7. 在平面直角坐标系中,点$ P(x_0,y_0) $到直线$ Ax + By + C = 0 $的距离公式为$ d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $,则点$ P(3,-3) $到直线$ y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3} $的距离为________.

7. $\dfrac{8}{13}\sqrt{13}$

【分析】
解题时首先明确题目已给出点到直线的距离公式，我们只需先把给出的斜截式直线方程转化为公式要求的$Ax+By+C=0$的一般形式，确定$A、B、C$的取值，再将点$P$的坐标代入公式，依次计算分子、分母，最后化简二次根式即可得到结果。计算时要注意绝对值的运算和符号不要出错。
【解析】
第一步：将直线$ y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3} $化为一般式：
两边同时乘3得：$ 3y = -2x + 5 $，
移项整理得：$ 2x + 3y - 5 = 0 $，
对应公式得：$ A=2 $，$ B=3 $，$ C=-5 $。
第二步：已知点$ P(3,-3) $，即$ x_0=3 $，$ y_0=-3 $，代入距离公式：
$ d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \dfrac{|2× 3 + 3× (-3) + (-5)|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} $
第三步：分别计算分子和分母：
分子：$ |6 - 9 - 5| = |-8| = 8 $，
分母：$ \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $，
第四步：化简结果：
$ d = \dfrac{8}{\sqrt{13}} = \dfrac{8\sqrt{13}}{13} = \dfrac{8}{13}\sqrt{13} $
【答案】
$\dfrac{8}{13}\sqrt{13}$
【知识点】
点到直线的距离计算，直线方程转化，二次根式化简
【点评】
本题属于公式应用型基础题，考查对给定新公式的理解运用能力，同时涉及一次方程变形、绝对值运算和二次根式化简的基础计算技能，只要仔细运算即可得分。
【难度系数】
0.7

8. 如图 23-22,直线 $y=2x+4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,$D$ 为 $OB$ 的中点,$□ OCDE$ 的顶点 $C$ 在 $x$ 轴上,顶点 $E$ 在直线 $AB$ 上,则 $□ OCDE$ 的面积为$\underline{\hspace{5em}}$.

8. $2$

【分析】
解题时首先根据直线解析式求出与y轴交点B的坐标，再由中点定义得到点D的坐标；结合平行四边形对边平行的性质，可知ED平行于x轴，因此点E的纵坐标与点D相同；将该纵坐标代入直线解析式即可求出点E的横坐标，得到平行四边形的底边长，最后根据平行四边形面积=底×高计算即可。
【解析】
1. 求点B坐标：对于直线$y=2x+4$，令$x=0$，得$y=4$，因此$B(0,4)$，线段$OB$的长度为4。
2. 求点D坐标：
∵D是OB的中点，
∴$OD=\frac{1}{2}OB=2$，即$D(0,2)$。
3. 确定点E的纵坐标：
∵四边形$OCDE$是平行四边形，
∴$DE// OC$，又
∵OC在x轴上，
∴$DE// x$轴，即点E的纵坐标为2。
4. 求点E横坐标：将$y=2$代入$y=2x+4$，得$2=2x+4$，解得$x=-1$，即$E(-1,2)$。
5. 计算平行四边形面积：$DE$的长度为$|0 - (-1)|=1$，平行四边形的底$OC=DE=1$，高为D点到x轴的距离即$OD=2$，因此面积$S=1×2=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 平行四边形的性质
3. 平行四边形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何图形结合的基础题，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质确定关键点E的纵坐标，再结合一次函数解析式求解线段长度，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

9. 如图23-23,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,3),(n,3),若直线$y=2x$与线段AB有公共点,则n的值可以为(写出一个即可).

