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16. 已知当 $ a $ 取某一范围内的实数时，代数式 $ \sqrt{(2-a)^2} + \sqrt{(a-3)^2} $ 的值是一个常数（确定值），则这个常数是________.
答案
16. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此可先将原式转化为含绝对值的式子$|2-a|+|a-3|$。接下来绝对值的化简需要根据绝对值内表达式的正负性分段讨论，找到使化简后结果不含字母$a$（即结果为常数）的区间，即可求出对应的常数。我们先找绝对值内表达式等于0的分界点：令$2-a=0$得$a=2$，令$a-3=0$得$a=3$，据此分$a＜2$、$2≤ a≤3$、$a＞3$三种情况讨论即可。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|2-a|+|a-3|$
分三种情况化简：
1. 当$a＜2$时，$2-a＞0$，$a-3＜0$，
则原式$=(2-a)+(3-a)=5-2a$，结果随$a$的取值变化，不是常数；
2. 当$2≤ a≤3$时，$2-a≤0$，$a-3≤0$，
则原式$=(a-2)+(3-a)=a-2+3-a=1$，结果为固定值，是常数；
3. 当$a＞3$时，$2-a＜0$，$a-3＞0$，
则原式$=(a-2)+(a-3)=2a-5$，结果随$a$的取值变化，不是常数。
综上，这个常数是1。
【答案】
1
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分段讨论
【点评】
本题重点考查二次根式性质与绝对值化简的结合应用，解题的核心是先利用二次根式性质将原式转化为绝对值形式，再通过分界点分段讨论，找到结果为常数的取值区间，解题时要注意分界点的取值不要遗漏。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此可先将原式转化为含绝对值的式子$|2-a|+|a-3|$。接下来绝对值的化简需要根据绝对值内表达式的正负性分段讨论，找到使化简后结果不含字母$a$（即结果为常数）的区间，即可求出对应的常数。我们先找绝对值内表达式等于0的分界点：令$2-a=0$得$a=2$，令$a-3=0$得$a=3$，据此分$a＜2$、$2≤ a≤3$、$a＞3$三种情况讨论即可。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|2-a|+|a-3|$
分三种情况化简：
1. 当$a＜2$时，$2-a＞0$，$a-3＜0$，
则原式$=(2-a)+(3-a)=5-2a$，结果随$a$的取值变化，不是常数；
2. 当$2≤ a≤3$时，$2-a≤0$，$a-3≤0$，
则原式$=(a-2)+(3-a)=a-2+3-a=1$，结果为固定值，是常数；
3. 当$a＞3$时，$2-a＜0$，$a-3＞0$，
则原式$=(a-2)+(a-3)=2a-5$，结果随$a$的取值变化，不是常数。
综上，这个常数是1。
【答案】
1
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分段讨论
【点评】
本题重点考查二次根式性质与绝对值化简的结合应用，解题的核心是先利用二次根式性质将原式转化为绝对值形式，再通过分界点分段讨论，找到结果为常数的取值区间，解题时要注意分界点的取值不要遗漏。
【难度系数】
0.7
17. 若$\sqrt{x-1} + \sqrt{x+y} = 0$，则$x^{2025} + y^{2026}$的值为________.
