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10. 关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}\dfrac{x + 15}{2} ＞ x - 3, \\ \dfrac{2x + 2}{3} ＜ x + a\end{cases}$ 只有4个整数解，则 $ a $ 的取值范围是( ).
A.$-5 ＜ a ≤ -\dfrac{14}{3}$
B.$-5 ≤ a ＜ -\dfrac{14}{3}$
C.$-5 ≤ a ≤ -\dfrac{14}{3}$
D.$-5 ＜ a ＜ -\dfrac{14}{3}$
A.$-5 ＜ a ≤ -\dfrac{14}{3}$
B.$-5 ≤ a ＜ -\dfrac{14}{3}$
C.$-5 ≤ a ≤ -\dfrac{14}{3}$
D.$-5 ＜ a ＜ -\dfrac{14}{3}$
答案
10. A
解析
【分析】
解决这类含参数的不等式组整数解问题，思路分三步：第一步先分别解两个一元一次不等式，得到用参数a表示的不等式组公共解集；第二步根据“只有4个整数解”的条件，结合解集的上限，确定这4个整数解的具体值；第三步根据整数解的范围，列出关于a的不等式，注意判断边界值能不能取到，最后解出a的取值范围即可。
【解析】
先分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式 $\frac{x + 15}{2} ＞ x - 3$：
两边同乘2去分母，得 $x + 15 ＞ 2x - 6$，
移项合并同类项，得 $-x ＞ -21$，
系数化为1（不等号方向改变），得 $x ＜ 21$。
2. 解不等式 $\frac{2x + 2}{3} ＜ x + a$：
两边同乘3去分母，得 $2x + 2 ＜ 3x + 3a$，
移项合并同类项，得 $-x ＜ 3a - 2$，
系数化为1（不等号方向改变），得 $x ＞ 2 - 3a$。
因此不等式组的解集为 $\boldsymbol{2 - 3a ＜ x ＜ 21}$。
已知不等式组只有4个整数解，小于21的连续4个整数是20、19、18、17，即整数解为17、18、19、20，由此可得：
$16 ≤ 2 - 3a ＜ 17$（若$2-3a＜16$，则整数解会包含16，共5个；若$2-3a≥17$，则整数解取不到17，仅3个，均不符合要求）
解上述不等式：
先解左边：$16 ≤ 2 - 3a$，移项得 $3a ≤ 2 - 16$，即 $3a ≤ -14$，得 $a ≤ -\frac{14}{3}$；
再解右边：$2 - 3a ＜ 17$，移项得 $-3a ＜ 15$，系数化为1得 $a ＞ -5$。
综上，$a$的取值范围是 $-5 ＜ a ≤ -\frac{14}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组整数解，含参数不等式问题
【点评】
本题是不等式组应用的典型题型，解题核心是先求出不含参数的解集边界，再结合整数解的个数确定参数的范围，易错点是边界值的取舍，需代入验证是否符合题意，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的不等式组整数解问题，思路分三步：第一步先分别解两个一元一次不等式，得到用参数a表示的不等式组公共解集；第二步根据“只有4个整数解”的条件，结合解集的上限，确定这4个整数解的具体值；第三步根据整数解的范围，列出关于a的不等式，注意判断边界值能不能取到，最后解出a的取值范围即可。
【解析】
先分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式 $\frac{x + 15}{2} ＞ x - 3$：
两边同乘2去分母，得 $x + 15 ＞ 2x - 6$，
移项合并同类项，得 $-x ＞ -21$，
系数化为1（不等号方向改变），得 $x ＜ 21$。
2. 解不等式 $\frac{2x + 2}{3} ＜ x + a$：
两边同乘3去分母，得 $2x + 2 ＜ 3x + 3a$，
移项合并同类项，得 $-x ＜ 3a - 2$，
系数化为1（不等号方向改变），得 $x ＞ 2 - 3a$。
因此不等式组的解集为 $\boldsymbol{2 - 3a ＜ x ＜ 21}$。
已知不等式组只有4个整数解，小于21的连续4个整数是20、19、18、17，即整数解为17、18、19、20，由此可得：
$16 ≤ 2 - 3a ＜ 17$（若$2-3a＜16$，则整数解会包含16，共5个；若$2-3a≥17$，则整数解取不到17，仅3个，均不符合要求）
解上述不等式：
先解左边：$16 ≤ 2 - 3a$，移项得 $3a ≤ 2 - 16$，即 $3a ≤ -14$，得 $a ≤ -\frac{14}{3}$；
再解右边：$2 - 3a ＜ 17$，移项得 $-3a ＜ 15$，系数化为1得 $a ＞ -5$。
综上，$a$的取值范围是 $-5 ＜ a ≤ -\frac{14}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组整数解，含参数不等式问题
【点评】
本题是不等式组应用的典型题型，解题核心是先求出不含参数的解集边界，再结合整数解的个数确定参数的范围，易错点是边界值的取舍，需代入验证是否符合题意，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ mx - n ＞ 0 $ 的解集是 $ x ＜ \dfrac{1}{5} $，求关于 $ x $ 的不等式 $ (m + n)x ＜ n - m $ 的解集.
11. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ mx - n ＞ 0 $ 的解集是 $ x ＜ \dfrac{1}{5} $，求关于 $ x $ 的不等式 $ (m + n)x ＜ n - m $ 的解集.
