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12. 小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第 16 min 回到家中. 设小明出发第 t min 时的速度为 v m/min,离家的距离为 s m,v 与 t 之间的函数关系如图 23-26 所示(图中的空心圈表示不包含这一点).
(1)小明出发第 2 min 时离家的距离为
(2)当$2＜t≤5$时,求 s 与 t 之间的函数解析式;
(3)画出 s 与 t 之间的函数图象.
(1)小明出发第 2 min 时离家的距离为
200
m;(2)当$2＜t≤5$时,求 s 与 t 之间的函数解析式;
(3)画出 s 与 t 之间的函数图象.
答案
12. (1)200
(2)当 $2＜t≤5$ 时,$s=100×2+160(t-2)=160t-120$. 故 $s$ 与 $t$ 之间的函数解析式为 $s=160t-120$.
(3)由题意,得第 5 min 时,小明走了 $160×5-120=680(\mathrm{m})$. 设小明走到第 $a\ \mathrm{min}$ 时开始返回,则 $680+(a-5)×80=(16-a)×80$. 解得 $a=6.25$. 当 $5＜t≤6.25$ 时,函数图象过 $(5,680)$ 和 $(6.25,780)$,此时 $s=80t+280$. 当 $6.25＜t≤16$ 时,函数图象过 $(6.25,780)$ 和 $(16,0)$,此时 $s=-80t+1\ 280$. 故 $s$ 与 $t$ 之间的函数解析式为 $s=\begin{cases}100t(0≤ t≤2), \\160t-120(2＜ t≤5), \\80t+280(5＜ t≤6.25), \\1\ 280-80t(6.25＜ t≤16).\end{cases}$ 图象如图所示
.解析
【分析】
本题是一次函数在行程问题中的实际应用，需结合v-t图像分时间段分析小明的运动状态求解：
1. 第（1）问：观察v-t图可知0~2min小明速度为100m/min，根据“路程=速度×时间”直接计算第2min的离家距离即可。
2. 第（2）问：2＜t≤5时，小明速度变为160m/min，此时总路程等于前2min走的路程加上t＞2后走的路程，整理化简即可得到s与t的函数解析式。
3. 第（3）问：需分四个时间段讨论运动状态，先根据往返路程相等求出小明到达最远点开始返回的时间，再分别用待定系数法求各段的函数解析式，最后根据解析式描点连线画出s-t图像。
【解析】
(1) 当$0≤t≤2$时，小明跑步速度为100m/min，
因此第2min时离家的距离为：$s=100×2=200\ \mathrm{m}$。
(2) 当$2＜t≤5$时，小明前2min已经走了200m，之后运动速度为160m/min，
因此总路程为：$s=200 + 160(t-2)$，
整理得：$s=160t - 120$。
(3) 首先计算$t=5$时的离家距离：将$t=5$代入$s=160t-120$，得$s=160×5-120=680\ \mathrm{m}$。
设小明出发第$a\ \mathrm{min}$时到达最远点开始返回，此时前进速度为80m/min，返回速度也为80m/min，总用时16min，根据往返路程相等列方程：
$680 + 80(a-5) = 80(16 - a)$
解得$a=6.25$，此时最远路程为$680+80×(6.25-5)=780\ \mathrm{m}$。
分四段求s与t的函数解析式：
①当$0≤t≤2$时，$s=100t$；
②当$2＜t≤5$时，$s=160t-120$；
③当$5＜t≤6.25$时，设解析式为$s=kt+b$，代入点$(5,680)$、$(6.25,780)$得：
$\begin{cases}5k + b = 680 \\6.25k + b = 780\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=80 \\b=280\end{cases}$，即$s=80t+280$；
④当$6.25＜t≤16$时，设解析式为$s=kt+b$，代入点$(6.25,780)$、$(16,0)$得：
$\begin{cases}6.25k + b = 780 \\16k + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-80 \\b=1280\end{cases}$，即$s=1280-80t$。
根据各段解析式描点连线，即可得到s与t的函数图象。
【答案】
