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1. 已知式子$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义，
则$x$的取值范围是 （
A.$x≥0$
B.$x≤2$
C.$x≥-2$
D.$x≥2$
则$x$的取值范围是 （
D
）A.$x≥0$
B.$x≤2$
C.$x≥-2$
D.$x≥2$
答案
1. D
解析
【分析】
要确定x的取值范围，首先回忆二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。本题中二次根式的被开方数是x-2，因此只需令x-2大于等于0，解这个不等式就能得到x的取值范围，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数为非负数。
对于式子$\sqrt{x-2}$，被开方数为$x-2$，因此可得不等式：
$x-2≥0$
移项解得：$x≥2$
所以x的取值范围是$x≥2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察对二次根式有意义条件的掌握，解题的关键是牢记被开方数必须是非负数，计算量小，只要掌握相关知识点就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
要确定x的取值范围，首先回忆二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。本题中二次根式的被开方数是x-2，因此只需令x-2大于等于0，解这个不等式就能得到x的取值范围，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数为非负数。
对于式子$\sqrt{x-2}$，被开方数为$x-2$，因此可得不等式：
$x-2≥0$
移项解得：$x≥2$
所以x的取值范围是$x≥2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察对二次根式有意义条件的掌握，解题的关键是牢记被开方数必须是非负数，计算量小，只要掌握相关知识点就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列式子中,属于最简二次根式的是
（
A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{a^2}$
D.$\sqrt{\dfrac{5}{3}}$
（
A
）A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{a^2}$
D.$\sqrt{\dfrac{5}{3}}$
答案
2. A
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先需牢记最简二次根式的两个核心判定条件：①被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需将四个选项逐一对照这两个条件验证，排除不符合条件的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{13}$的被开方数13是正整数，且13是质数，没有能开得尽方的因数，同时满足两个判定条件，是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{12}$的被开方数12可拆分为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），因此$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{a^2}$的被开方数$a^2$是能开得尽方的因式，$\sqrt{a^2}=|a|$，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{\dfrac{5}{3}}$的被开方数含有分母，化简后为$\dfrac{\sqrt{15}}{3}$，不是最简二次根式。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对最简二次根式判定规则的记忆，只要熟练掌握两个判定条件，逐一排查选项即可快速得分，注意不要混淆判定规则导致误判。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是最简二次根式，首先需牢记最简二次根式的两个核心判定条件：①被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需将四个选项逐一对照这两个条件验证，排除不符合条件的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{13}$的被开方数13是正整数，且13是质数，没有能开得尽方的因数，同时满足两个判定条件，是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{12}$的被开方数12可拆分为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），因此$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{a^2}$的被开方数$a^2$是能开得尽方的因式，$\sqrt{a^2}=|a|$，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{\dfrac{5}{3}}$的被开方数含有分母，化简后为$\dfrac{\sqrt{15}}{3}$，不是最简二次根式。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对最简二次根式判定规则的记忆，只要熟练掌握两个判定条件，逐一排查选项即可快速得分，注意不要混淆判定规则导致误判。
【难度系数】
0.9
3. 计算$3÷\sqrt{6}$的结果是 （
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{2}$
B
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
