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8.图1是两个圆柱形连通器(连通处体积忽略不计),向甲容器匀速注水,甲容器的水面高度h(cm)与时间t(min)之间的关系如图2所示,根据提供的图象信息,若甲容器的底面半径为1 cm,则乙容器的底面半径为 (
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
A
) A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
8.A
解析
【分析】
解题时先梳理核心条件：①匀速注水意味着单位时间注水量固定，注入水的体积和注水时间成正比；②连通器在水面没过连通口前，向甲注水时只有甲的水面上升，当甲的水面到达连通口高度后，再注入的水会流入乙容器，直到乙的水面也到达连通口高度，这一阶段甲的水面高度保持不变。结合函数图象可知，第一段上升线段对应单独给甲注水到连通高度的过程，后续对应给乙注水到相同连通高度的过程，两段的时间比等于两段注水量的比，也就是等高的甲乙两部分圆柱的体积比，再结合圆柱体积和底面积、半径的关系即可求出乙的半径。
【解析】
解：设连通处的高度为$h\ \mathrm{cm}$，注水速度为$v\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min}$。
由图象可知，将甲容器注到高度$h$用时为$t$，将乙容器注到相同高度$h$用时为$4t$。
$\because$ 注水是匀速的，注入水的体积与注水时间成正比，
$\therefore$ 甲乙两部分等高的体积比 $V_甲:V_乙 = t:4t = 1:4$。
$\because$ 圆柱体积公式为$V=S· h$，两段高度均为$h$，
$\therefore$ 底面积之比 $S_甲:S_乙 = V_甲:V_乙 = 1:4$。
已知甲的底面半径$r_甲=1\ \mathrm{cm}$，代入圆的面积公式得：
$S_甲=π r_甲^2=π×1^2=π(\mathrm{cm}^2)$，因此$S_乙=4S_甲=4π(\mathrm{cm}^2)$。
设乙的底面半径为$R$，由$S_乙=π R^2=4π$，解得$R=2$（半径为正数，舍去负根）。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆柱体积计算，函数图象信息提取，比例应用
【点评】
本题结合实际连通器场景和函数图象考查几何计算，解题核心是抓住匀速注水的特点，将图象中的时间关系转化为圆柱体积、底面积的比例关系，再结合圆的面积公式计算半径，需要具备一定的读图分析和信息转化能力。
【难度系数】
0.6
解题时先梳理核心条件：①匀速注水意味着单位时间注水量固定，注入水的体积和注水时间成正比；②连通器在水面没过连通口前，向甲注水时只有甲的水面上升，当甲的水面到达连通口高度后，再注入的水会流入乙容器，直到乙的水面也到达连通口高度，这一阶段甲的水面高度保持不变。结合函数图象可知，第一段上升线段对应单独给甲注水到连通高度的过程，后续对应给乙注水到相同连通高度的过程，两段的时间比等于两段注水量的比，也就是等高的甲乙两部分圆柱的体积比，再结合圆柱体积和底面积、半径的关系即可求出乙的半径。
【解析】
解：设连通处的高度为$h\ \mathrm{cm}$，注水速度为$v\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min}$。
由图象可知，将甲容器注到高度$h$用时为$t$，将乙容器注到相同高度$h$用时为$4t$。
$\because$ 注水是匀速的，注入水的体积与注水时间成正比，
$\therefore$ 甲乙两部分等高的体积比 $V_甲:V_乙 = t:4t = 1:4$。
$\because$ 圆柱体积公式为$V=S· h$，两段高度均为$h$，
$\therefore$ 底面积之比 $S_甲:S_乙 = V_甲:V_乙 = 1:4$。
已知甲的底面半径$r_甲=1\ \mathrm{cm}$，代入圆的面积公式得：
$S_甲=π r_甲^2=π×1^2=π(\mathrm{cm}^2)$，因此$S_乙=4S_甲=4π(\mathrm{cm}^2)$。
设乙的底面半径为$R$，由$S_乙=π R^2=4π$，解得$R=2$（半径为正数，舍去负根）。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆柱体积计算，函数图象信息提取，比例应用
【点评】
本题结合实际连通器场景和函数图象考查几何计算，解题核心是抓住匀速注水的特点，将图象中的时间关系转化为圆柱体积、底面积的比例关系，再结合圆的面积公式计算半径，需要具备一定的读图分析和信息转化能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题
9.计算:$2^{-2} ÷ ( \frac{1}{2025} )^0 - ( -\frac{1}{2} )^{-1} =$
9.计算:$2^{-2} ÷ ( \frac{1}{2025} )^0 - ( -\frac{1}{2} )^{-1} =$
$2\frac{1}{4}$
答案
$9.2\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时先回忆零指数幂、负整数指数幂的运算规则，再按照有理数混合运算“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序计算即可。首先分别计算式中三个幂的值：①根据负整数指数幂规则计算$2^{-2}$；②根据非零数的零次幂为1计算$(\frac{1}{2025})^0$；③根据负整数指数幂规则计算$(-\frac{1}{2})^{-1}$，再先算除法，后算减法，注意去括号时的符号变化。
【解析】
解：根据幂的运算规则逐步计算：
1. 负整数指数幂运算：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，因此$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$；
2. 零指数幂运算：任意非零数的0次幂为1，因此$(\frac{1}{2025})^0=1$；
3. 负整数指数幂运算：$(-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}÷1 - (-2)\\&=\frac{1}{4}+2\\&=2\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$2\frac{1}{4}$