(1) $\boxed{200}$
(2) $\boxed{s=160t-120\quad(2＜t≤5)}$
(3) s与t的函数图象如下：
【知识点】
一次函数应用，分段函数，行程问题计算
【点评】
本题将速度时间图像和一次函数结合考查，解题的关键是明确不同时间段内的运动速度，结合路程、速度、时间的关系分段计算，需要注意返回时路程随时间增大而减小，求最远点时间时利用往返路程相等的等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数在行程问题中的实际应用，需结合v-t图像分时间段分析小明的运动状态求解：
1. 第（1）问：观察v-t图可知0~2min小明速度为100m/min，根据“路程=速度×时间”直接计算第2min的离家距离即可。
2. 第（2）问：2＜t≤5时，小明速度变为160m/min，此时总路程等于前2min走的路程加上t＞2后走的路程，整理化简即可得到s与t的函数解析式。
3. 第（3）问：需分四个时间段讨论运动状态，先根据往返路程相等求出小明到达最远点开始返回的时间，再分别用待定系数法求各段的函数解析式，最后根据解析式描点连线画出s-t图像。
【解析】
(1) 当$0≤t≤2$时，小明跑步速度为100m/min，
因此第2min时离家的距离为：$s=100×2=200\ \mathrm{m}$。
(2) 当$2＜t≤5$时，小明前2min已经走了200m，之后运动速度为160m/min，
因此总路程为：$s=200 + 160(t-2)$，
整理得：$s=160t - 120$。
(3) 首先计算$t=5$时的离家距离：将$t=5$代入$s=160t-120$，得$s=160×5-120=680\ \mathrm{m}$。
设小明出发第$a\ \mathrm{min}$时到达最远点开始返回，此时前进速度为80m/min，返回速度也为80m/min，总用时16min，根据往返路程相等列方程：
$680 + 80(a-5) = 80(16 - a)$
解得$a=6.25$，此时最远路程为$680+80×(6.25-5)=780\ \mathrm{m}$。
分四段求s与t的函数解析式：
①当$0≤t≤2$时，$s=100t$；
②当$2＜t≤5$时，$s=160t-120$；
③当$5＜t≤6.25$时，设解析式为$s=kt+b$，代入点$(5,680)$、$(6.25,780)$得：
$\begin{cases}5k + b = 680 \\6.25k + b = 780\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=80 \\b=280\end{cases}$，即$s=80t+280$；
④当$6.25＜t≤16$时，设解析式为$s=kt+b$，代入点$(6.25,780)$、$(16,0)$得：
$\begin{cases}6.25k + b = 780 \\16k + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-80 \\b=1280\end{cases}$，即$s=1280-80t$。
根据各段解析式描点连线，即可得到s与t的函数图象。
【答案】
(1) $\boxed{200}$
(2) $\boxed{s=160t-120\quad(2＜t≤5)}$
(3) s与t的函数图象如下：
【知识点】
一次函数应用，分段函数，行程问题计算
【点评】
本题将速度时间图像和一次函数结合考查，解题的关键是明确不同时间段内的运动速度，结合路程、速度、时间的关系分段计算，需要注意返回时路程随时间增大而减小，求最远点时间时利用往返路程相等的等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
趣味数学
用一次函数绘制创意图形
用一次函数可以绘制图形,如图23-27,
图中的心形就可以用一组限定了自变量
取值范围的一次函数来表示.
$\begin{cases}y=-x+8(2≤ x≤7), \\y=x-6(7≤ x≤12), \\y=x+4(2≤ x≤5), \\y=-x+18(9≤ x≤12), \\y=-x+14(5≤ x≤7), \\y=x(7≤ x≤9).\end{cases}$
图23-27
理论上任何折线图形都可以用一组限定了自变量取值范围的一次函数来表示,在图23-28所示的平面直角坐标系中画一幅由线段组成的图案,并用对应的一次函数表示出图案中的每一条边.
图23-28
用一次函数绘制创意图形
用一次函数可以绘制图形,如图23-27,
图中的心形就可以用一组限定了自变量
取值范围的一次函数来表示.