3. B
解析
【分析】
本题是二次根式的除法计算，解题核心是将运算结果化为最简二次根式，也就是最终结果的分母不能含有根号。思考路径：首先把除法写成分数形式，再通过分母有理化去掉分母中的根号，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
解：$3÷\sqrt{6}=\dfrac{3}{\sqrt{6}}$
对分母进行有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{6}$，得：
$\dfrac{3×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{6}$
将分子分母同时除以3约分，得：
$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的除法，分母有理化，最简二次根式
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的化简规则，熟练掌握分母有理化的操作方法就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的除法计算，解题核心是将运算结果化为最简二次根式，也就是最终结果的分母不能含有根号。思考路径：首先把除法写成分数形式，再通过分母有理化去掉分母中的根号，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
解：$3÷\sqrt{6}=\dfrac{3}{\sqrt{6}}$
对分母进行有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{6}$，得：
$\dfrac{3×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{6}$
将分子分母同时除以3约分，得：
$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的除法，分母有理化，最简二次根式
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的化简规则，熟练掌握分母有理化的操作方法就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
4. 如果$\sqrt{a^2}=-a$，那么$a$一定是（
A.负数
B.正数
C.正数或零
D.负数或零
D
）A.负数
B.正数
C.正数或零
D.负数或零
答案
4. D
解析
【分析】
拿到这道题首先观察等式左边的$\sqrt{a^2}$，回忆二次根式的相关性质可知，$\sqrt{a^2}$的化简结果为$\left|a\right|$，因此可以先将原等式转化为绝对值相关的等式；接下来结合绝对值的性质，分别分析正数、0、负数的绝对值的特征，判断满足$\left|a\right|=-a$的$a$的取值范围，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{a^2}=\left|a\right|$
已知$\sqrt{a^2}=-a$，因此可推导得$\left|a\right|=-a$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0（$-0=0$），负数的绝对值是它的相反数，因此满足$\left|a\right|=-a$的$a$的取值为$a≤0$，即$a$是负数或零。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念题，重点考查二次根式的化简和绝对值的性质，解题时容易漏掉0也满足等式的情况，需牢记非正数的绝对值等于它的相反数。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察等式左边的$\sqrt{a^2}$，回忆二次根式的相关性质可知，$\sqrt{a^2}$的化简结果为$\left|a\right|$，因此可以先将原等式转化为绝对值相关的等式；接下来结合绝对值的性质，分别分析正数、0、负数的绝对值的特征，判断满足$\left|a\right|=-a$的$a$的取值范围，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{a^2}=\left|a\right|$
已知$\sqrt{a^2}=-a$，因此可推导得$\left|a\right|=-a$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0（$-0=0$），负数的绝对值是它的相反数，因此满足$\left|a\right|=-a$的$a$的取值为$a≤0$，即$a$是负数或零。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念题，重点考查二次根式的化简和绝对值的性质，解题时容易漏掉0也满足等式的情况，需牢记非正数的绝对值等于它的相反数。
【难度系数】
0.8
5. 下列计算中正确的是 （
A.$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$
B.$3 + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{2} = 3$
D.$\sqrt{6} × \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$
D
）A.$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$
B.$3 + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{2} = 3$
D.$\sqrt{6} × \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$
答案
5. D
解析
【分析】
这道题考查二次根式的加减和乘除运算规则，解题时逐个分析每个选项即可：首先明确只有被开方数相同的同类二次根式才能进行合并加减；其次二次根式乘除运算遵循$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）的规则，运算后需化简为最简二次根式，逐一判断对错就能选出正确选项。