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算规则，计算时注意负号的处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆零指数幂、负整数指数幂的运算规则，再按照有理数混合运算“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序计算即可。首先分别计算式中三个幂的值：①根据负整数指数幂规则计算$2^{-2}$；②根据非零数的零次幂为1计算$(\frac{1}{2025})^0$；③根据负整数指数幂规则计算$(-\frac{1}{2})^{-1}$，再先算除法，后算减法，注意去括号时的符号变化。
【解析】
解：根据幂的运算规则逐步计算：
1. 负整数指数幂运算：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，因此$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$；
2. 零指数幂运算：任意非零数的0次幂为1，因此$(\frac{1}{2025})^0=1$；
3. 负整数指数幂运算：$(-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}÷1 - (-2)\\&=\frac{1}{4}+2\\&=2\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$2\frac{1}{4}$
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算规则，计算时注意负号的处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
一个三角形的两边长分别是2和4,第三边的长为偶数,则这个三角形的周长是
10
答案
10.10
解析
【分析】
要计算三角形的周长，首先需要确定第三边的长度。解题思路如下：第一步，根据三角形三边关系，也就是任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围；第二步，结合题目给出的“第三边的长为偶数”的条件，在取值范围内筛选出符合要求的第三边长；第三步，将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
设第三边的长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
$ 4 - 2 ＜ x ＜ 4 + 2 $
化简得$ 2 ＜ x ＜ 6 $
已知第三边的长为偶数，因此在$ 2 ＜ x ＜ 6 $的范围内，符合条件的偶数只有$ x = 4 $。
所以该三角形的周长为$ 2 + 4 + 4 = 10 $。
【答案】
10
【知识点】
三角形三边关系，周长计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，解题关键是先通过三边关系确定第三边的取值范围，再结合限制条件筛选出正确的边长，注意要验证所得边长能否构成三角形，避免出现不符合三角形定义的错解。
【难度系数】
0.8
要计算三角形的周长，首先需要确定第三边的长度。解题思路如下：第一步，根据三角形三边关系，也就是任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围；第二步，结合题目给出的“第三边的长为偶数”的条件，在取值范围内筛选出符合要求的第三边长；第三步，将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
设第三边的长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
$ 4 - 2 ＜ x ＜ 4 + 2 $
化简得$ 2 ＜ x ＜ 6 $
已知第三边的长为偶数，因此在$ 2 ＜ x ＜ 6 $的范围内，符合条件的偶数只有$ x = 4 $。
所以该三角形的周长为$ 2 + 4 + 4 = 10 $。
【答案】
10
【知识点】
三角形三边关系，周长计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，解题关键是先通过三边关系确定第三边的取值范围，再结合限制条件筛选出正确的边长，注意要验证所得边长能否构成三角形，避免出现不符合三角形定义的错解。
【难度系数】
0.8
11.“清明时节雨纷纷”，从数学的角度看，诗句中描述的事件是
随机
（填“必然”或“随机”）事件.答案
11.随机
解析
【分析】
解题首先要明确不同类型事件的定义：必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。接下来判断诗句描述的事件：清明时节有可能下雨，也有可能不下雨，并不是每年清明都一定会下雨，结合两类事件的定义即可判断出事件类型。
【解析】
先明确相关事件的定义：
1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件；
2. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
“清明时节雨纷纷”仅说明清明时节有较大概率下雨，但并不是每一年清明都一定会出现降雨，该事件可能发生也可能不发生，因此属于随机事件。
【答案】
随机
【知识点】
事件的分类、随机事件判定
【点评】
本题结合古典诗句考查事件类型的判断，将数学知识与文学、生活场景结合，解题核心是准确区分不同事件的定义，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确不同类型事件的定义：必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。接下来判断诗句描述的事件：清明时节有可能下雨，也有可能不下雨，并不是每年清明都一定会下雨，结合两类事件的定义即可判断出事件类型。
【解析】
先明确相关事件的定义：
1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件；
2. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
“清明时节雨纷纷”仅说明清明时节有较大概率下雨，但并不是每一年清明都一定会出现降雨，该事件可能发生也可能不发生，因此属于随机事件。
【答案】
随机
【知识点】
事件的分类、随机事件判定
【点评】
