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23. 先化简,再求值:$\dfrac{a^2 - 1}{a - 1} - \dfrac{\sqrt{a^2 - 2a + 1}}{a^2 - a}$,其中 $a = 2 - \sqrt{3}$.
答案
23. 化简,得原式$=a+1+\frac{1}{a}$,$\therefore$当$a=2-\sqrt{3}$时,原式$=5$.
解析
【分析】
这是分式化简求值题，解题思路清晰可遵循：首先观察式子结构，先对各分式的分子、分母因式分解，注意根号下的完全平方式开方属于二次根式化简，要先结合a的取值判断被开方数的正负，确定绝对值的化简结果；其次对分式约分、合并完成化简，避免直接代入复杂的a值增大运算量；最后将a的值代入化简后的式子，利用分母有理化计算最终结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 因式分解各部分：
$a^2-1=(a-1)(a+1)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-a=a(a-1)$
2. 判断$a-1$的符号：
已知$a=2-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}\approx1.732$，因此$a\approx0.268＜1$，即$a-1＜0$，根据二次根式非负性可得$\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|=1-a$
3. 代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}-\frac{1-a}{a(a-1)}\\&=a+1 - \frac{-(a-1)}{a(a-1)}\\&=a+1+\frac{1}{a}\end{aligned}$
4. 代入$a=2-\sqrt{3}$求值：
先对$\frac{1}{a}$分母有理化：$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$
代入化简式得：
$\begin{aligned}原式&=(2-\sqrt{3})+1+(2+\sqrt{3})\\&=2-\sqrt{3}+1+2+\sqrt{3}\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
分式化简，二次根式的性质，分母有理化
【点评】
本题考查分式与二次根式的混合运算，解题核心是熟练掌握因式分解公式，注意二次根式开方时的非负性要求，先化简再代入的运算思路可以大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值题，解题思路清晰可遵循：首先观察式子结构，先对各分式的分子、分母因式分解，注意根号下的完全平方式开方属于二次根式化简，要先结合a的取值判断被开方数的正负，确定绝对值的化简结果；其次对分式约分、合并完成化简，避免直接代入复杂的a值增大运算量；最后将a的值代入化简后的式子，利用分母有理化计算最终结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 因式分解各部分：
$a^2-1=(a-1)(a+1)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-a=a(a-1)$
2. 判断$a-1$的符号：
已知$a=2-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}\approx1.732$，因此$a\approx0.268＜1$，即$a-1＜0$，根据二次根式非负性可得$\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|=1-a$
3. 代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a-1)(a+1)}{a-1}-\frac{1-a}{a(a-1)}\\&=a+1 - \frac{-(a-1)}{a(a-1)}\\&=a+1+\frac{1}{a}\end{aligned}$
4. 代入$a=2-\sqrt{3}$求值：
先对$\frac{1}{a}$分母有理化：$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$
代入化简式得：
$\begin{aligned}原式&=(2-\sqrt{3})+1+(2+\sqrt{3})\\&=2-\sqrt{3}+1+2+\sqrt{3}\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
分式化简，二次根式的性质，分母有理化
【点评】
本题考查分式与二次根式的混合运算，解题核心是熟练掌握因式分解公式，注意二次根式开方时的非负性要求，先化简再代入的运算思路可以大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
24. 如图是由两个等腰直角三角形拼成的四边形,已知$AB=\sqrt{3}$.求:
（1）四边形$ABCD$的周长.
（2）四边形$ABCD$的面积.
（1）四边形$ABCD$的周长.
（2）四边形$ABCD$的面积.
答案
24. (1) $4\sqrt{3}+\sqrt{6}$ (2) 4.5
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先识别图中的两个等腰直角三角形：Rt△ABD中∠A=90°，故AD=AB；Rt△BCD中∠CBD=90°，故BC=BD。2. 求周长时，先从已知AB的长度出发，用勾股定理依次算出BD、CD的长度，再将四条边长度相加即可。3. 求面积时，四边形ABCD的面积等于两个等腰直角三角形的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加即可。
【解析】
（1）在Rt△ABD中，∠A=90°，△ABD为等腰直角三角形，已知$AB=\sqrt{3}$，因此$AD=AB=\sqrt{3}$。
由勾股定理可得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
在Rt△BCD中，∠CBD=90°，△BCD为等腰直角三角形，因此$BC=BD=\sqrt{6}$。
再由勾股定理可得：$CD=\sqrt{BD^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{6})^2}=2\sqrt{3}$。
四边形ABCD的周长为：$AB+BC+CD+DA=\sqrt{3}+\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}=4\sqrt{3}+\sqrt{6}$。
（2）四边形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的面积之和：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{3}{2}$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{6}=3$，
因此$S_{四边形ABCD}=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}=4.5$。
【答案】
（1）$4\sqrt{3}+\sqrt{6}$；（2）$4.5$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是准确识别两个等腰直角三角形的边角关系，结合勾股定理求出未知边的长度，再分别计算周长和面积即可，计算过程中要注意二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先识别图中的两个等腰直角三角形：Rt△ABD中∠A=90°，故AD=AB；Rt△BCD中∠CBD=90°，故BC=BD。2. 求周长时，先从已知AB的长度出发，用勾股定理依次算出BD、CD的长度，再将四条边长度相加即可。3. 求面积时，四边形ABCD的面积等于两个等腰直角三角形的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加即可。
【解析】
（1）在Rt△ABD中，∠A=90°，△ABD为等腰直角三角形，已知$AB=\sqrt{3}$，因此$AD=AB=\sqrt{3}$。
由勾股定理可得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
在Rt△BCD中，∠CBD=90°，△BCD为等腰直角三角形，因此$BC=BD=\sqrt{6}$。
再由勾股定理可得：$CD=\sqrt{BD^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{6})^2}=2\sqrt{3}$。
四边形ABCD的周长为：$AB+BC+CD+DA=\sqrt{3}+\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}=4\sqrt{3}+\sqrt{6}$。
（2）四边形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的面积之和：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{3}{2}$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{6}=3$，
因此$S_{四边形ABCD}=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}=4.5$。
【答案】
（1）$4\sqrt{3}+\sqrt{6}$；（2）$4.5$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是准确识别两个等腰直角三角形的边角关系，结合勾股定理求出未知边的长度，再分别计算周长和面积即可，计算过程中要注意二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.7
25. 在如图所示的 4×4 的方格纸中画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边的长分别为$3,4\sqrt{\dfrac{1}{2}},\dfrac{1}{5}\sqrt{125}$.