9. 答案不唯一,只要 $n≥\dfrac{3}{2}$ 即可,如 2

【分析】
首先观察点A、B的坐标特征：两点纵坐标相同，可判断线段AB在直线y=3上，平行于x轴。要使直线y=2x与线段AB有公共点，可按以下思路推导：第一步，先求直线y=2x和直线y=3的交点坐标；第二步，结合线段AB的横坐标范围，判断交点落在线段AB上时n需要满足的条件；第三步，在符合条件的取值范围内任选一个n的值即可。
【解析】
解：
∵点A(1,3)、B(n,3)的纵坐标相等，
∴线段AB位于直线y=3上，线段上所有点的纵坐标均为3。
将y=3代入y=2x，可得：$3=2x$，解得$x=\dfrac{3}{2}$，
即直线$y=2x$与直线$y=3$的交点坐标为$(\dfrac{3}{2},3)$。
已知点A的横坐标为$1＜\dfrac{3}{2}$，要使交点$(\dfrac{3}{2},3)$落在线段AB上，
则点B的横坐标需要满足$n≥\dfrac{3}{2}$，
因此n可取2（答案不唯一，大于等于$\dfrac{3}{2}$均可）。
【答案】
2（答案不唯一，$n≥\dfrac{3}{2}$即可）
【知识点】
一次函数交点求解；平行于x轴的点的坐标特征；函数与线段交点判定
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题核心是先求出两条直线的交点坐标，再结合线段的范围推导参数的取值要求，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8

10. 如图23-24,在平面直角坐标系中,点A,C分别在x轴、y轴上,四边形ABCO是边长为4的正方形,D为AB的中点,P为OB上的一个动点,连接DP,AP,当点P满足DP+AP的值最小时,直线AP的解析式为.

10. $y=-2x+8$

【分析】
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）结合一次函数的综合题，思考步骤如下：①看到求直线上动点到两定点线段和最小的问题，首先想到利用轴对称转化线段：本题中动点P在正方形对角线OB上，正方形关于OB对称，因此点A关于OB的对称点为点C，可得AP=CP，DP+AP即可转化为DP+CP；②根据两点之间线段最短，当C、P、D三点共线时，DP+CP的值最小，此时交点即为所求的点P；③先确定各点坐标，依次求出直线CD的解析式、CD与OB的交点P的坐标，最后用待定系数法求直线AP的解析式即可。
【解析】
∵四边形ABCO是边长为4的正方形，
∴各点坐标为：$A(4,0)$，$B(4,4)$，$C(0,4)$，直线OB的解析式为$y=x$。
∵D为AB中点，
∴$D(4,2)$。
∵点A与点C关于对角线OB对称，
∴$AP=CP$，则$DP+AP=DP+CP$，
当C、P、D三点共线时，$DP+CP$的值最小，即$DP+AP$最小。
设直线CD的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,4)$、$D(4,2)$代入得：
$\begin{cases}b=4\\4k+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b=4\end{cases}$，
∴直线CD的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$。
联立$\begin{cases}y=x\\y=-\frac{1}{2}x+4\end{cases}$，解得$x=y=\frac{8}{3}$，即$P(\frac{8}{3},\frac{8}{3})$。
设直线AP的解析式为$y=mx+n$，将$A(4,0)$、$P(\frac{8}{3},\frac{8}{3})$代入得：
$\begin{cases}4m+n=0\\\frac{8}{3}m+n=\frac{8}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-2\\n=8\end{cases}$，
∴直线AP的解析式为$y=-2x+8$。
【答案】
$y=-2x+8$
【知识点】
轴对称最短路径；正方形的性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题综合考查了轴对称的性质、正方形的性质以及一次函数解析式的求解，解题核心是利用对称性将线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题，能有效考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

11. 随着“公园城市”建设的不断推进,绕城绿道化身成为城市的一个超大型“体育场”,绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚. 甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行,甲骑行的速度是18 km/h,乙骑行的路程s(单位:km)与骑行的时间t(单位:h)之间的关系如图23-25所示.
(1)直接写出当$0≤t≤0.2$和$t＞0.2$时,s与t之间的函数解析式.
(2)何时乙骑行在甲的前面?