本题结合古典诗句考查事件类型的判断，将数学知识与文学、生活场景结合，解题核心是准确区分不同事件的定义，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
12.为了提高学生的劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动.初一某班有部分同学栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y(棵)与参与活动人数x(人)的关系如表所示：
观察表中数据可知，该班有
观察表中数据可知，该班有8
人栽种红薯幼苗时，栽种的幼苗总数量为32棵.答案
12.8
解析
【分析】
解题时首先观察表格中的两组对应数据，分析参与人数x和总栽种棵数y的变化规律：可以看到x每增加1，y就增加4，说明每人栽种的幼苗数量是固定的4棵，由此可得到y与x的数量关系式，再将y=32代入关系式，求解即可得到对应的人数。
【解析】
观察表格数据：
当x=1时，y=4；x=2时，y=8；x=3时，y=12，可知每人栽种4棵幼苗，因此总棵数y和人数x满足关系：$ y=4x $。
当栽种总数量y=32棵时，代入关系式得：
$ 4x=32 $
解得$ x=8 $
【答案】
8
【知识点】
找规律 一元一次方程应用
【点评】
本题考查从表格数据中提取信息、总结规律的能力，解题关键是找到总棵数和参与人数的对应关系，整体计算量小，易于解答。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察表格中的两组对应数据，分析参与人数x和总栽种棵数y的变化规律：可以看到x每增加1，y就增加4，说明每人栽种的幼苗数量是固定的4棵，由此可得到y与x的数量关系式，再将y=32代入关系式，求解即可得到对应的人数。
【解析】
观察表格数据：
当x=1时，y=4；x=2时，y=8；x=3时，y=12，可知每人栽种4棵幼苗，因此总棵数y和人数x满足关系：$ y=4x $。
当栽种总数量y=32棵时，代入关系式得：
$ 4x=32 $
解得$ x=8 $
【答案】
8
【知识点】
找规律 一元一次方程应用
【点评】
本题考查从表格数据中提取信息、总结规律的能力，解题关键是找到总棵数和参与人数的对应关系，整体计算量小，易于解答。
【难度系数】
0.85
三、解答题
13.计算：
(1) $|-5| - (π - 3)^0 + 6 × ( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} ) + (-1)^2$；
(2) $\frac{1}{2}a^2b^4 + ( -\frac{1}{2}ab^2 )^4 ÷ ( -\frac{1}{2}ab^2 )^2$。
13.计算：
(1) $|-5| - (π - 3)^0 + 6 × ( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} ) + (-1)^2$；
(2) $\frac{1}{2}a^2b^4 + ( -\frac{1}{2}ab^2 )^4 ÷ ( -\frac{1}{2}ab^2 )^2$。
答案
13.(1)4 (2)$\frac{3}{4}a^2b^4$
解析
【分析】
(1) 本题为实数混合运算，遵循“先算乘方、绝对值、零指数幂，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内”的运算顺序：首先分别计算绝对值、零指数幂、括号内的减法、乘方，再计算乘法，最后按从左到右的顺序计算加减即可得到结果。
(2) 本题为整式混合运算，运算顺序与实数运算一致：首先计算积的乘方，再计算整式除法，最后合并同类项即可，计算时要注意幂的运算中指数的变化规律。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&= 5 - 1 + 6×( \frac{2}{6}-\frac{3}{6} ) +1 \\&= 5-1 +6×( -\frac{1}{6} )+1 \\&= 5-1-1+1 \\&=4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}a^2b^4 + ( \frac{1}{16}a^4b^8 ) ÷( \frac{1}{4}a^2b^4 ) \\&=\frac{1}{2}a^2b^4 + \frac{1}{4}a^2b^4 \\&=\frac{3}{4}a^2b^4\end{aligned}$
【答案】
(1)$4$；(2)$\frac{3}{4}a^2b^4$
【知识点】
1. 实数混合运算 2. 幂的运算性质 3. 整式混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察运算顺序与相关运算法则的掌握程度，计算时需注意符号判断以及幂运算的指数变化规则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为实数混合运算，遵循“先算乘方、绝对值、零指数幂，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内”的运算顺序：首先分别计算绝对值、零指数幂、括号内的减法、乘方，再计算乘法，最后按从左到右的顺序计算加减即可得到结果。
(2) 本题为整式混合运算，运算顺序与实数运算一致：首先计算积的乘方，再计算整式除法，最后合并同类项即可，计算时要注意幂的运算中指数的变化规律。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&= 5 - 1 + 6×( \frac{2}{6}-\frac{3}{6} ) +1 \\&= 5-1 +6×( -\frac{1}{6} )+1 \\&= 5-1-1+1 \\&=4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}a^2b^4 + ( \frac{1}{16}a^4b^8 ) ÷( \frac{1}{4}a^2b^4 ) \\&=\frac{1}{2}a^2b^4 + \frac{1}{4}a^2b^4 \\&=\frac{3}{4}a^2b^4\end{aligned}$
【答案】
(1)$4$；(2)$\frac{3}{4}a^2b^4$
【知识点】
1. 实数混合运算 2. 幂的运算性质 3. 整式混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察运算顺序与相关运算法则的掌握程度，计算时需注意符号判断以及幂运算的指数变化规则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