$\begin{cases}y=-x+8(2≤ x≤7), \\y=x-6(7≤ x≤12), \\y=x+4(2≤ x≤5), \\y=-x+18(9≤ x≤12), \\y=-x+14(5≤ x≤7), \\y=x(7≤ x≤9).\end{cases}$
图23-27
理论上任何折线图形都可以用一组限定了自变量取值范围的一次函数来表示,在图23-28所示的平面直角坐标系中画一幅由线段组成的图案,并用对应的一次函数表示出图案中的每一条边.
图23-28
答案
解：
绘制向上的箭头图案，通过待定系数法推导各边对应的一次函数：
1. 端点为$(1,4)$、$(4,7)$的线段：
设解析式为$y=k_1x+b_1$，代入两点得
$\begin{cases} k_1 + b_1 = 4 \\ 4k_1 + b_1 =7 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=1 \\ b_1=3 \end{cases}$
对应解析式：$y=x+3$，自变量取值范围$1\le x\le4$
2. 端点为$(4,7)$、$(7,4)$的线段：
设解析式为$y=k_2x+b_2$，代入两点得
$\begin{cases} 4k_2 + b_2 =7 \\7k_2 + b_2 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=-1 \\ b_2=11 \end{cases}$
对应解析式：$y=-x+11$，自变量取值范围$4\le x\le7$
3. 端点为$(7,4)$、$(6,1)$的线段：
设解析式为$y=k_3x+b_3$，代入两点得
$\begin{cases}7k_3 + b_3 =4 \\6k_3 + b_3 =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_3=3 \\ b_3=-17 \end{cases}$
对应解析式：$y=3x-17$，自变量取值范围$6\le x\le7$
4. 端点为$(6,1)$、$(2,1)$的线段：
设解析式为$y=k_4x+b_4$，代入两点得
$\begin{cases}6k_4 + b_4 =1 \\2k_4 + b_4 =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_4=0 \\ b_4=1 \end{cases}$
对应解析式：$y=1$，自变量取值范围$2\le x\le6$
5. 端点为$(2,1)$、$(3,4)$的线段：
设解析式为$y=k_5x+b_5$，代入两点得
$\begin{cases}2k_5 + b_5 =1 \\3k_5 + b_5 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_5=3 \\ b_5=-5 \end{cases}$
对应解析式：$y=3x-5$，自变量取值范围$2\le x\le3$
6. 端点为$(3,4)$、$(1,4)$的线段：
设解析式为$y=k_6x+b_6$，代入两点得
$\begin{cases}3k_6 + b_6 =4 \\k_6 + b_6 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_6=0 \\ b_6=4 \end{cases}$
对应解析式：$y=4$，自变量取值范围$1\le x\le3$
最终图案所有边对应的一次函数组为：
$\begin{cases}y=x+3\ (1\le x\le4) \\y=-x+11\ (4\le x\le7) \\y=3x-17\ (6\le x\le7) \\y=1\ (2\le x\le6) \\y=3x-5\ (2\le x\le3) \\y=4\ (1\le x\le3)\end{cases}$
绘制向上的箭头图案，通过待定系数法推导各边对应的一次函数：
1. 端点为$(1,4)$、$(4,7)$的线段：
设解析式为$y=k_1x+b_1$，代入两点得
$\begin{cases} k_1 + b_1 = 4 \\ 4k_1 + b_1 =7 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=1 \\ b_1=3 \end{cases}$
对应解析式：$y=x+3$，自变量取值范围$1\le x\le4$
2. 端点为$(4,7)$、$(7,4)$的线段：
设解析式为$y=k_2x+b_2$，代入两点得
$\begin{cases} 4k_2 + b_2 =7 \\7k_2 + b_2 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=-1 \\ b_2=11 \end{cases}$
对应解析式：$y=-x+11$，自变量取值范围$4\le x\le7$
3. 端点为$(7,4)$、$(6,1)$的线段：
设解析式为$y=k_3x+b_3$，代入两点得
$\begin{cases}7k_3 + b_3 =4 \\6k_3 + b_3 =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_3=3 \\ b_3=-17 \end{cases}$
对应解析式：$y=3x-17$，自变量取值范围$6\le x\le7$
4. 端点为$(6,1)$、$(2,1)$的线段：