答案
17. 2
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数。两个非负数相加和为0，说明这两个非负数各自都等于0，据此可以列出关于x、y的方程，求解得到x、y的值后，再代入所求的代数式，根据乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
根据二次根式的非负性可知：$\sqrt{x-1} ≥ 0$，$\sqrt{x+y} ≥ 0$。
因为两个非负数的和为0，所以只有当两个非负数同时为0时等式成立，即：
$\begin{cases}x-1=0 \\x+y=0\end{cases}$
解第一个方程得：$x=1$
将$x=1$代入第二个方程得：$1+y=0$，解得$y=-1$
把$x=1$，$y=-1$代入$x^{2025} + y^{2026}$得：
$1^{2025} + (-1)^{2026} = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的非负性；非负数的性质；有理数的乘方
【点评】
本题的核心考点是非负数性质的应用，解题的突破口是明确几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，计算乘方时要注意区分负数的奇次幂和偶次幂的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数。两个非负数相加和为0，说明这两个非负数各自都等于0，据此可以列出关于x、y的方程，求解得到x、y的值后，再代入所求的代数式，根据乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
根据二次根式的非负性可知：$\sqrt{x-1} ≥ 0$，$\sqrt{x+y} ≥ 0$。
因为两个非负数的和为0，所以只有当两个非负数同时为0时等式成立，即：
$\begin{cases}x-1=0 \\x+y=0\end{cases}$
解第一个方程得：$x=1$
将$x=1$代入第二个方程得：$1+y=0$，解得$y=-1$
把$x=1$，$y=-1$代入$x^{2025} + y^{2026}$得：
$1^{2025} + (-1)^{2026} = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的非负性；非负数的性质；有理数的乘方
【点评】
本题的核心考点是非负数性质的应用，解题的突破口是明确几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，计算乘方时要注意区分负数的奇次幂和偶次幂的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
18. 若一个等边三角形的边长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，则这个等边三角形的面积是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$。
答案
18. $5\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求等边三角形的面积，我们知道三角形通用面积公式为“面积=1/2×底×高”，本题中等边三角形的底就是已知的边长，所以解题关键是先求出等边三角形的高。根据等边三角形“三线合一”的性质，高会将底边平分为相等的两段，我们可以结合勾股定理求出高的长度，最后代入面积公式计算即可，计算过程中要注意正确化简二次根式。
【解析】
解：已知等边三角形的边长$a=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
根据等边三角形三线合一的性质，底边上的高将底边平分，因此底边一半的长度为$\frac{a}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
设等边三角形的高为$h$，由勾股定理可得：
$h^2 + (\sqrt{5})^2 = (2\sqrt{5})^2$
计算得：$h^2 + 5 = 20$
移项得：$h^2 = 15$
因为高为正数，所以$h=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$。
代入三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{15}$
化简计算：$S=\sqrt{5×15}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；二次根式运算
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题核心是利用等边三角形的三线合一性质结合勾股定理求出高，计算时需注意遵循二次根式的乘法运算和化简规则，掌握基础性质和运算规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要求等边三角形的面积，我们知道三角形通用面积公式为“面积=1/2×底×高”，本题中等边三角形的底就是已知的边长，所以解题关键是先求出等边三角形的高。根据等边三角形“三线合一”的性质，高会将底边平分为相等的两段，我们可以结合勾股定理求出高的长度，最后代入面积公式计算即可，计算过程中要注意正确化简二次根式。
【解析】
解：已知等边三角形的边长$a=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
根据等边三角形三线合一的性质，底边上的高将底边平分，因此底边一半的长度为$\frac{a}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
设等边三角形的高为$h$，由勾股定理可得：
$h^2 + (\sqrt{5})^2 = (2\sqrt{5})^2$
计算得：$h^2 + 5 = 20$
移项得：$h^2 = 15$
因为高为正数，所以$h=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$。
代入三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{15}$
化简计算：$S=\sqrt{5×15}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；二次根式运算
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题核心是利用等边三角形的三线合一性质结合勾股定理求出高，计算时需注意遵循二次根式的乘法运算和化简规则，掌握基础性质和运算规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
19. 在平面直角坐标系中，点$ P(-\sqrt{3}, -1) $到原点的距离是________.
答案
19. 2
解析
【分析】
要计算平面直角坐标系中点到原点的距离，可借助勾股定理思考：点的横坐标的绝对值是该点到y轴的水平距离，纵坐标的绝对值是该点到x轴的垂直距离，这两个距离与点到原点的距离刚好构成直角三角形，点到原点的距离为斜边，因此只需计算横、纵坐标的平方和，再开算术平方根即可得到结果。
【解析】
设原点为$O(0,0)$，已知点$P$的坐标为$(-\sqrt{3}, -1)$，根据勾股定理，点$P$到原点$O$的距离公式为$OP=\sqrt{x^2+y^2}$（$x$、$y$分别为点$P$的横、纵坐标）。
代入数值计算：
$x=-\sqrt{3}$，则$x^2=(-\sqrt{3})^2=3$；
$y=-1$，则$y^2=(-1)^2=1$；
因此$OP=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；点到原点的距离计算；平面直角坐标系坐标含义
【点评】
本题属于基础计算题，核心是理解平面直角坐标系中坐标的几何意义，结合勾股定理即可快速求解，是平面直角坐标系相关知识的基础考察题型，要求熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要计算平面直角坐标系中点到原点的距离，可借助勾股定理思考：点的横坐标的绝对值是该点到y轴的水平距离，纵坐标的绝对值是该点到x轴的垂直距离，这两个距离与点到原点的距离刚好构成直角三角形，点到原点的距离为斜边，因此只需计算横、纵坐标的平方和，再开算术平方根即可得到结果。
