登录
16. 一只不透明的口袋里装有2个红球,4个黄球和m个白球,每个球除颜色外都相同,将球摇匀,从中摸出1个球,若摸到白球的概率为$\frac{1}{3}$.
(1)求白球的个数.
(2)小明说:“口袋中共有3种颜色的球,所以从袋中任意摸出一球,摸到红球、白球和黄球的概率都是$\frac{1}{3}$.”请你判断小明的说法正确吗?为什么?
(1)求白球的个数.
(2)小明说:“口袋中共有3种颜色的球,所以从袋中任意摸出一球,摸到红球、白球和黄球的概率都是$\frac{1}{3}$.”请你判断小明的说法正确吗?为什么?
答案
16.解:(1)根据题意得$\frac{m}{m + 4 + 2}=\frac{1}{3}$,解得$m = 3$.
答:白球的个数为3.
(2)不正确. 理由如下:因为$P(白球)=\frac{1}{3}$,$P(红球)=\frac{2}{9}$,$P(黄球)=\frac{4}{9}$,所以小明的说法不正确.
答:白球的个数为3.
(2)不正确. 理由如下:因为$P(白球)=\frac{1}{3}$,$P(红球)=\frac{2}{9}$,$P(黄球)=\frac{4}{9}$,所以小明的说法不正确.
解析
【分析】
(1) 解题思路：根据概率的定义，摸到某类球的概率=该类球的个数÷球的总个数。题目已知摸到白球的概率为$\frac{1}{3}$，我们可以将白球个数$m$、总球数$(2+4+m)$代入概率公式，列出关于$m$的方程，解方程即可求出白球的个数。
(2) 解题思路：要判断小明的说法是否正确，只需要根据概率公式分别计算摸到红球、黄球、白球的概率，对比三个概率是否都为$\frac{1}{3}$即可，若概率不相等，则小明的说法错误。
【解析】
(1) 依题意，口袋中球的总个数为$2+4+m=6+m$个，根据摸到白球的概率公式可得：
$\frac{m}{6+m}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$3m=6+m$
移项合并同类项得：$2m=6$
解得：$m=3$
经检验，$m=3$时分母不为0，符合题意。
(2) 小明的说法不正确，理由如下：
由(1)可知，口袋中总球数为$2+4+3=9$个，分别计算三种球的摸到概率：
$P(\mathrm{红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{9}$
$P(\mathrm{黄球})=\frac{\mathrm{黄球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{4}{9}$
$P(\mathrm{白球})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
三个概率不都相等，因此小明的说法错误。
【答案】
(1) 白球的个数为3；
(2) 不正确，因为$P(白球)=\frac{1}{3}$，$P(红球)=\frac{2}{9}$，$P(黄球)=\frac{4}{9}$，三种球的摸到概率不都相等，所以小明的说法不正确。
【知识点】
概率计算公式、分式方程应用、可能性大小判断
【点评】
本题是概率章节的基础典型题，既考察了结合方程求解未知量的能力，也纠正了“事件种类数相同则概率相同”的常见认知误区，核心是掌握概率和对应数量的关系。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：根据概率的定义，摸到某类球的概率=该类球的个数÷球的总个数。题目已知摸到白球的概率为$\frac{1}{3}$，我们可以将白球个数$m$、总球数$(2+4+m)$代入概率公式，列出关于$m$的方程，解方程即可求出白球的个数。
(2) 解题思路：要判断小明的说法是否正确，只需要根据概率公式分别计算摸到红球、黄球、白球的概率，对比三个概率是否都为$\frac{1}{3}$即可，若概率不相等，则小明的说法错误。
【解析】
(1) 依题意，口袋中球的总个数为$2+4+m=6+m$个，根据摸到白球的概率公式可得：
$\frac{m}{6+m}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$3m=6+m$
移项合并同类项得：$2m=6$
解得：$m=3$
经检验，$m=3$时分母不为0，符合题意。
(2) 小明的说法不正确，理由如下：
由(1)可知，口袋中总球数为$2+4+3=9$个，分别计算三种球的摸到概率：
$P(\mathrm{红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{9}$
$P(\mathrm{黄球})=\frac{\mathrm{黄球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{4}{9}$
$P(\mathrm{白球})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
三个概率不都相等，因此小明的说法错误。
【答案】
(1) 白球的个数为3；
(2) 不正确，因为$P(白球)=\frac{1}{3}$，$P(红球)=\frac{2}{9}$，$P(黄球)=\frac{4}{9}$，三种球的摸到概率不都相等，所以小明的说法不正确。
【知识点】
概率计算公式、分式方程应用、可能性大小判断
【点评】
本题是概率章节的基础典型题，既考察了结合方程求解未知量的能力，也纠正了“事件种类数相同则概率相同”的常见认知误区，核心是掌握概率和对应数量的关系。
【难度系数】
0.8
17.劳动课正式成为义务教育阶段必修课程,小明在区劳动教育实践基地学习铁艺作品的制作,他用铁丝弯折得到如下不同的形状.
