2026年暑假作业上海科学技术出版社七年级数学沪科版第22页答案
1. x 的 3 倍减去 1 的差不大于-1,可列式为
3x-1≤-1
.

答案

1. $3x - 1 ≤ -1$

解析

【分析】
要解决这道题,我们需要逐句拆解题目中的文字描述,将其转化为对应的数学表达式:首先先找到描述数量关系的关键词,第一步先表示“x的3倍”,就是x乘3;再表示“减去1的差”,就是用前面得到的3倍的结果减1;最后明确“不大于”的含义,“不大于”指的是左边的结果小于或者等于右边的数,对应不等号“≤”,把各部分组合起来就能得到正确的式子。
【解析】
1. 表示“x的3倍”:根据乘法的意义,x的3倍可写为$3x$;
2. 表示“3倍减去1的差”:用$3x$减去1,得到$3x - 1$;
3. 理解“不大于-1”的含义:“不大于”即小于或等于,对应的不等号为“≤”,因此可列不等式$3x - 1 ≤ -1$。
【答案】
$3x - 1 ≤ -1$
【知识点】
列一元一次不等式;不等号的含义
【点评】
本题属于基础题,核心考查将文字语言转化为数学不等式的能力,解题的关键是准确把握“不大于”“不小于”“超过”“不足”这类描述不等关系的关键词对应的不等号。
【难度系数】
0.9
2. 若关于$ x $的不等式组$\begin{cases} x - a > 2, \\ b - 2x > 0 \end{cases}$的解集是$-1 < x < 1$,则$(a + b)^{2025} = \_\_\_\_\_\_$。

答案

2. $-1$

解析

【分析】
解决本题的思路是:首先分别求解不等式组中的两个不等式,用含参数a、b的式子表示出x的取值范围;再将得到的解集与题目给出的已知解集-1<x<1进行对应,令两个解集的左右边界分别相等,即可求出a、b的值;最后将a、b的值代入待求式子计算结果即可。
【解析】
先解不等式组:
1. 解不等式$x - a > 2$,移项得:$x > a + 2$;
2. 解不等式$b - 2x > 0$,移项得:$-2x > -b$,系数化为1(不等号方向改变)得:$x < \frac{b}{2}$。
因此不等式组的解集为$a + 2 < x < \frac{b}{2}$。
已知该不等式组的解集是$-1 < x < 1$,对应边界可得:
$\begin{cases}a + 2 = -1 \\ \frac{b}{2} = 1\end{cases}$
分别求解得:$a = -1 - 2 = -3$,$b = 1×2 = 2$。
将$a=-3$、$b=2$代入$(a + b)^{2025}$得:
$(-3 + 2)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$(负数的奇次幂为负数)。
【答案】
$-1$
【知识点】
解一元一次不等式组、不等式的性质、有理数乘方运算
【点评】
本题属于不等式组解集的逆向应用题型,解题核心是先求出含参数的不等式组的解集,再与已知解集对应得到参数的值,解题时需注意解不等式时若两边同时除以负数,不等号方向要改变,同时要熟练掌握负数乘方的符号规律。
【难度系数】
0.7
3. 若关于$ x $的不等式组$\begin{cases}1 + x > a, \\2x - 4 ≤ 0\end{cases}$有解,则$ a $的取值范围是________。

答案

3. $a < 3$

解析

【分析】
要解决这个含参数的不等式组有解的问题,第一步需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式,得到各自的解集;第二步根据“不等式组有解即两个解集存在公共部分”的规则,判断参数满足的不等关系,最后解这个不等式就能得到a的取值范围。
【解析】
先分别解两个不等式:
1. 解不等式$1 + x > a$,移项可得:$x > a - 1$
2. 解不等式$2x - 4 ≤ 0$,移项得$2x ≤ 4$,两边同时除以2得:$x ≤ 2$
因为不等式组有解,说明两个解集有公共部分,所以$x > a - 1$和$x ≤ 2$存在交集,即$a - 1 < 2$(若$a-1=2$,则解集为$x>2$和$x≤2$,无公共部分,不等式组无解)
解$a - 1 < 2$,移项得$a < 3$
【答案】
$a < 3$
【知识点】
解一元一次不等式;一元一次不等式组的解集;不等式组有解的判定
【点评】
本题是不等式组含参问题的基础题型,解题核心是先正确求出每个不等式的解集,再结合“不等式组有解则解集有公共部分”的规则列参数不等式,要注意验证等号是否符合题意,避免多解或漏解。
【难度系数】
0.7
4. 适合$1<|x|<3$的整数解有________个。