【解析】
设原点为$O(0,0)$，已知点$P$的坐标为$(-\sqrt{3}, -1)$，根据勾股定理，点$P$到原点$O$的距离公式为$OP=\sqrt{x^2+y^2}$（$x$、$y$分别为点$P$的横、纵坐标）。
代入数值计算：
$x=-\sqrt{3}$，则$x^2=(-\sqrt{3})^2=3$；
$y=-1$，则$y^2=(-1)^2=1$；
因此$OP=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；点到原点的距离计算；平面直角坐标系坐标含义
【点评】
本题属于基础计算题，核心是理解平面直角坐标系中坐标的几何意义，结合勾股定理即可快速求解，是平面直角坐标系相关知识的基础考察题型，要求熟练掌握。
【难度系数】
0.9
20. 观察下列等式: ① $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$；
② $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$； ③ $\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}=\sqrt{4}+\sqrt{3}$；$···$.请用含字母 $a$ 的式子表示你所发现的规律：$\underline{\hspace{5cm}}$。
$\underline{\hspace{5cm}}$
② $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$； ③ $\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}=\sqrt{4}+\sqrt{3}$；$···$.请用含字母 $a$ 的式子表示你所发现的规律：$\underline{\hspace{5cm}}$。
$\underline{\hspace{5cm}}$
答案
20. $\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}=\sqrt{a+1}+\sqrt{a}(a≥1且a为自然数)$
解析
【分析】
解题时先观察已知三个等式的结构特征：等式左边分子均为1，分母是两个相邻正整数的算术平方根的差，且被开方数更大的根式在前；等式右边是这两个算术平方根的和。再利用分母有理化的方法验证规律：给左边分式的分子、分母同乘分母的有理化因式（即两个算术平方根的和），结合平方差公式化简后即可得到右侧结果，最后确定字母a的取值范围即可。
【解析】
1. 观察已知等式的共性：
第①个等式对应a=1：$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}=\sqrt{2}+\sqrt{1}$
第②个等式对应a=2：$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
第③个等式对应a=3：$\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}=\sqrt{4}+\sqrt{3}$
2. 推导一般规律：
对$\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}$进行分母有理化，给分子、分母同时乘$\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$：
$\frac{1×(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}$
根据平方差公式，分母为$(\sqrt{a+1})^2 - (\sqrt{a})^2 = (a+1)-a=1$，因此化简结果为$\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$
3. 确定a的取值：要使二次根式有意义且分母不为0，可得$a≥1$且a为自然数。
【答案】
$\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}=\sqrt{a+1}+\sqrt{a}(a≥1且a为自然数)$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式的性质
3. 数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心是通过观察特例的共性归纳一般结论，再结合二次根式的运算验证规律，解题时注意不要漏写字母的取值范围，保证式子有意义。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知三个等式的结构特征：等式左边分子均为1，分母是两个相邻正整数的算术平方根的差，且被开方数更大的根式在前；等式右边是这两个算术平方根的和。再利用分母有理化的方法验证规律：给左边分式的分子、分母同乘分母的有理化因式（即两个算术平方根的和），结合平方差公式化简后即可得到右侧结果，最后确定字母a的取值范围即可。
【解析】
1. 观察已知等式的共性：
第①个等式对应a=1：$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}=\sqrt{2}+\sqrt{1}$
第②个等式对应a=2：$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
第③个等式对应a=3：$\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}=\sqrt{4}+\sqrt{3}$
2. 推导一般规律：
对$\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}$进行分母有理化，给分子、分母同时乘$\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$：
$\frac{1×(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}$
根据平方差公式，分母为$(\sqrt{a+1})^2 - (\sqrt{a})^2 = (a+1)-a=1$，因此化简结果为$\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$
3. 确定a的取值：要使二次根式有意义且分母不为0，可得$a≥1$且a为自然数。
【答案】
$\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}=\sqrt{a+1}+\sqrt{a}(a≥1且a为自然数)$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式的性质
3. 数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心是通过观察特例的共性归纳一般结论，再结合二次根式的运算验证规律，解题时注意不要漏写字母的取值范围，保证式子有意义。
【难度系数】
0.7
三、解答题
21. 计算：
(1) $(-\sqrt{6})^{2}-\sqrt{25}+\sqrt{(-3)^{2}}$；
(2) $(\sqrt{2}+2\sqrt{3})(\sqrt{2}-2\sqrt{3})$；
(3) $(\sqrt{3}-1)^{2}-(2\sqrt{3})^{2}$；
(4) $\sqrt{32}-5\sqrt{\frac{1}{2}}+6\sqrt{\frac{1}{8}}$；
(5) $[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}]· \frac{\sqrt{ab}}{4}$；
(6) $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{2}-1)^{0}$.