(1)如图1,已知$AB// CD,BC// DF$,若$∠D=3∠B$,求$∠C$的度数.
(2)如图2,若$AB// EF$,试说明:$∠B + ∠C = ∠D + ∠E$.
(3)再拿出另外一根铁丝弯折,与图2中的铁丝叠放得到图3,若$AB// EF,∠ABC=3∠GBC,∠CDE=3∠CDG,∠C=52°,∠E=40°$,求$∠G$的度数.
(1)如图1,已知$AB// CD,BC// DF$,若$∠D=3∠B$,求$∠C$的度数.
(2)如图2,若$AB// EF$,试说明:$∠B + ∠C = ∠D + ∠E$.
(3)再拿出另外一根铁丝弯折,与图2中的铁丝叠放得到图3,若$AB// EF,∠ABC=3∠GBC,∠CDE=3∠CDG,∠C=52°,∠E=40°$,求$∠G$的度数.
答案
17.解:(1)因为$BC// DF$,所以$∠C = ∠D$. 因为$∠D = 3∠B$,所以$∠C = ∠D = 3∠B$. 因为$AB// CD$,所以$∠B + ∠C = 180°$,所以$∠B + 3∠B = 180°$,所以$∠B = 45°$,所以$∠C = 3∠B = 135°$.
(2)如图,过点$C$作$CM// AB$交$DE$于点$M$. 因为$AB// EF$,所以$AB// CM// EF$,所以$∠DMC = ∠E$,$∠MCB + ∠B = 180°$,所以$∠DCM + ∠DCB + ∠B = 180°$. 因为$∠DCM + ∠D + ∠DMC = 180°$,所以$∠DCB + ∠B = ∠D + ∠DMC$,所以$∠DCB + ∠B = ∠D + ∠E$.
(3)设$∠GBC = α$,$∠CDG = β$,因为$∠ABC = 3∠GBC$,$∠CDE = 3∠CDG$,所以$∠ABC = 3α$,$∠CDE = 3β$,所以$∠ABG = ∠ABC - ∠GBC = 2α$,$∠GDE = ∠CDE - ∠CDG = 2β$. 由(2)的结论得$∠C + ∠ABC = ∠E + ∠CDE$,$∠G + ∠ABG = ∠E + ∠GDE$,所以$52° + 3α = 40° + 3β$,$∠G + 2α = 40° + 2β$. 由$52° + 3α = 40° + 3β$,得$β - α = 4°$,由$∠G + 2α = 40° + 2β$,得$∠G = 40° + 2(β - α) = 48°$.
解析
【分析】
(1) 先利用平行线的性质找角的关系：由BC//DF可得内错角∠C=∠D，结合∠D=3∠B可得到∠C与∠B的倍数关系；再由AB//CD可得同旁内角∠B与∠C互补，代入倍数关系即可求出∠C的度数。
(2) 对于平行线间的折线问题，通常过拐点作平行线构造三线八角关系。本题过点C作CM//AB，结合AB//EF可得AB//CM//EF，利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合三角形内角和定理做等量代换，即可证明待求等式。
(3) 可直接套用第(2)问的结论简化计算：先设∠GBC=α、∠CDG=β，将已知的角的倍数关系用α、β表示，分别对大图形和含∠G的小图形两次套用(2)的结论，得到两个含α、β的关系式，消去α、β即可求出∠G的度数。
【解析】
(1) 因为$BC// DF$，所以$∠C = ∠D$。 因为$∠D = 3∠B$，所以$∠C = ∠D = 3∠B$。 因为$AB// CD$，所以$∠B + ∠C = 180°$，所以$∠B + 3∠B = 180°$，解得$∠B = 45°$，所以$∠C = 3∠B = 135°$。
(2) 如图，过点$C$作$CM// AB$交$DE$于点$M$。 因为$AB// EF$，所以$AB// CM// EF$，所以$∠DMC = ∠E$，$∠MCB + ∠B = 180°$，即$∠DCM + ∠DCB + ∠B = 180°$。 因为在$△ DCM$中，$∠DCM + ∠D + ∠DMC = 180°$，所以$∠DCB + ∠B = ∠D + ∠DMC$，代入$∠DMC = ∠E$可得$∠DCB + ∠B = ∠D + ∠E$。