图23-25

11. (1)当 $0≤t≤0.2$ 时,设 $s=at$,把 $(0.2,3)$ 代入解析式,得 $0.2a=3$,解得 $a=15$. $\therefore s=15t$. 当 $t＞0.2$ 时,设 $s=kt+b$,把 $(0.2,3)$ 和 $(0.5,9)$ 代入解析式,得 $\begin{cases}0.5k+b=9, \\0.2k+b=3.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=20, \\b=-1.\end{cases}$ $\therefore s=20t-1$. $\therefore s$ 与 $t$ 之间的函数解析式为 $s=\begin{cases}15t(0≤ t≤0.2), \\20t-1(t＞0.2).\end{cases}$
(2)由(1)可知,当 $0≤t≤0.2$ 时,乙骑行的速度为 $15\ \mathrm{km/h}$,而甲骑行的速度为 $18\ \mathrm{km/h}$,则甲在乙前面;当 $t＞0.2$ 时,乙骑行的速度为 $20\ \mathrm{km/h}$,甲骑行的速度为 $18\ \mathrm{km/h}$,设 $t\ \mathrm{h}$ 后,乙骑行在甲的前面,则 $18t＜20t-1$,解得 $t＞0.5$. 所以 $0.5\ \mathrm{h}$ 后乙骑行在甲的前面.

【分析】
(1) 求分段函数解析式需分两段处理：①当$0≤t≤0.2$时，函数图象是过原点的直线，属于正比例函数，设解析式为$s=at$，代入已知点$(0.2,3)$即可求出系数$a$；②当$t＞0.2$时，函数为普通一次函数，设解析式为$s=kt+b$，代入图中给出的两个点$(0.2,3)$和$(0.5,9)$，解二元一次方程组得到$k$和$b$的值，即可得到该段的函数解析式。
(2) 先写出甲的路程随时间变化的表达式：甲速度为18km/h，因此甲的路程$s_甲=18t$。先分析$0≤t≤0.2$段乙的速度，对比甲的速度可知该段甲速度更快，乙不可能在甲前面；再分析$t＞0.2$段，乙速度大于甲，列不等式$s_乙＞s_甲$，解不等式即可得到乙在甲前面的时间范围。
【解析】
(1) ①当$0≤t≤0.2$时，设$s=at$，把点$(0.2,3)$代入解析式，得：
$0.2a=3$，解得$a=15$，
∴此时解析式为$s=15t$。
②当$t＞0.2$时，设$s=kt+b$，把点$(0.2,3)$和$(0.5,9)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}0.2k+b=3 \\0.5k+b=9 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$0.3k=6$，解得$k=20$，
把$k=20$代入$0.2k+b=3$，得$4+b=3$，解得$b=-1$，
∴此时解析式为$s=20t-1$。
综上，s与t的函数解析式为$s=\begin{cases}15t(0≤ t≤0.2) \\20t-1(t＞0.2) \end{cases}$。
(2) 甲骑行的路程为$s_甲=18t$：
①当$0≤t≤0.2$时，乙的速度为15km/h，小于甲的速度18km/h，此时甲在乙前面，不符合要求；
②当$t＞0.2$时，乙的速度为20km/h，大于甲的速度，设$t$ h时乙骑行在甲前面，此时乙的路程大于甲的路程，列不等式：
$20t-1＞18t$
移项得：$2t＞1$，解得$t＞0.5$。
【答案】
(1) $s=\begin{cases}15t(0≤ t≤0.2) \\20t-1(t＞0.2) \end{cases}$
(2) 出发0.5h后乙骑行在甲的前面
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活骑行场景命题，贴近生活，主要考查分段一次函数的解析式求解和不等式的实际应用，解题时需注意分段讨论函数的性质，结合行程问题的数量关系列不等式求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7