21. 计算：
(1) $(-\sqrt{6})^{2}-\sqrt{25}+\sqrt{(-3)^{2}}$；
(2) $(\sqrt{2}+2\sqrt{3})(\sqrt{2}-2\sqrt{3})$；
(3) $(\sqrt{3}-1)^{2}-(2\sqrt{3})^{2}$；
(4) $\sqrt{32}-5\sqrt{\frac{1}{2}}+6\sqrt{\frac{1}{8}}$；
(5) $[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}]· \frac{\sqrt{ab}}{4}$；
(6) $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{2}-1)^{0}$.
答案
21. (1) 4 (2) $-10$ (3) $-8-2\sqrt{3}$ (4) $3\sqrt{2}$ (5) $ab$ (6) 3
解析
【分析】
这组题目为二次根式的混合运算，解题可按以下思路展开：1. 遇到二次根式的乘方、开方运算时，先利用二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$、$\sqrt{a^2}=|a|$计算乘方、开方，再算加减；2. 式子符合平方差、完全平方公式结构的，优先用乘法公式简化计算，降低计算量；3. 二次根式加减运算先将所有根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；4. 遇到零指数幂牢记非零数的零次幂等于1，最后按运算顺序逐步计算即可。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$(-\sqrt{6})^2=(\sqrt{6})^2=6$，$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$
代入原式得：$6-5+3=4$
(2) 利用平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$计算：
原式$=(\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2=2-(4×3)=2-12=-10$
(3) 分别用完全平方公式和乘方法则计算：
$(\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$
$(2\sqrt{3})^2=4×3=12$
代入原式得：$4-2\sqrt{3}-12=-8-2\sqrt{3}$
(4) 先将各项化为最简二次根式再合并：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，$5\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$6\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
代入原式得：$4\sqrt{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
(5) 先用平方差公式计算中括号内的部分：
中括号内$=[(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})][(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})]=2\sqrt{a}·2\sqrt{b}=4\sqrt{ab}$
代入原式得：$4\sqrt{ab}·\frac{\sqrt{ab}}{4}=(\sqrt{ab})^2=ab$
(6) 分别计算平方差和零指数幂：
$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，$(\sqrt{2}-1)^0=1$（$\sqrt{2}-1≠0$，零次幂有意义）
相加得：$2+1=3$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{-10}$；(3) $\boxed{-8-2\sqrt{3}}$；(4) $\boxed{3\sqrt{2}}$；(5) $\boxed{ab}$；(6) $\boxed{3}$
【知识点】
二次根式运算，乘法公式应用，零指数幂
【点评】
本题是二次根式运算的基础常规题型，重点考查运算规则和公式的灵活运用，解题时优先观察式子结构，合理使用乘法公式可有效降低计算错误率，注意最终运算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
这组题目为二次根式的混合运算，解题可按以下思路展开：1. 遇到二次根式的乘方、开方运算时，先利用二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$、$\sqrt{a^2}=|a|$计算乘方、开方，再算加减；2. 式子符合平方差、完全平方公式结构的，优先用乘法公式简化计算，降低计算量；3. 二次根式加减运算先将所有根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；4. 遇到零指数幂牢记非零数的零次幂等于1，最后按运算顺序逐步计算即可。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$(-\sqrt{6})^2=(\sqrt{6})^2=6$，$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$
代入原式得：$6-5+3=4$
(2) 利用平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$计算：
原式$=(\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2=2-(4×3)=2-12=-10$
(3) 分别用完全平方公式和乘方法则计算：
$(\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$
$(2\sqrt{3})^2=4×3=12$
代入原式得：$4-2\sqrt{3}-12=-8-2\sqrt{3}$