【解析】
逐个判断各选项：
A选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减，计算错误；
B选项：$3$是整数，$\sqrt{2}$是二次根式，二者不是同类二次根式，不能直接合并相加，计算错误；
C选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}≠3$，计算错误；
D选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{6}×\sqrt{2}=\sqrt{6×2}=\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算、最简二次根式、同类二次根式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式加减、乘除运算法则的理解和应用，需要注意只有同类二次根式才能合并，乘除运算后要将结果化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的加减和乘除运算规则，解题时逐个分析每个选项即可：首先明确只有被开方数相同的同类二次根式才能进行合并加减；其次二次根式乘除运算遵循$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）的规则，运算后需化简为最简二次根式，逐一判断对错就能选出正确选项。
【解析】
逐个判断各选项：
A选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减，计算错误；
B选项：$3$是整数，$\sqrt{2}$是二次根式，二者不是同类二次根式，不能直接合并相加，计算错误；
C选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}≠3$，计算错误；
D选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{6}×\sqrt{2}=\sqrt{6×2}=\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算、最简二次根式、同类二次根式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式加减、乘除运算法则的理解和应用，需要注意只有同类二次根式才能合并，乘除运算后要将结果化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
6. 若 $ x $ 为实数，在“$ (\sqrt{3} + 1)□x $”的 $ □ $ 中添上一种运算符号（在“＋、－、×、÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则 $ x $ 不可能是（
A.$ \sqrt{3} + 1 $
B.$ \sqrt{3} - 1 $
C.$ 2\sqrt{3} $
D.$ 1 - \sqrt{3} $
C
）A.$ \sqrt{3} + 1 $
B.$ \sqrt{3} - 1 $
C.$ 2\sqrt{3} $
D.$ 1 - \sqrt{3} $
答案
6. C
解析
【分析】
解题思路为：针对每个选项给出的x值，依次在“□”中填入+、-、×、÷四种运算符号，计算运算结果，若存在任意一种运算的结果为有理数，则该x是可能的，反之若四种运算结果均为无理数，则该x为不可能的选项。解题时可结合平方差公式快速判断乘法运算的结果是否为有理数。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
1. 验证选项A，x=√3+1：
填入减号：$(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}+1)=0$，0是有理数，故x可以是$\sqrt{3}+1$，排除A。
2. 验证选项B，x=√3-1：
填入乘号：$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，2是有理数，故x可以是$\sqrt{3}-1$，排除B。
3. 验证选项C，x=2√3：
填入加号：$(\sqrt{3}+1)+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}+1$，为无理数；
填入减号：$(\sqrt{3}+1)-2\sqrt{3}=1-\sqrt{3}$，为无理数；
填入乘号：$(\sqrt{3}+1)×2\sqrt{3}=6+2\sqrt{3}$，为无理数；
填入除号：$(\sqrt{3}+1)÷2\sqrt{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$，为无理数；
四种运算结果均为无理数，故x不可能是$2\sqrt{3}$。
4. 验证选项D，x=1-√3：
填入加号：$(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})=2$，2是有理数，故x可以是$1-\sqrt{3}$，排除D。
【答案】
C
【知识点】
实数的四则运算；有理数与无理数判别；平方差公式
【点评】
本题需要逐一验证每个选项的所有运算情况，解题时注意运算顺序，熟练掌握平方差公式可快速判断含二次根式的乘法运算结果是否为有理数，避免漏算错算。
【难度系数】
0.7
解题思路为：针对每个选项给出的x值，依次在“□”中填入+、-、×、÷四种运算符号，计算运算结果，若存在任意一种运算的结果为有理数，则该x是可能的，反之若四种运算结果均为无理数，则该x为不可能的选项。解题时可结合平方差公式快速判断乘法运算的结果是否为有理数。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
1. 验证选项A，x=√3+1：
填入减号：$(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}+1)=0$，0是有理数，故x可以是$\sqrt{3}+1$，排除A。
2. 验证选项B，x=√3-1：
填入乘号：$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，2是有理数，故x可以是$\sqrt{3}-1$，排除B。
