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14. 先化简,再求值:$(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)^2$,其中 $x=-\dfrac{1}{3}$
答案
14.$9x -5$ $-8$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题分为两大步骤：第一步先化简整式，首先结合平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则，分别将原式中的三个乘积项展开，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将x的取值代入最简整式计算即可得到结果，先化简再代值能降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：依次展开原式各项并合并同类项：
1. 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2-2^2=9x^2-4$；
2. 根据单项式乘多项式法则，可得$-5x(x-1)=-5x^2+5x$；
3. 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$-(2x-1)^2=-(4x^2-4x+1)=-4x^2+4x-1$；
将上述展开结果代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=9x^2-4-5x^2+5x-4x^2+4x-1\\&=(9x^2-5x^2-4x^2)+(5x+4x)+(-4-1)\\&=9x-5\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{3}$代入最简式计算：
当$x=-\dfrac{1}{3}$时，$9x-5=9×(-\dfrac{1}{3})-5=-3-5=-8$
【答案】
化简结果为$9x-5$，求值结果为$-8$
【知识点】
整式混合运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考察乘法公式的正确运用以及整式运算的符号处理，解题时要注意去括号时的符号变化，代值计算时需保证运算准确。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题分为两大步骤：第一步先化简整式，首先结合平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则，分别将原式中的三个乘积项展开，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将x的取值代入最简整式计算即可得到结果，先化简再代值能降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：依次展开原式各项并合并同类项：
1. 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2-2^2=9x^2-4$；
2. 根据单项式乘多项式法则，可得$-5x(x-1)=-5x^2+5x$；
3. 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$-(2x-1)^2=-(4x^2-4x+1)=-4x^2+4x-1$；
将上述展开结果代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=9x^2-4-5x^2+5x-4x^2+4x-1\\&=(9x^2-5x^2-4x^2)+(5x+4x)+(-4-1)\\&=9x-5\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{3}$代入最简式计算：
当$x=-\dfrac{1}{3}$时，$9x-5=9×(-\dfrac{1}{3})-5=-3-5=-8$
【答案】
化简结果为$9x-5$，求值结果为$-8$
【知识点】
整式混合运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考察乘法公式的正确运用以及整式运算的符号处理，解题时要注意去括号时的符号变化，代值计算时需保证运算准确。
【难度系数】
0.8
15.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别在三角形三边上,且BE=CD,BD=CF,G为EF的中点.
(1)若∠A=40°,求∠B的度数.
(2)试说明:DG垂直平分EF.
(1)若∠A=40°,求∠B的度数.
(2)试说明:DG垂直平分EF.
答案
15.解:(1)因为$AB = AC$,所以$∠B = ∠C$. 因为$∠A = 40°$,所以$∠B =\frac{180°-40°}{2}=70°$.
(2)如图,连接$DE$,$DF$.
在$△BDE$与$△CFD$中,$\begin{cases} BD = CF, \\ ∠B = ∠C, \\ BE = CD, \end{cases}$
所以$△BDE ≌ △CFD(SAS)$,所以$DE = DF$. 因为$G$为$EF$的中点,所以$DG ⊥ EF$,所以$DG$垂直平分$EF$.
解析
【分析】
(1) 第一问先根据已知条件$AB=AC$判定$△ ABC$是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质可得$∠ B=∠ C$，再结合三角形内角和为$180°$，代入已知的$∠ A$的度数即可计算出$∠ B$的度数。
(2) 第二问要证明$DG$垂直平分$EF$，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导，因此需先证明$DE=DF$，即$△ DEF$是等腰三角形。观察已知条件有$BE=CD$、$BD=CF$，再加第一问得到的$∠ B=∠ C$，可通过SAS判定$△ BDE≌△ CFD$，从而得到$DE=DF$；结合$G$是$EF$中点的条件，利用等腰三角形三线合一即可推出$DG⊥ EF$，即$DG$垂直平分$EF$。
【解析】
(1) 解：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ A=40°$，
$\therefore ∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
(2) 证明：如图，连接$DE$、$DF$。
在$△ BDE$和$△ CFD$中：
$\begin{cases} BD = CF（已知） \\ ∠ B = ∠ C（已证） \\ BE = CD（已知） \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CFD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=DF$（全等三角形对应边相等），即$△ DEF$为等腰三角形。
又$\because G$为$EF$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，$DG⊥ EF$，
$\therefore DG$垂直平分$EF$。
【答案】
15.解:(1)因为$AB = AC$,所以$∠B = ∠C$. 因为$∠A = 40°$,所以$∠B =\frac{180°-40°}{2}=70°$.
(2)如图,连接$DE$,$DF$.
在$△BDE$与$△CFD$中,$\begin{cases} BD = CF, \\ ∠B = ∠C, \\ BE = CD, \end{cases}$
所以$△BDE ≌ △CFD(SAS)$,所以$DE = DF$. 因为$G$为$EF$的中点,所以$DG ⊥ EF$,所以$DG$垂直平分$EF$.
【知识点】
等腰三角形性质，SAS证全等，三线合一
【点评】
本题是基础几何综合题，重点考查等腰三角形性质和全等三角形的判定应用，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，得到等腰$△ DEF$后结合三线合一的性质完成证明，解题逻辑清晰，对几何基础的巩固有很好的作用。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问先根据已知条件$AB=AC$判定$△ ABC$是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质可得$∠ B=∠ C$，再结合三角形内角和为$180°$，代入已知的$∠ A$的度数即可计算出$∠ B$的度数。
(2) 第二问要证明$DG$垂直平分$EF$，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导，因此需先证明$DE=DF$，即$△ DEF$是等腰三角形。观察已知条件有$BE=CD$、$BD=CF$，再加第一问得到的$∠ B=∠ C$，可通过SAS判定$△ BDE≌△ CFD$，从而得到$DE=DF$；结合$G$是$EF$中点的条件，利用等腰三角形三线合一即可推出$DG⊥ EF$，即$DG$垂直平分$EF$。
【解析】
(1) 解：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ A=40°$，
$\therefore ∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
(2) 证明：如图，连接$DE$、$DF$。
在$△ BDE$和$△ CFD$中：
$\begin{cases} BD = CF（已知） \\ ∠ B = ∠ C（已证） \\ BE = CD（已知） \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CFD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=DF$（全等三角形对应边相等），即$△ DEF$为等腰三角形。
又$\because G$为$EF$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，$DG⊥ EF$，
$\therefore DG$垂直平分$EF$。
【答案】
15.解:(1)因为$AB = AC$,所以$∠B = ∠C$. 因为$∠A = 40°$,所以$∠B =\frac{180°-40°}{2}=70°$.
(2)如图,连接$DE$,$DF$.
在$△BDE$与$△CFD$中,$\begin{cases} BD = CF, \\ ∠B = ∠C, \\ BE = CD, \end{cases}$
所以$△BDE ≌ △CFD(SAS)$,所以$DE = DF$. 因为$G$为$EF$的中点,所以$DG ⊥ EF$,所以$DG$垂直平分$EF$.
【知识点】
等腰三角形性质，SAS证全等，三线合一
【点评】
本题是基础几何综合题，重点考查等腰三角形性质和全等三角形的判定应用，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，得到等腰$△ DEF$后结合三线合一的性质完成证明，解题逻辑清晰，对几何基础的巩固有很好的作用。
【难度系数】
0.7