设解析式为$y=k_4x+b_4$，代入两点得
$\begin{cases}6k_4 + b_4 =1 \\2k_4 + b_4 =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_4=0 \\ b_4=1 \end{cases}$
对应解析式：$y=1$，自变量取值范围$2\le x\le6$
5. 端点为$(2,1)$、$(3,4)$的线段：
设解析式为$y=k_5x+b_5$，代入两点得
$\begin{cases}2k_5 + b_5 =1 \\3k_5 + b_5 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_5=3 \\ b_5=-5 \end{cases}$
对应解析式：$y=3x-5$，自变量取值范围$2\le x\le3$
6. 端点为$(3,4)$、$(1,4)$的线段：
设解析式为$y=k_6x+b_6$，代入两点得
$\begin{cases}3k_6 + b_6 =4 \\k_6 + b_6 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_6=0 \\ b_6=4 \end{cases}$
对应解析式：$y=4$，自变量取值范围$1\le x\le3$
最终图案所有边对应的一次函数组为：
$\begin{cases}y=x+3\ (1\le x\le4) \\y=-x+11\ (4\le x\le7) \\y=3x-17\ (6\le x\le7) \\y=1\ (2\le x\le6) \\y=3x-5\ (2\le x\le3) \\y=4\ (1\le x\le3)\end{cases}$
解析
【分析】
这是一道结合一次函数知识的开放性实践题，解题思路可分为三步：①先构思一个由线段组成的简单图案（如向上箭头、小房子等），在平面直角坐标系中标出图案所有顶点的坐标；②对图案的每一条边（线段），用待定系数法求其对应的一次函数解析式：先设解析式为$y=kx+b$，将线段两个端点的坐标代入，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值，即可得到该线段对应的一次函数；③根据线段两个端点的横坐标，确定该一次函数自变量的取值范围，最终将所有线段对应的解析式和取值范围组合即可。
【解析】
我们选择绘制向上的箭头图案，标注各顶点坐标后，对每条边逐一求解：
1. 端点为$(1,4)$、$(4,7)$的线段：
设解析式为$y=k_1x+b_1$，将两点坐标代入得
$\begin{cases} k_1 + b_1 = 4 \\ 4k_1 + b_1 =7 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k_1=3$，解得$k_1=1$，代入$k_1 + b_1 = 4$得$b_1=3$
对应解析式：$y=x+3$，自变量$x$在两个端点横坐标之间，即取值范围$1\le x\le4$
2. 端点为$(4,7)$、$(7,4)$的线段：
设解析式为$y=k_2x+b_2$，代入两点得
$\begin{cases} 4k_2 + b_2 =7 \\7k_2 + b_2 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=-1 \\ b_2=11 \end{cases}$
对应解析式：$y=-x+11$，自变量取值范围$4\le x\le7$
3. 端点为$(7,4)$、$(6,1)$的线段：
设解析式为$y=k_3x+b_3$，代入两点得
$\begin{cases}7k_3 + b_3 =4 \\6k_3 + b_3 =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_3=3 \\ b_3=-17 \end{cases}$
对应解析式：$y=3x-17$，自变量取值范围$6\le x\le7$
4. 端点为$(6,1)$、$(2,1)$的线段：
设解析式为$y=k_4x+b_4$，代入两点得
$\begin{cases}6k_4 + b_4 =1 \\2k_4 + b_4 =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_4=0 \\ b_4=1 \end{cases}$
对应解析式：$y=1$，自变量取值范围$2\le x\le6$
5. 端点为$(2,1)$、$(3,4)$的线段：
设解析式为$y=k_5x+b_5$，代入两点得
$\begin{cases}2k_5 + b_5 =1 \\3k_5 + b_5 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_5=3 \\ b_5=-5 \end{cases}$
对应解析式：$y=3x-5$，自变量取值范围$2\le x\le3$
6. 端点为$(3,4)$、$(1,4)$的线段：
设解析式为$y=k_6x+b_6$，代入两点得
$\begin{cases}3k_6 + b_6 =4 \\k_6 + b_6 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_6=0 \\ b_6=4 \end{cases}$
对应解析式：$y=4$，自变量取值范围$1\le x\le3$