3. 验证选项C，x=2√3：
填入加号：$(\sqrt{3}+1)+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}+1$，为无理数；
填入减号：$(\sqrt{3}+1)-2\sqrt{3}=1-\sqrt{3}$，为无理数；
填入乘号：$(\sqrt{3}+1)×2\sqrt{3}=6+2\sqrt{3}$，为无理数；
填入除号：$(\sqrt{3}+1)÷2\sqrt{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$，为无理数；
四种运算结果均为无理数，故x不可能是$2\sqrt{3}$。
4. 验证选项D，x=1-√3：
填入加号：$(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})=2$，2是有理数，故x可以是$1-\sqrt{3}$，排除D。
【答案】
C
【知识点】
实数的四则运算；有理数与无理数判别；平方差公式
【点评】
本题需要逐一验证每个选项的所有运算情况，解题时注意运算顺序，熟练掌握平方差公式可快速判断含二次根式的乘法运算结果是否为有理数，避免漏算错算。
【难度系数】
0.7
7. 能使等式$\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}}$成立的$x$的取值范围是（
A.$x≠2$
B.$x≥0$
C.$x＞2$
D.$x≥2$
C
）A.$x≠2$
B.$x≥0$
C.$x＞2$
D.$x≥2$
答案
7. C
解析
【分析】
要解决这个问题，需用到二次根式商的运算性质的成立条件。首先明确：商的算术平方根等于各部分算术平方根的商这一等式成立，需要同时满足两个要求：一是分子的被开方数是非负数，保证分子的二次根式有意义；二是分母的被开方数是正数，既要保证分母的二次根式有意义，还要保证分母不为0（否则整个分式无意义）。我们只需要根据这两个要求列出不等式组，求解后取公共解集即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式的除法法则：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件为$\begin{cases}a≥0 \\ b＞0\end{cases}$，
对应本题可得不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\ x-2＞0\end{cases}$
解不等式$x-2＞0$，得$x＞2$，
结合$x≥0$，两个不等式的公共解集为$x＞2$。
因此符合条件的x的取值范围是$x＞2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 二次根式除法法则
【点评】
本题属于易错题，核心考察二次根式运算的隐含限制条件，容易出现的错误是忽略分母不能为0，误选$x≥2$的选项，解题时需同时兼顾被开方数非负、分母不为0两个限制条件，不要漏项。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需用到二次根式商的运算性质的成立条件。首先明确：商的算术平方根等于各部分算术平方根的商这一等式成立，需要同时满足两个要求：一是分子的被开方数是非负数，保证分子的二次根式有意义；二是分母的被开方数是正数，既要保证分母的二次根式有意义，还要保证分母不为0（否则整个分式无意义）。我们只需要根据这两个要求列出不等式组，求解后取公共解集即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式的除法法则：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件为$\begin{cases}a≥0 \\ b＞0\end{cases}$，
对应本题可得不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\ x-2＞0\end{cases}$
解不等式$x-2＞0$，得$x＞2$，
结合$x≥0$，两个不等式的公共解集为$x＞2$。
因此符合条件的x的取值范围是$x＞2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 二次根式除法法则
【点评】
本题属于易错题，核心考察二次根式运算的隐含限制条件，容易出现的错误是忽略分母不能为0，误选$x≥2$的选项，解题时需同时兼顾被开方数非负、分母不为0两个限制条件，不要漏项。
【难度系数】
0.7
8. 计算$\sqrt{45} ÷ 3\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{3}{5}}$的结果是（
A.1
B.$\dfrac{5}{3}$
C.5
D.9
A
）A.1
B.$\dfrac{5}{3}$
C.5
D.9
答案
8. A
解析
【分析】
这是二次根式的乘除混合运算题，解题思路如下：首先明确乘除属于同级运算，需按从左到右的顺序计算；运算时可以把根号外的系数和根号内的被开方数分开分别计算，最后将两部分结果相乘再化简，能降低计算复杂度；也可以先把每个二次根式化为最简二次根式，再进行乘除运算。
【解析】
解：利用二次根式乘除运算法则，将系数与被开方数分别运算：
原式 $=(1÷3×1)×\sqrt{45÷3×\frac{3}{5}}$
$=\frac{1}{3}×\sqrt{15×\frac{3}{5}}$
$=\frac{1}{3}×\sqrt{9}$
$=\frac{1}{3}×3$
$=1$
【答案】
A
【知识点】
二次根式的乘除运算，二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式基础运算类题目，运算时要注意遵守同级运算从左到右的顺序，采用系数和被开方数分开计算的技巧，可以有效提升运算效率，避免因运算顺序错误或化简失误失分。
【难度系数】
0.8
这是二次根式的乘除混合运算题，解题思路如下：首先明确乘除属于同级运算，需按从左到右的顺序计算；运算时可以把根号外的系数和根号内的被开方数分开分别计算，最后将两部分结果相乘再化简，能降低计算复杂度；也可以先把每个二次根式化为最简二次根式，再进行乘除运算。
