登录
14. 求下列各式中$ x $的值：
(1)$ 27x^3 + 125 = 0 $；
(2)$ 4(5 - 3x)^2 = \frac{121}{4} $。
(1)$ 27x^3 + 125 = 0 $；
(2)$ 4(5 - 3x)^2 = \frac{121}{4} $。
答案
14.(1)$x=-\dfrac{5}{3}$ (2)$x=\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{31}{12}$
解析
【分析】
本题考查利用开方运算解一元高次方程。（1）是含三次项的方程，解题思路为先移项将常数项移到等号右侧，再将$x^3$的系数化为1，最后对等式两边同时开立方即可求出$x$的值；（2）是含平方项的方程，解题思路为先将平方项的系数化为1，再对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，因此会得到两个一元一次方程，分别求解即可得到$x$的两个解，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对$27x^3 + 125 = 0$移项，得：
$27x^3 = -125$
两边同时除以27，系数化为1，得：
$x^3 = -\dfrac{125}{27}$
对等式两边同时开立方，得：
$x = \sqrt[3]{-\dfrac{125}{27}} = -\dfrac{5}{3}$
(2) 对$4(5 - 3x)^2 = \dfrac{121}{4}$，两边同时除以4，系数化为1，得：
$(5 - 3x)^2 = \dfrac{121}{16}$
对等式两边同时开平方，得：
$5 - 3x = \pm \dfrac{11}{4}$
分两种情况求解：
① 当$5 - 3x = \dfrac{11}{4}$时，移项得：
$-3x = \dfrac{11}{4} - 5 = \dfrac{11}{4} - \dfrac{20}{4} = -\dfrac{9}{4}$
系数化为1，得：
$x = (-\dfrac{9}{4}) ÷ (-3) = \dfrac{3}{4}$
② 当$5 - 3x = -\dfrac{11}{4}$时，移项得：
$-3x = -\dfrac{11}{4} - 5 = -\dfrac{11}{4} - \dfrac{20}{4} = -\dfrac{31}{4}$
系数化为1，得：
$x = (-\dfrac{31}{4}) ÷ (-3) = \dfrac{31}{12}$
【答案】
(1)$x=-\dfrac{5}{3}$；(2)$x=\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{31}{12}$
【知识点】
开立方运算，开平方运算，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查开方性质的应用，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；计算过程中注意移项要变号，分数运算时避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查利用开方运算解一元高次方程。（1）是含三次项的方程，解题思路为先移项将常数项移到等号右侧，再将$x^3$的系数化为1，最后对等式两边同时开立方即可求出$x$的值；（2）是含平方项的方程，解题思路为先将平方项的系数化为1，再对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，因此会得到两个一元一次方程，分别求解即可得到$x$的两个解，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对$27x^3 + 125 = 0$移项，得：
$27x^3 = -125$
两边同时除以27，系数化为1，得：
$x^3 = -\dfrac{125}{27}$
对等式两边同时开立方，得：
$x = \sqrt[3]{-\dfrac{125}{27}} = -\dfrac{5}{3}$
(2) 对$4(5 - 3x)^2 = \dfrac{121}{4}$，两边同时除以4，系数化为1，得：
$(5 - 3x)^2 = \dfrac{121}{16}$
对等式两边同时开平方，得：
$5 - 3x = \pm \dfrac{11}{4}$
分两种情况求解：
① 当$5 - 3x = \dfrac{11}{4}$时，移项得：
$-3x = \dfrac{11}{4} - 5 = \dfrac{11}{4} - \dfrac{20}{4} = -\dfrac{9}{4}$
系数化为1，得：
$x = (-\dfrac{9}{4}) ÷ (-3) = \dfrac{3}{4}$
② 当$5 - 3x = -\dfrac{11}{4}$时，移项得：
$-3x = -\dfrac{11}{4} - 5 = -\dfrac{11}{4} - \dfrac{20}{4} = -\dfrac{31}{4}$
系数化为1，得：
$x = (-\dfrac{31}{4}) ÷ (-3) = \dfrac{31}{12}$
【答案】
(1)$x=-\dfrac{5}{3}$；(2)$x=\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{31}{12}$
【知识点】
开立方运算，开平方运算，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查开方性质的应用，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；计算过程中注意移项要变号，分数运算时避免计算错误。
【难度系数】
0.7
15. 把下列各数分别填入相应的集合里.
$-\dfrac{π}{3}, -\dfrac{22}{13}, \sqrt{7}, \sqrt[3]{-27}, 0.324371, 0.5, \sqrt[3]{9}, -\sqrt{0.4}, \sqrt{16}, 0.8080080008···$.
(1)无理数集合: $\{ ··· \}$;
(2)有理数集合: $\{ ··· \}$;
(3)分数集合: $\{ ··· \}$;
(4)负无理数集合: $\{ ··· \}$.
