$∠ BEC=90°$，即可得证。
（2）求平行四边形的周长，已知$AB$的长度，只需算出$AD$的长度即可。利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义，可推出$△ ABE$和$△ DCE$都是等腰三角形，得到$AE=AB$、$DE=DC$，进而求出$AD$的长度，再代入周长公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵ $BE$、$CE$分别平分$∠ ABC$和$∠ BCD$，
∴ $∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ BCD$，
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，
∴ $∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，
在$△ BEC$中，$∠ BEC = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 90°$，
∴ $△ BEC$是直角三角形，
根据勾股定理得：$BE^2 + CE^2 = BC^2$。
（2）解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AB=CD=2$，$AD=BC$，
∴ $∠ AEB = ∠ EBC$，
∵ $BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABE = ∠ EBC$，
∴ $∠ ABE = ∠ AEB$，
∴ $AE = AB = 2$，
同理可得，$DE = CD = 2$，
∴ $AD = AE + DE = 2 + 2 = 4$，
∴ $□ABCD$的周长$= 2×(AB + AD) = 2×(2 + 4) = 12$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$12$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形的典型综合题，解题核心是灵活运用平行四边形的边、角性质，结合角平分线的定义推导等角关系，进而得到直角和等腰三角形，整体解题思路清晰，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.7

13.如图所示,已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点,AC是对角线,连接AE并延长,交DC的延长线于点F,连接BF。求证:
(1)$AE=EF$;
(2)$BF// AC$。

证明:(1)
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ AB//DC,
∴ ∠ABE = ∠ECF,又
∵ E为BC的中点,
∴ BE = CE, 在△ABE 和 △FCE 中,
$\begin{cases}∠ABE = ∠ECF,\\BE = CE,\\∠AEB = ∠FEC,\end{cases}$
∴ △ABE≌△FCE(ASA),
∴ AE = EF。
(2)由(1)可知△ABE≌△FCE,
∴ AB = CF,
又
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ AB//CF,
∴ 四边形ABFC为平行四边形,
∴ BF//AC。

【分析】
（1）要证明线段相等，可优先考虑证明线段所在的三角形全等。已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质可得AB//DC，进而得到一组内错角相等；结合E是BC中点的条件可得BE=CE，再加上一组对顶角相等，即可用ASA判定△ABE≌△FCE，从而推出AE=EF。
（2）要证明两条直线平行，可先证明两条直线所在的四边形是平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质得证。由（1）的全等结论可得AB=CF，结合平行四边形ABCD的性质可知AB//CF，满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定条件，推出四边形ABFC是平行四边形，即可得到BF//AC。
【解析】
证明：(1)
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB//DC，
∴ ∠ABE = ∠ECF，
又
∵ E为BC的中点，
∴ BE = CE，
在△ABE 和 △FCE 中，
$\begin{cases}∠ABE = ∠ECF,\\BE = CE,\\∠AEB = ∠FEC,\end{cases}$
∴ △ABE≌△FCE(ASA)，
∴ AE = EF。
(2)由(1)可知△ABE≌△FCE，
∴ AB = CF，
又
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB//CF，
∴ 四边形ABFC为平行四边形，
∴ BF//AC。
【答案】
证明：(1)
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB//DC，
∴ ∠ABE = ∠ECF，
又
∵ E为BC的中点，
∴ BE = CE，
在△ABE 和 △FCE 中，
$\begin{cases}∠ABE = ∠ECF,\\BE = CE,\\∠AEB = ∠FEC,\end{cases}$
∴ △ABE≌△FCE(ASA)，
∴ AE = EF。
(2)由(1)可知△ABE≌△FCE，
∴ AB = CF，
又
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB//CF，
∴ 四边形ABFC为平行四边形，
∴ BF//AC。
【知识点】
平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形模块的基础典型题，重点考查全等三角形、平行四边形相关定理的综合应用，解题逻辑清晰，熟练掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8