【解析】
解：利用二次根式乘除运算法则，将系数与被开方数分别运算：
原式 $=(1÷3×1)×\sqrt{45÷3×\frac{3}{5}}$
$=\frac{1}{3}×\sqrt{15×\frac{3}{5}}$
$=\frac{1}{3}×\sqrt{9}$
$=\frac{1}{3}×3$
$=1$
【答案】
A
【知识点】
二次根式的乘除运算，二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式基础运算类题目，运算时要注意遵守同级运算从左到右的顺序，采用系数和被开方数分开计算的技巧，可以有效提升运算效率，避免因运算顺序错误或化简失误失分。
【难度系数】
0.8
9. 已知二次根式$\sqrt{x^2}$的值为3，则$x$的值是 （
A.3
B.9
C.$-3$
D.3或$-3$
D
）A.3
B.9
C.$-3$
D.3或$-3$
答案
9. D
解析
【分析】
解题时先回忆二次根式的相关性质，我们知道对于任意实数x，$\sqrt{x^2}$的结果等于x的绝对值，所以可以先把题目中的二次根式转化为绝对值形式，再根据绝对值的定义求解x的取值，要注意绝对值等于正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$，已知$\sqrt{x^2}=3$，因此有$|x|=3$。
根据绝对值的定义：绝对值为3的数有3和-3，即$x=3$或$x=-3$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的运算
【点评】
本题是基础题，解题的关键是掌握$\sqrt{a^2}=|a|$这一性质，避免忽略x为负数的情况导致漏解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次根式的相关性质，我们知道对于任意实数x，$\sqrt{x^2}$的结果等于x的绝对值，所以可以先把题目中的二次根式转化为绝对值形式，再根据绝对值的定义求解x的取值，要注意绝对值等于正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$，已知$\sqrt{x^2}=3$，因此有$|x|=3$。
根据绝对值的定义：绝对值为3的数有3和-3，即$x=3$或$x=-3$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的运算
【点评】
本题是基础题，解题的关键是掌握$\sqrt{a^2}=|a|$这一性质，避免忽略x为负数的情况导致漏解。
【难度系数】
0.8
10. 若$ a = \dfrac{1}{\sqrt{5}}, b = \dfrac{\sqrt{5}}{5} $，则$ a,b $两数的关系是（
A.$ a = b $
B.$ ab = 5 $
C.$ a,b $互为相反数
D.$ a,b $互为倒数
A
）A.$ a = b $
B.$ ab = 5 $
C.$ a,b $互为相反数
D.$ a,b $互为倒数
答案
10. A
解析
【分析】
要判断a、b两数的关系，首先需要对分母带根号的a进行化简，用到分母有理化的知识，将a的分母中的根号去掉后，再和b对比，同时逐一验证各个选项是否正确即可得出答案。具体思路为：第一步对a进行分母有理化运算，第二步将化简后的a与b比较，第三步验证其余错误选项排除干扰。
【解析】
首先对a进行分母有理化：
$a = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$
已知$b = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$，因此可得$a = b$。
再验证其余选项：
选项B：$ab = \dfrac{\sqrt{5}}{5} × \dfrac{\sqrt{5}}{5} = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} ≠ 5$，错误；
选项C：互为相反数的两个数和为0，$a+b = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} ≠ 0$，因此a、b不互为相反数，错误；
选项D：互为倒数的两个数乘积为1，$ab = \dfrac{1}{5} ≠ 1$，因此a、b不互为倒数，错误。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的化简方法，熟练掌握分母有理化的操作就能快速判断两个数的关系，做题时也可通过逐一验证选项的方式排除错误答案，提升解题正确率。
【难度系数】
0.9
要判断a、b两数的关系，首先需要对分母带根号的a进行化简，用到分母有理化的知识，将a的分母中的根号去掉后，再和b对比，同时逐一验证各个选项是否正确即可得出答案。具体思路为：第一步对a进行分母有理化运算，第二步将化简后的a与b比较，第三步验证其余错误选项排除干扰。
【解析】
首先对a进行分母有理化：
$a = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$
已知$b = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$，因此可得$a = b$。
再验证其余选项：
选项B：$ab = \dfrac{\sqrt{5}}{5} × \dfrac{\sqrt{5}}{5} = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} ≠ 5$，错误；
选项C：互为相反数的两个数和为0，$a+b = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} ≠ 0$，因此a、b不互为相反数，错误；
选项D：互为倒数的两个数乘积为1，$ab = \dfrac{1}{5} ≠ 1$，因此a、b不互为倒数，错误。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的化简方法，熟练掌握分母有理化的操作就能快速判断两个数的关系，做题时也可通过逐一验证选项的方式排除错误答案，提升解题正确率。
【难度系数】
0.9
11. 当 $ a = -3 $ 时，二次根式 $ \sqrt{1 - a} $ 的值为________.