【答案】
$\begin{cases}y=x+3\ (1\le x\le4) \\y=-x+11\ (4\le x\le7) \\y=3x-17\ (6\le x\le7) \\y=1\ (2\le x\le6) \\y=3x-5\ (2\le x\le3) \\y=4\ (1\le x\le3)\end{cases}$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的图象，自变量范围确定
【点评】
本题为开放性实践类题目，将一次函数的抽象知识与创意绘图结合，既考查了学生对待定系数法求一次函数解析式的掌握程度，也能帮助学生更直观地理解“一次函数图象是直线，限定自变量取值范围后对应线段”的性质，有效提升学生对数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合一次函数知识的开放性实践题，解题思路可分为三步：①先构思一个由线段组成的简单图案（如向上箭头、小房子等），在平面直角坐标系中标出图案所有顶点的坐标；②对图案的每一条边（线段），用待定系数法求其对应的一次函数解析式：先设解析式为$y=kx+b$，将线段两个端点的坐标代入，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值，即可得到该线段对应的一次函数；③根据线段两个端点的横坐标，确定该一次函数自变量的取值范围，最终将所有线段对应的解析式和取值范围组合即可。
【解析】
我们选择绘制向上的箭头图案，标注各顶点坐标后，对每条边逐一求解：
1. 端点为$(1,4)$、$(4,7)$的线段：
设解析式为$y=k_1x+b_1$，将两点坐标代入得
$\begin{cases} k_1 + b_1 = 4 \\ 4k_1 + b_1 =7 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k_1=3$，解得$k_1=1$，代入$k_1 + b_1 = 4$得$b_1=3$
对应解析式：$y=x+3$，自变量$x$在两个端点横坐标之间，即取值范围$1\le x\le4$
2. 端点为$(4,7)$、$(7,4)$的线段：
设解析式为$y=k_2x+b_2$，代入两点得
$\begin{cases} 4k_2 + b_2 =7 \\7k_2 + b_2 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=-1 \\ b_2=11 \end{cases}$
对应解析式：$y=-x+11$，自变量取值范围$4\le x\le7$
3. 端点为$(7,4)$、$(6,1)$的线段：
设解析式为$y=k_3x+b_3$，代入两点得
$\begin{cases}7k_3 + b_3 =4 \\6k_3 + b_3 =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_3=3 \\ b_3=-17 \end{cases}$
对应解析式：$y=3x-17$，自变量取值范围$6\le x\le7$
4. 端点为$(6,1)$、$(2,1)$的线段：
设解析式为$y=k_4x+b_4$，代入两点得
$\begin{cases}6k_4 + b_4 =1 \\2k_4 + b_4 =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_4=0 \\ b_4=1 \end{cases}$
对应解析式：$y=1$，自变量取值范围$2\le x\le6$
5. 端点为$(2,1)$、$(3,4)$的线段：
设解析式为$y=k_5x+b_5$，代入两点得
$\begin{cases}2k_5 + b_5 =1 \\3k_5 + b_5 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_5=3 \\ b_5=-5 \end{cases}$
对应解析式：$y=3x-5$，自变量取值范围$2\le x\le3$
6. 端点为$(3,4)$、$(1,4)$的线段：
设解析式为$y=k_6x+b_6$，代入两点得
$\begin{cases}3k_6 + b_6 =4 \\k_6 + b_6 =4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_6=0 \\ b_6=4 \end{cases}$
对应解析式：$y=4$，自变量取值范围$1\le x\le3$
【答案】
$\begin{cases}y=x+3\ (1\le x\le4) \\y=-x+11\ (4\le x\le7) \\y=3x-17\ (6\le x\le7) \\y=1\ (2\le x\le6) \\y=3x-5\ (2\le x\le3) \\y=4\ (1\le x\le3)\end{cases}$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的图象，自变量范围确定
【点评】
本题为开放性实践类题目，将一次函数的抽象知识与创意绘图结合，既考查了学生对待定系数法求一次函数解析式的掌握程度，也能帮助学生更直观地理解“一次函数图象是直线，限定自变量取值范围后对应线段”的性质，有效提升学生对数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