答案
△ABC的三个顶点为格点A(0,0)、B(3,0)、C(1,2)（画法不唯一）
解析
【分析】
解题时首先要对题目中不是整数的边长进行化简，将它们转化为可以用勾股定理表示的$\sqrt{a^2+b^2}$的形式（a、b为正整数），对应方格中水平、竖直方向的格数，进而找到对应的格点顶点。第一步先化简三条边长，第二步根据化简后的结果先确定长度为3的边的两个端点，第三步再根据另外两条边的长度找到第三个顶点即可。
【解析】
第一步：化简三条边的长度：
① 边长3为整数，可直接取方格中水平/竖直方向连续3个单位长度的线段；
② $4\sqrt{\dfrac{1}{2}}=4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}=\sqrt{2^2+2^2}$，对应直角边为2、2的直角三角形的斜边；
③ $\dfrac{1}{5}\sqrt{125}=\dfrac{1}{5}×\sqrt{25×5}=\dfrac{1}{5}×5\sqrt{5}=\sqrt{5}=\sqrt{1^2+2^2}$，对应直角边为1、2的直角三角形的斜边。
第二步：确定顶点位置，选取格点A(0,0)，B(3,0)，此时线段AB的长度为3，符合第一条边长要求。
第三步：找第三个顶点C，取C(1,2)，分别计算AC、BC的长度：
$AC=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，符合第三条边长；
$BC=\sqrt{(3-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，符合第二条边长。
因此△ABC即为所求，画法不唯一。
【答案】
△ABC的三个顶点为格点A(0,0)、B(3,0)、C(1,2)（画法不唯一）
【知识点】
二次根式化简、勾股定理的应用
【点评】
本题解题核心是先将带根号的边长化简，转化为能通过勾股定理构造的格点线段长度，再依次确定三个顶点的位置，解题思路灵活，只要掌握二次根式运算和勾股定理的基础内容就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先要对题目中不是整数的边长进行化简，将它们转化为可以用勾股定理表示的$\sqrt{a^2+b^2}$的形式（a、b为正整数），对应方格中水平、竖直方向的格数，进而找到对应的格点顶点。第一步先化简三条边长，第二步根据化简后的结果先确定长度为3的边的两个端点，第三步再根据另外两条边的长度找到第三个顶点即可。
【解析】
第一步：化简三条边的长度：
① 边长3为整数，可直接取方格中水平/竖直方向连续3个单位长度的线段；
② $4\sqrt{\dfrac{1}{2}}=4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}=\sqrt{2^2+2^2}$，对应直角边为2、2的直角三角形的斜边；
③ $\dfrac{1}{5}\sqrt{125}=\dfrac{1}{5}×\sqrt{25×5}=\dfrac{1}{5}×5\sqrt{5}=\sqrt{5}=\sqrt{1^2+2^2}$，对应直角边为1、2的直角三角形的斜边。
第二步：确定顶点位置，选取格点A(0,0)，B(3,0)，此时线段AB的长度为3，符合第一条边长要求。
第三步：找第三个顶点C，取C(1,2)，分别计算AC、BC的长度：
$AC=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，符合第三条边长；
$BC=\sqrt{(3-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，符合第二条边长。
因此△ABC即为所求，画法不唯一。
【答案】
△ABC的三个顶点为格点A(0,0)、B(3,0)、C(1,2)（画法不唯一）
【知识点】
二次根式化简、勾股定理的应用
【点评】
本题解题核心是先将带根号的边长化简，转化为能通过勾股定理构造的格点线段长度，再依次确定三个顶点的位置，解题思路灵活，只要掌握二次根式运算和勾股定理的基础内容就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
26. 观察下列等式及验证过程：
式①：$2×\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}$，
验证：$2×\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^3}{3}}=\sqrt{\dfrac{(2^3 - 2)+2}{2^2 - 1}}=\sqrt{\dfrac{2(2^2 - 1)+2}{2^2 - 1}}=\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}$；
式②：$3×\sqrt{\dfrac{3}{8}}=\sqrt{3+\dfrac{3}{8}}$，
验证：$3×\sqrt{\dfrac{3}{8}}=\sqrt{\dfrac{3^3}{8}}=\sqrt{\dfrac{(3^3 - 3)+3}{3^2 - 1}}=\sqrt{\dfrac{3(3^2 - 1)+3}{3^2 - 1}}=\sqrt{3+\dfrac{3}{8}}$。
（1）针对式①、式②的规律，请再写出一个按以上规律变化的等式。
（2）请写出满足上述规律的用$n$（$n$为任意自然数，且$n≥2$）表示的等式，并加以验证。
式①：$2×\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}$，
验证：$2×\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^3}{3}}=\sqrt{\dfrac{(2^3 - 2)+2}{2^2 - 1}}=\sqrt{\dfrac{2(2^2 - 1)+2}{2^2 - 1}}=\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}$；
式②：$3×\sqrt{\dfrac{3}{8}}=\sqrt{3+\dfrac{3}{8}}$，
验证：$3×\sqrt{\dfrac{3}{8}}=\sqrt{\dfrac{3^3}{8}}=\sqrt{\dfrac{(3^3 - 3)+3}{3^2 - 1}}=\sqrt{\dfrac{3(3^2 - 1)+3}{3^2 - 1}}=\sqrt{3+\dfrac{3}{8}}$。