(4) 先将各项化为最简二次根式再合并：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，$5\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$6\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
代入原式得：$4\sqrt{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
(5) 先用平方差公式计算中括号内的部分：
中括号内$=[(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})][(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})]=2\sqrt{a}·2\sqrt{b}=4\sqrt{ab}$
代入原式得：$4\sqrt{ab}·\frac{\sqrt{ab}}{4}=(\sqrt{ab})^2=ab$
(6) 分别计算平方差和零指数幂：
$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，$(\sqrt{2}-1)^0=1$（$\sqrt{2}-1≠0$，零次幂有意义）
相加得：$2+1=3$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{-10}$；(3) $\boxed{-8-2\sqrt{3}}$；(4) $\boxed{3\sqrt{2}}$；(5) $\boxed{ab}$；(6) $\boxed{3}$
【知识点】
二次根式运算，乘法公式应用，零指数幂
【点评】
本题是二次根式运算的基础常规题型，重点考查运算规则和公式的灵活运用，解题时优先观察式子结构，合理使用乘法公式可有效降低计算错误率，注意最终运算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
22. 已知 $ a = \sqrt{3} - 2, b = \sqrt{3} + 2 $，分别求下列代数式的值：
（1）$ a^2b - ab^2 $；
（2）$ a^2 + ab + b^2 $。
（1）$ a^2b - ab^2 $；
（2）$ a^2 + ab + b^2 $。
答案
22. (1) 4 (2) 13
解析
【分析】
本题若直接将a、b的值代入待求式计算，计算量较大且容易出错。我们可以先利用整式运算求出a+b、a-b、ab的整体值，再将待求的代数式进行因式分解或恒等变形，最后用整体代入的方法计算，能大幅简化计算过程。首先回忆因式分解的方法，以及完全平方公式的变形：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可推导出$a^2+ab+b^2=(a+b)^2 - ab$；$a^2b -ab^2$提取公因式ab后可变形为$ab(a-b)$，刚好可以用提前算出的整体值代入求解。
【解析】
解：先计算a+b、a-b、ab的值：
∵$a = \sqrt{3} - 2$，$b = \sqrt{3} + 2$
∴$ab=(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2=3-4=-1$
$a+b=(\sqrt{3}-2)+(\sqrt{3}+2)=2\sqrt{3}$
$a-b=(\sqrt{3}-2)-(\sqrt{3}+2)=-4$
（1）对$a^2b - ab^2$因式分解得：
$a^2b - ab^2=ab(a-b)$
将$ab=-1$，$a-b=-4$代入得：
原式$=(-1)×(-4)=4$
（2）对$a^2 + ab + b^2$变形得：
$a^2 + ab + b^2=(a+b)^2 - ab$
将$a+b=2\sqrt{3}$，$ab=-1$代入得：
原式$=(2\sqrt{3})^2 - (-1)=12 + 1=13$
【答案】
（1）$\boxed{4}$；（2）$\boxed{13}$
【知识点】
因式分解的应用，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题的关键是对待求式进行合理变形，通过整体代入的方法简化计算，避免直接代入二次根式运算带来的繁琐计算，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
本题若直接将a、b的值代入待求式计算，计算量较大且容易出错。我们可以先利用整式运算求出a+b、a-b、ab的整体值，再将待求的代数式进行因式分解或恒等变形，最后用整体代入的方法计算，能大幅简化计算过程。首先回忆因式分解的方法，以及完全平方公式的变形：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可推导出$a^2+ab+b^2=(a+b)^2 - ab$；$a^2b -ab^2$提取公因式ab后可变形为$ab(a-b)$，刚好可以用提前算出的整体值代入求解。
【解析】
解：先计算a+b、a-b、ab的值：
∵$a = \sqrt{3} - 2$，$b = \sqrt{3} + 2$
∴$ab=(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2=3-4=-1$
$a+b=(\sqrt{3}-2)+(\sqrt{3}+2)=2\sqrt{3}$
$a-b=(\sqrt{3}-2)-(\sqrt{3}+2)=-4$
（1）对$a^2b - ab^2$因式分解得：
$a^2b - ab^2=ab(a-b)$
将$ab=-1$，$a-b=-4$代入得：
原式$=(-1)×(-4)=4$
（2）对$a^2 + ab + b^2$变形得：
$a^2 + ab + b^2=(a+b)^2 - ab$
将$a+b=2\sqrt{3}$，$ab=-1$代入得：
原式$=(2\sqrt{3})^2 - (-1)=12 + 1=13$
【答案】
（1）$\boxed{4}$；（2）$\boxed{13}$
【知识点】
因式分解的应用，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题的关键是对待求式进行合理变形，通过整体代入的方法简化计算，避免直接代入二次根式运算带来的繁琐计算，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