答案
11. 2
解析
【分析】
解题思路如下：本题是已知字母取值求二次根式的值，首先将a=-3代入二次根式的被开方数中，先正确计算被开方数的结果，再根据二次根式表示算术平方根（结果为非负数）的规则，求出最终数值即可。
【解析】
解：将$a=-3$代入二次根式$\sqrt{1-a}$中，可得：
$\sqrt{1 - a} = \sqrt{1 - (-3)}$
先计算被开方数：$1 - (-3) = 1 + 3 = 4$
再计算4的算术平方根：$\sqrt{4}=2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；二次根式计算；算术平方根定义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查代入求值的基本方法和二次根式的运算规则，计算时注意去括号的符号变化，牢记二次根式的结果为非负数即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：本题是已知字母取值求二次根式的值，首先将a=-3代入二次根式的被开方数中，先正确计算被开方数的结果，再根据二次根式表示算术平方根（结果为非负数）的规则，求出最终数值即可。
【解析】
解：将$a=-3$代入二次根式$\sqrt{1-a}$中，可得：
$\sqrt{1 - a} = \sqrt{1 - (-3)}$
先计算被开方数：$1 - (-3) = 1 + 3 = 4$
再计算4的算术平方根：$\sqrt{4}=2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；二次根式计算；算术平方根定义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查代入求值的基本方法和二次根式的运算规则，计算时注意去括号的符号变化，牢记二次根式的结果为非负数即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
12. 若$\sqrt{(x-2)(3-x)}=\sqrt{x-2}·\sqrt{3-x}$成立,则$x$的取值范围是________.
答案
12. $2≤ x≤ 3$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆二次根式乘法法则的成立条件：等式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$，因为只有非负数才有算术平方根。所以本题中我们只需要让两个根号下的被开方数都大于等于0，列出不等式组求解，取两个不等式解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
根据二次根式乘法法则的成立条件，被开方数必须为非负数，因此可列不等式组：
$\begin{cases}x-2≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
解不等式$3-x≥0$，得$x≤3$；
两个解集的公共部分为$2≤ x≤3$。
【答案】
$2≤ x≤ 3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式乘法法则；解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题的关键是牢记二次根式的被开方数为非负数，易错点是容易漏掉等号导致取值范围出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆二次根式乘法法则的成立条件：等式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$，因为只有非负数才有算术平方根。所以本题中我们只需要让两个根号下的被开方数都大于等于0，列出不等式组求解，取两个不等式解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
根据二次根式乘法法则的成立条件，被开方数必须为非负数，因此可列不等式组：
$\begin{cases}x-2≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
解不等式$3-x≥0$，得$x≤3$；
两个解集的公共部分为$2≤ x≤3$。
【答案】
$2≤ x≤ 3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式乘法法则；解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题的关键是牢记二次根式的被开方数为非负数，易错点是容易漏掉等号导致取值范围出错。
【难度系数】
0.8
13. 已知实数$ a $在数轴上的位置如图所示，化简：$|a - 1| + \sqrt{(a - 2)^2} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
13. 1
解析
【分析】
解题时首先观察数轴得到实数a的取值范围，再回忆相关性质：二次根式√(x²)=|x|，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。接下来判断两个绝对值内式子的正负性，去绝对值后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得，$1 ＜ a ＜ 2$，
∴ $a - 1 ＞ 0$，$a - 2 ＜ 0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，则：
$|a - 1| + \sqrt{(a - 2)^2}$
$= |a - 1| + |a - 2|$
$= (a - 1) + (2 - a)$
$= a - 1 + 2 - a$
$= 1$
【答案】
1
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础化简题，核心是结合数轴判断未知数的取值范围，进而确定绝对值内代数式的正负，再利用对应性质化简计算，是代数化简类的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴得到实数a的取值范围，再回忆相关性质：二次根式√(x²)=|x|，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。接下来判断两个绝对值内式子的正负性，去绝对值后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得，$1 ＜ a ＜ 2$，
∴ $a - 1 ＞ 0$，$a - 2 ＜ 0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，则：
$|a - 1| + \sqrt{(a - 2)^2}$
$= |a - 1| + |a - 2|$
$= (a - 1) + (2 - a)$
$= a - 1 + 2 - a$
$= 1$
【答案】
1
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础化简题，核心是结合数轴判断未知数的取值范围，进而确定绝对值内代数式的正负，再利用对应性质化简计算，是代数化简类的常见题型。
【难度系数】
0.8
14. 若$ab＜0$，则化简$\sqrt{a^2b}$的结果是________.