答案

4. $2$

解析

【分析】
要解决这个问题,首先需要理解绝对值不等式的含义,将复合不等式$1<|x|<3$拆分为两个同时成立的绝对值不等式,分别求解后得到公共解集,再在公共解集中筛选出整数,统计整数的个数即可得到结果。解题时要注意绝对值的取值包含正数和负数两种情况,不要遗漏负数区间的解。
【解析】
首先,$1<|x|<3$等价于两个不等式同时成立:
$\begin{cases}|x|>1 \\|x|<3\end{cases}$
1. 解$|x|>1$:根据绝对值的性质,可得$x>1$或$x<-1$;
2. 解$|x|<3$:根据绝对值的性质,可得$-3<x<3$;
取两个解集的公共部分,得到不等式的解集为$-3<x<-1$或$1<x<3$。
在上述解集中筛选整数:$-3<x<-1$范围内的整数是$-2$,$1<x<3$范围内的整数是$2$,共有2个整数解。
【答案】
$2$
【知识点】
绝对值不等式解法,整数的概念
【点评】
本题重点考察绝对值的性质和不等式整数解的筛选,解题时需注意绝对值对应的正负两种取值情况,同时要准确判断端点值是否在解集范围内,避免出现漏解或多算的错误。
【难度系数】
0.7
5. 某商品进价240元,标价320元.现为让利顾客,计划以利润率不低于20%的价格降价出售,则该商品最多可降价
32
元.

答案

5. $32$

解析

【分析】
要计算商品最多可降价多少元,首先明确:降价越多,实际售价越低,要满足利润率不低于20%,则当利润率刚好为20%时,售价最低,对应降价最多。解题时先回忆销售问题的核心公式:利润率=利润÷进价×100%,利润=售价-进价。我们可以设降价x元,根据“利润率≥20%”的不等关系列不等式求解即可。
【解析】
设该商品可降价$ x $元,根据题意,利润率不低于20%,可列不等式:
$\frac{320 - x - 240}{240} ≥ 20\%$
化简不等式左边:$ \frac{80 - x}{240} ≥ 0.2 $
两边同时乘240得:$ 80 - x ≥ 48 $
移项解得:$ x ≤ 32 $
即该商品最多可降价32元。
【答案】
$ 32 $
【知识点】
利润率计算、一元一次不等式应用、销售问题
【点评】
本题是贴近生活的销售类应用题,解题核心是准确抓住“利润率不低于20%”的不等关系,熟练运用销售问题中进价、售价、利润、利润率的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 牛奶包装盒上注明“每 100 g 内含钙$≥ 150\ \mathrm{mg}$”,它的含义是指(
B
).

A.每 100 g 内含钙 150 mg
B.每 100 g 内含钙不低于 150 mg
C.每 100 g 内含钙高于 150 mg
D.每 100 g 内含钙不超过 150 mg

答案

6. B

解析

【分析】
本题考查不等号的实际含义,解题时首先明确“≥”这个符号的数学意义是“大于或等于”,对应日常表述就是“不低于、不少于”,再逐一匹配选项即可得出正确答案。
【解析】
首先回忆不等号的含义:符号“≥”表示大于或等于,即对应的实际意义是“不低于、不少于”。
题目中“每100g内含钙≥150mg”的含义就是每100g牛奶中钙的含量大于或者等于150mg,也就是不低于150mg。
逐一判断选项:
A选项仅表述了等于150mg的情况,遗漏了大于150mg的可能,不符合≥的含义,错误;
C选项“高于150mg”仅表示大于150mg,遗漏了等于150mg的情况,错误;
D选项“不超过150mg”是≤的含义,和题意不符,错误;
B选项“不低于150mg”完全符合≥的含义,正确。
【答案】
B
【知识点】
不等号的含义,不等式的实际应用
【点评】
本题属于基础题型,核心是要掌握各类不等号和日常中文表述的对应关系,注意区分“≥”和“>”、“≤”和“<”的表述差异,避免混淆。
【难度系数】
0.9
7. 下列说法错误的是(
C
).