答案
11. $x ＞ -\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①首先处理已知不等式，对$mx-n＞0$移项得$mx＞n$，结合其解集为$x＜\frac{1}{5}$，发现不等号方向和原不等号相反，说明两边除以的系数$m$是负数，同时可得$\frac{n}{m}=\frac{1}{5}$，从而推出$m=5n$且$n$也为负数；②将$m=5n$代入待求解的不等式$(m+n)x＜n-m$中，消去参数统一形式；③观察化简后不等式的系数正负，结合不等式性质（除以负数不等号变向）即可求出解集。
【解析】
解：先对已知不等式$mx - n ＞ 0$移项，得：
$mx ＞ n$
∵ 该不等式的解集是$x ＜ \dfrac{1}{5}$，不等号方向发生改变，
∴ 由不等式的性质可得：$m ＜ 0$，且$\dfrac{n}{m} = \dfrac{1}{5}$，
即 $m = 5n$，且$n ＜ 0$（因为$m＜0$，5为正数，故$n$为负数）。
将$m = 5n$代入不等式$(m + n)x ＜ n - m$，得：
$(5n + n)x ＜ n - 5n$
化简得：$6nx ＜ -4n$
∵ $n ＜ 0$，
∴ $6n ＜ 0$，
两边同时除以$6n$，不等号方向改变，得：
$x ＞ \dfrac{-4n}{6n}$
约去不为0的$n$，化简得$x ＞ -\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$x ＞ -\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 解一元一次不等式
3. 含参数的一元一次不等式
【点评】
本题重点考查不等式性质的灵活运用，解题的突破口是从已知不等式的解集判断出参数的正负以及参数间的数量关系，求解过程中要特别注意：不等式两边同时除以负数时，不等号方向必须改变，这是本题最易失分的易错点。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：①首先处理已知不等式，对$mx-n＞0$移项得$mx＞n$，结合其解集为$x＜\frac{1}{5}$，发现不等号方向和原不等号相反，说明两边除以的系数$m$是负数，同时可得$\frac{n}{m}=\frac{1}{5}$，从而推出$m=5n$且$n$也为负数；②将$m=5n$代入待求解的不等式$(m+n)x＜n-m$中，消去参数统一形式；③观察化简后不等式的系数正负，结合不等式性质（除以负数不等号变向）即可求出解集。
【解析】
解：先对已知不等式$mx - n ＞ 0$移项，得：
$mx ＞ n$
∵ 该不等式的解集是$x ＜ \dfrac{1}{5}$，不等号方向发生改变，
∴ 由不等式的性质可得：$m ＜ 0$，且$\dfrac{n}{m} = \dfrac{1}{5}$，
即 $m = 5n$，且$n ＜ 0$（因为$m＜0$，5为正数，故$n$为负数）。
将$m = 5n$代入不等式$(m + n)x ＜ n - m$，得：
$(5n + n)x ＜ n - 5n$
化简得：$6nx ＜ -4n$
∵ $n ＜ 0$，
∴ $6n ＜ 0$，
两边同时除以$6n$，不等号方向改变，得：
$x ＞ \dfrac{-4n}{6n}$
约去不为0的$n$，化简得$x ＞ -\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$x ＞ -\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 解一元一次不等式
3. 含参数的一元一次不等式
【点评】
本题重点考查不等式性质的灵活运用，解题的突破口是从已知不等式的解集判断出参数的正负以及参数间的数量关系，求解过程中要特别注意：不等式两边同时除以负数时，不等号方向必须改变，这是本题最易失分的易错点。
【难度系数】
0.6
12. 小红准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶. 若甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买多少瓶甲饮料？
答案
12. 3 瓶
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：首先明确题目核心限制条件：总钱数不超过50元，两种饮料总数量为10瓶。我们可以设甲饮料的购买数量为未知数，用总瓶数表示出乙饮料的数量，再根据“甲饮料总花费+乙饮料总花费≤总预算50元”的不等关系列出不等式，求解后结合饮料瓶数为非负整数的实际要求，取最大的整数解即为最多能买的甲饮料数量。
【解析】
设小红能买$x$瓶甲饮料，则购买乙饮料的数量为$(10-x)$瓶。
根据总花费不超过50元的要求，列不等式：
$7x + 4(10-x) ≤ 50$
展开计算得：$7x + 40 - 4x ≤ 50$
合并同类项得：$3x + 40 ≤ 50$
移项化简得：$3x ≤ 10$
解得：$x ≤ \frac{10}{3} \approx 3.33$
由于$x$为饮料瓶数，必须为非负整数，因此$x$可取的最大正整数值为3。
【答案】
3瓶
【知识点】
一元一次不等式的实际应用；不等式的整数解
【点评】
本题是不等式在生活消费场景中的典型应用，解题关键是准确找准总花费不超过预算的不等关系，同时要注意结合实际意义对不等式的解进行取舍，避免直接取不符合实际的小数解。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：首先明确题目核心限制条件：总钱数不超过50元，两种饮料总数量为10瓶。我们可以设甲饮料的购买数量为未知数，用总瓶数表示出乙饮料的数量，再根据“甲饮料总花费+乙饮料总花费≤总预算50元”的不等关系列出不等式，求解后结合饮料瓶数为非负整数的实际要求，取最大的整数解即为最多能买的甲饮料数量。
【解析】
设小红能买$x$瓶甲饮料，则购买乙饮料的数量为$(10-x)$瓶。
根据总花费不超过50元的要求，列不等式：
$7x + 4(10-x) ≤ 50$
展开计算得：$7x + 40 - 4x ≤ 50$
合并同类项得：$3x + 40 ≤ 50$
移项化简得：$3x ≤ 10$
解得：$x ≤ \frac{10}{3} \approx 3.33$
由于$x$为饮料瓶数，必须为非负整数，因此$x$可取的最大正整数值为3。
【答案】
3瓶
【知识点】
一元一次不等式的实际应用；不等式的整数解
【点评】
本题是不等式在生活消费场景中的典型应用，解题关键是准确找准总花费不超过预算的不等关系，同时要注意结合实际意义对不等式的解进行取舍，避免直接取不符合实际的小数解。
【难度系数】
0.7