答案
14. $-a\sqrt{b}$
解析
【分析】
要化简$\sqrt{a^2b}$，需先明确二次根式的隐含条件：被开方数非负，再结合已知$ab＜0$判断$a$、$b$的符号，最后根据二次根式和绝对值的性质化简即可。第一步，先由二次根式有意义的条件得$a^2b≥0$，结合$a^2≥0$且$a≠0$（$ab＜0$说明$a$、$b$都不为0），可推出$b＞0$；第二步，由$ab＜0$可知$a$、$b$异号，因此$a＜0$；第三步，根据$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，把$\sqrt{a^2}$转化为$|a|$，再代入$a$的符号去掉绝对值即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a^2b}$是二次根式，
∴ 被开方数$a^2b ≥ 0$，
又
∵ $a^2 ≥ 0$，且$ab＜0$说明$a ≠ 0$，即$a^2＞0$，
∴ $b ≥ 0$，结合$ab＜0$可得$b＞0$，
∵ $ab＜0$，$b＞0$，
∴ $a＜0$，
∴ $\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} · \sqrt{b} = |a|\sqrt{b}$，
∵ $a＜0$，
∴ $|a|=-a$，
∴ 原式$=-a\sqrt{b}$。
【答案】
$-a\sqrt{b}$
【知识点】
1. 二次根式的意义 2. 二次根式的化简 3. 绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，易错点是忽略$a$的符号，直接将$\sqrt{a^2}$化简为$a$导致出错，解题时要先结合已知条件确定字母的正负性，再按照性质规范化简。
【难度系数】
0.7
要化简$\sqrt{a^2b}$，需先明确二次根式的隐含条件：被开方数非负，再结合已知$ab＜0$判断$a$、$b$的符号，最后根据二次根式和绝对值的性质化简即可。第一步，先由二次根式有意义的条件得$a^2b≥0$，结合$a^2≥0$且$a≠0$（$ab＜0$说明$a$、$b$都不为0），可推出$b＞0$；第二步，由$ab＜0$可知$a$、$b$异号，因此$a＜0$；第三步，根据$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，把$\sqrt{a^2}$转化为$|a|$，再代入$a$的符号去掉绝对值即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a^2b}$是二次根式，
∴ 被开方数$a^2b ≥ 0$，
又
∵ $a^2 ≥ 0$，且$ab＜0$说明$a ≠ 0$，即$a^2＞0$，
∴ $b ≥ 0$，结合$ab＜0$可得$b＞0$，
∵ $ab＜0$，$b＞0$，
∴ $a＜0$，
∴ $\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} · \sqrt{b} = |a|\sqrt{b}$，
∵ $a＜0$，
∴ $|a|=-a$，
∴ 原式$=-a\sqrt{b}$。
【答案】
$-a\sqrt{b}$
【知识点】
1. 二次根式的意义 2. 二次根式的化简 3. 绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，易错点是忽略$a$的符号，直接将$\sqrt{a^2}$化简为$a$导致出错，解题时要先结合已知条件确定字母的正负性，再按照性质规范化简。
【难度系数】
0.7
15. 已知 $ y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 1 $，则
$\frac{y}{x} = \_\_\_\_\_\_$.
$\frac{y}{x} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
15. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。题目中的两个被开方数2-x和x-2互为相反数，只有二者同时为0时，才能同时满足非负要求。我们先根据这个条件求出x的取值，再代入原式算出y的值，最后计算$\frac{y}{x}$即可。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，可列不等式组：
$\begin{cases}2-x≥0 \\x-2≥0\end{cases}$
解$2-x≥0$得$x≤2$，解$x-2≥0$得$x≥2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入$y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 1$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1=1$
因此$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式性质的基础应用题型，解题核心是抓住互为相反数的两个非负数只能同时为0的特点确定x的取值，掌握二次根式的被开方数非负的性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。题目中的两个被开方数2-x和x-2互为相反数，只有二者同时为0时，才能同时满足非负要求。我们先根据这个条件求出x的取值，再代入原式算出y的值，最后计算$\frac{y}{x}$即可。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，可列不等式组：
$\begin{cases}2-x≥0 \\x-2≥0\end{cases}$
解$2-x≥0$得$x≤2$，解$x-2≥0$得$x≥2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入$y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 1$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1=1$
因此$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式性质的基础应用题型，解题核心是抓住互为相反数的两个非负数只能同时为0的特点确定x的取值，掌握二次根式的被开方数非负的性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