（1）针对式①、式②的规律，请再写出一个按以上规律变化的等式。
（2）请写出满足上述规律的用$n$（$n$为任意自然数，且$n≥2$）表示的等式，并加以验证。
答案
26. (1) $4×\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$(答案不唯一)
(2) $n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$
验证:$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$.
(2) $n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$
验证:$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$.
解析
【分析】
（1）先观察已知等式的结构特征：式①中整数为2，根号内分子等于2，分母为$2^2-1=3$；式②中整数为3，根号内分子等于3，分母为$3^2-1=8$，可总结规律：当整数为$k$（$k≥2$）时，等式为$k×\sqrt{\frac{k}{k^2-1}}=\sqrt{k+\frac{k}{k^2-1}}$，取$k=4$即可写出符合要求的等式（$k$取其他大于等于2的自然数也可）。
（2）将规律中的整数替换为$n$（$n≥2$，$n$为自然数）即可得到通用等式；验证时参照题目的验证步骤，先利用二次根式的性质将根号外的$n$移入根号内，再拆分分子、约分变形，证明左边化简后和右边相等即可。
【解析】
（1）按照规律取$n=4$，此时分母为$4^2-1=15$，可写出等式：$4×\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$，也可取$n=5$等其他符合要求的数值写出等式。
（2）通用规律等式为：$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n$为自然数，$n≥2$）
验证过程：
左边$=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n^2·\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}$
将分子拆分变形：$n^3=n^3-n+n=n(n^2-1)+n$，代入得：
左边$=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)}{n^2-1}+\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=$右边，等式成立。
【答案】
(1) $4×\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$(答案不唯一)
(2) $n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$
验证:$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$.
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，分式运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，需要通过观察已知示例归纳共性特征得到通用规律，再结合代数运算性质完成验证，侧重考查学生的观察归纳能力和基础运算能力，掌握二次根式的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）先观察已知等式的结构特征：式①中整数为2，根号内分子等于2，分母为$2^2-1=3$；式②中整数为3，根号内分子等于3，分母为$3^2-1=8$，可总结规律：当整数为$k$（$k≥2$）时，等式为$k×\sqrt{\frac{k}{k^2-1}}=\sqrt{k+\frac{k}{k^2-1}}$，取$k=4$即可写出符合要求的等式（$k$取其他大于等于2的自然数也可）。
（2）将规律中的整数替换为$n$（$n≥2$，$n$为自然数）即可得到通用等式；验证时参照题目的验证步骤，先利用二次根式的性质将根号外的$n$移入根号内，再拆分分子、约分变形，证明左边化简后和右边相等即可。
【解析】
（1）按照规律取$n=4$，此时分母为$4^2-1=15$，可写出等式：$4×\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$，也可取$n=5$等其他符合要求的数值写出等式。
（2）通用规律等式为：$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n$为自然数，$n≥2$）
验证过程：
左边$=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n^2·\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}$
将分子拆分变形：$n^3=n^3-n+n=n(n^2-1)+n$，代入得：
左边$=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)}{n^2-1}+\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=$右边，等式成立。
【答案】
(1) $4×\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$(答案不唯一)
(2) $n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$
验证:$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$.
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，分式运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，需要通过观察已知示例归纳共性特征得到通用规律，再结合代数运算性质完成验证，侧重考查学生的观察归纳能力和基础运算能力，掌握二次根式的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