A.不等式 $x < 2$ 的正整数解只有一个
B.$-2$ 是不等式 $2x - 1 < 0$ 的一个解
C.不等式 $-3x > 9$ 的解集是 $x > -3$
D.不等式 $x < 10$ 的整数解有无数个

答案

7. C

解析

【分析】
这是一道考查不等式基础概念的选择题,要求选出错误说法,解题时需逐一排查每个选项:①判断正整数解时,先明确正整数的取值范围,再结合不等式的范围筛选;②判断某个值是否为不等式的解,可直接将该值代入不等式验证是否成立;③解系数为负数的一元一次不等式时,不等号方向要发生改变;④判断整数解个数时,要注意负整数也属于整数范畴,小于某个正数的整数有无数个。按照这个思路逐一验证即可得出结果。
【解析】
我们逐个分析选项:
A. 小于2的正整数只有1,因此不等式$x<2$的正整数解只有1个,该说法正确,不符合题意;
B. 将$x=-2$代入$2x-1$,得$2×(-2)-1=-5<0$,满足不等式,因此$-2$是不等式$2x-1<0$的一个解,该说法正确,不符合题意;
C. 解不等式$-3x>9$,两边同时除以$-3$,根据不等式的性质,不等号方向改变,得$x<-3$,而非$x>-3$,该说法错误,符合题意;
D. 小于10的整数包括所有负整数、0和1~9的正整数,共有无数个,因此不等式$x<10$的整数解有无数个,该说法正确,不符合题意。
综上,选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 不等式的解与解集
2. 解一元一次不等式
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于不等式基础题,主要易错点是解系数为负的一元一次不等式时忘记改变不等号方向,只要熟练掌握不等式的基本性质,逐个验证选项即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
8. 关于 $ x $ 的不等式 $ 2 < (1 - a)x $ 的解集为 $ x < \dfrac{2}{1 - a} $,则 $ a $ 的取值范围是(
B
).

A.$ a > 0 $
B.$ a > 1 $
C.$ a < 0 $
D.$ a < 1 $

答案

8. B

解析

【分析】
解题的核心是利用不等式的基本性质判断未知数系数的正负:首先观察原不等式变形为解集后不等号的方向发生了改变,根据不等式的性质,不等式两边同时除以同一个负数时,不等号方向改变,由此可推出x的系数(1-a)是负数,再解关于a的不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
原不等式$2 < (1 - a)x$可整理为$(1 - a)x > 2$。
已知该不等式的解集为$x < \dfrac{2}{1 - a}$,不等号方向由“$>$”变为“$<$”,根据不等式的性质:不等式两边同时除以同一个负数,不等号方向改变,可得:
$1 - a < 0$
移项得:$-a < -1$
两边同时乘$-1$,不等号方向改变,得:$a > 1$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
不等式的基本性质;一元一次不等式的解集
【点评】
本题是不等式部分的基础常考题,解题的关键是熟练掌握不等式的性质,尤其要注意不等式两边同时乘或除以同一个负数时,不等号方向必须改变,避免因忽略变号规则出错。
【难度系数】
0.7
9. 如果关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}x + 8 < 4x - 1, \\x > m\end{cases}$的解集是 $ x > 4 $,那么 $ m $ 的取值范围是( ).

A.$ m ≥ 4 $
B.$ m ≤ 4 $
C.$ m = 4 $
D.$ m < 4 $

答案

9. C

解析

【分析】
要解决这道题,首先需要先求解第一个一元一次不等式,得到它的解集,再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则,结合题目给出的不等式组最终解集为$x>4$,反推参数$m$的取值即可。
【解析】
第一步:解不等式$x + 8 < 4x - 1$
移项得:$8 + 1 < 4x - x$
合并同类项得:$9 < 3x$
系数化为1得:$x > 3$
第二步:结合第二个不等式$x > m$确定$m$的取值
不等式组的两个解集均为大于号,根据“同大取大”的解集判定规则,不等式组的解集应为两个解集中更大的数对应的范围。
已知不等式组的解集为$x > 4$:
若$m < 4$,则两个解集$x>3$和$x>m$的公共解集为$x>\max(3,m)$,此时$\max(3,m)<4$,不符合解集为$x>4$的要求;
若$m > 4$,则公共解集为$x>m>4$,也不符合要求;
只有当$m=4$时,两个解集$x>3$和$x>4$的公共解集为$x>4$,符合题意。
因此$m$的取值为$m=4$。
【答案】
C
【知识点】
解一元一次不等式;不等式组解集判定
【点评】
本题主要考察不等式组解集规则的应用,解题时要熟练掌握不等式组解集的判定口诀,同时要注意对参数边界值的验证,避免误选取值范围类的错误选项。
【难度系数】
0.6