(3) 设$∠GBC = α$，$∠CDG = β$，因为$∠ABC = 3∠GBC$，$∠CDE = 3∠CDG$，所以$∠ABC = 3α$，$∠CDE = 3β$，所以$∠ABG = ∠ABC - ∠GBC = 2α$，$∠GDE = ∠CDE - ∠CDG = 2β$。 由(2)的结论得$∠C + ∠ABC = ∠E + ∠CDE$，$∠G + ∠ABG = ∠E + ∠GDE$，代入已知角度得$52° + 3α = 40° + 3β$，$∠G + 2α = 40° + 2β$。 由$52° + 3α = 40° + 3β$，整理得$β - α = 4°$，由$∠G + 2α = 40° + 2β$，整理得$∠G = 40° + 2(β - α)$，代入$β - α = 4°$得$∠G = 40°+8°=48°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠C=135°}$
(2) 证明成立，辅助线图如下：
(3) $\boldsymbol{∠G=48°}$
【知识点】
平行线的性质，辅助线构造平行线，角度等量代换
【点评】
本题结合劳动实践情境考查平行线相关知识，题目梯度设置合理，从基础的平行线性质直接应用，到折线类问题的辅助线构造，再到已有结论的迁移应用，能有效考查几何推理能力和角度计算能力，其中折线类平行线的辅助线做法是此类题的核心技巧。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用平行线的性质找角的关系：由BC//DF可得内错角∠C=∠D，结合∠D=3∠B可得到∠C与∠B的倍数关系；再由AB//CD可得同旁内角∠B与∠C互补，代入倍数关系即可求出∠C的度数。
(2) 对于平行线间的折线问题，通常过拐点作平行线构造三线八角关系。本题过点C作CM//AB，结合AB//EF可得AB//CM//EF，利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合三角形内角和定理做等量代换，即可证明待求等式。
(3) 可直接套用第(2)问的结论简化计算：先设∠GBC=α、∠CDG=β，将已知的角的倍数关系用α、β表示，分别对大图形和含∠G的小图形两次套用(2)的结论，得到两个含α、β的关系式，消去α、β即可求出∠G的度数。
【解析】
(1) 因为$BC// DF$，所以$∠C = ∠D$。 因为$∠D = 3∠B$，所以$∠C = ∠D = 3∠B$。 因为$AB// CD$，所以$∠B + ∠C = 180°$，所以$∠B + 3∠B = 180°$，解得$∠B = 45°$，所以$∠C = 3∠B = 135°$。
(2) 如图，过点$C$作$CM// AB$交$DE$于点$M$。 因为$AB// EF$，所以$AB// CM// EF$，所以$∠DMC = ∠E$，$∠MCB + ∠B = 180°$，即$∠DCM + ∠DCB + ∠B = 180°$。 因为在$△ DCM$中，$∠DCM + ∠D + ∠DMC = 180°$，所以$∠DCB + ∠B = ∠D + ∠DMC$，代入$∠DMC = ∠E$可得$∠DCB + ∠B = ∠D + ∠E$。
(3) 设$∠GBC = α$，$∠CDG = β$，因为$∠ABC = 3∠GBC$，$∠CDE = 3∠CDG$，所以$∠ABC = 3α$，$∠CDE = 3β$，所以$∠ABG = ∠ABC - ∠GBC = 2α$，$∠GDE = ∠CDE - ∠CDG = 2β$。 由(2)的结论得$∠C + ∠ABC = ∠E + ∠CDE$，$∠G + ∠ABG = ∠E + ∠GDE$，代入已知角度得$52° + 3α = 40° + 3β$，$∠G + 2α = 40° + 2β$。 由$52° + 3α = 40° + 3β$，整理得$β - α = 4°$，由$∠G + 2α = 40° + 2β$，整理得$∠G = 40° + 2(β - α)$，代入$β - α = 4°$得$∠G = 40°+8°=48°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠C=135°}$
(2) 证明成立，辅助线图如下：
(3) $\boldsymbol{∠G=48°}$
【知识点】
平行线的性质，辅助线构造平行线，角度等量代换
【点评】
本题结合劳动实践情境考查平行线相关知识，题目梯度设置合理，从基础的平行线性质直接应用，到折线类问题的辅助线构造，再到已有结论的迁移应用，能有效考查几何推理能力和角度计算能力，其中折线类平行线的辅助线做法是此类题的核心技巧。
【难度系数】
0.6