$-\dfrac{π}{3}, -\dfrac{22}{13}, \sqrt{7}, \sqrt[3]{-27}, 0.324371, 0.5, \sqrt[3]{9}, -\sqrt{0.4}, \sqrt{16}, 0.8080080008···$.
(1)无理数集合: $\{ ··· \}$;
(2)有理数集合: $\{ ··· \}$;
(3)分数集合: $\{ ··· \}$;
(4)负无理数集合: $\{ ··· \}$.
答案
15.(1)无理数集合:$\{-\dfrac{π}{3},\sqrt{7},\sqrt[3]{9},-\sqrt{0.4},0.808\ 008\ 000\ 8···,···\}$;
(2)有理数集合:$\{-\dfrac{22}{13},\sqrt[3]{-27},0.324\ 371,0.5,\sqrt{16},···\}$;
(3)分数集合:$\{-\dfrac{22}{13},0.324\ 371,0.5,···\}$;
(4)负无理数集合:$\{-\dfrac{π}{3},-\sqrt{0.4},···\}$.
(2)有理数集合:$\{-\dfrac{22}{13},\sqrt[3]{-27},0.324\ 371,0.5,\sqrt{16},···\}$;
(3)分数集合:$\{-\dfrac{22}{13},0.324\ 371,0.5,···\}$;
(4)负无理数集合:$\{-\dfrac{π}{3},-\sqrt{0.4},···\}$.
解析
【分析】
解题前先理清思路：第一步先化简题目中可化简的带根号的数：$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{16}=4$；第二步回忆各类数的定义：①有理数是整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见的有含$π$的式子、开方开不尽的数、结构有规律但不循环的无限小数三类；③分数属于有理数，包含正负分数，有限小数和无限循环小数都可转化为分数，因此也属于分数；④负无理数是同时满足为负数、为无理数两个条件的数；第三步逐个判断每个数的类型，填入对应集合即可，注意不要重复、遗漏。
【解析】
先化简特殊数：$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{16}=4$，再逐个分类：
1. 无理数是无限不循环小数，符合的有：$-\dfrac{π}{3}, \sqrt{7}, \sqrt[3]{9}, -\sqrt{0.4}, 0.8080080008···$；
2. 有理数是整数和分数的统称，符合的有：$-\dfrac{22}{13}, \sqrt[3]{-27}, 0.324371, 0.5, \sqrt{16}$；
3. 分数属于有理数，包含正负分数、有限小数，符合的有：$-\dfrac{22}{13}, 0.324371, 0.5$；
4. 负无理数是带负号的无理数，符合的有：$-\dfrac{π}{3}, -\sqrt{0.4}$。
将对应数填入对应集合即可。
【答案】
(1)无理数集合:$\{-\dfrac{π}{3},\sqrt{7},\sqrt[3]{9},-\sqrt{0.4},0.808\ 008\ 000\ 8···,···\}$;
(2)有理数集合:$\{-\dfrac{22}{13},\sqrt[3]{-27},0.324\ 371,0.5,\sqrt{16},···\}$;
(3)分数集合:$\{-\dfrac{22}{13},0.324\ 371,0.5,···\}$;
(4)负无理数集合:$\{-\dfrac{π}{3},-\sqrt{0.4},···\}$.
【知识点】
实数的分类；有理数的概念；无理数的概念
【点评】
本题重点考查实数的分类判定，解题的关键是先对带根号的数进行化简再判断，不要误以为带根号的数都是无理数，同时要区分开无限循环小数和无限不循环小数，牢记常见的无理数类型即可正确解题。
【难度系数】
0.7
解题前先理清思路：第一步先化简题目中可化简的带根号的数：$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{16}=4$；第二步回忆各类数的定义：①有理数是整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见的有含$π$的式子、开方开不尽的数、结构有规律但不循环的无限小数三类；③分数属于有理数，包含正负分数，有限小数和无限循环小数都可转化为分数，因此也属于分数；④负无理数是同时满足为负数、为无理数两个条件的数；第三步逐个判断每个数的类型，填入对应集合即可，注意不要重复、遗漏。
【解析】
先化简特殊数：$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{16}=4$，再逐个分类：
1. 无理数是无限不循环小数，符合的有：$-\dfrac{π}{3}, \sqrt{7}, \sqrt[3]{9}, -\sqrt{0.4}, 0.8080080008···$；
2. 有理数是整数和分数的统称，符合的有：$-\dfrac{22}{13}, \sqrt[3]{-27}, 0.324371, 0.5, \sqrt{16}$；
3. 分数属于有理数，包含正负分数、有限小数，符合的有：$-\dfrac{22}{13}, 0.324371, 0.5$；
4. 负无理数是带负号的无理数，符合的有：$-\dfrac{π}{3}, -\sqrt{0.4}$。
将对应数填入对应集合即可。
【答案】
(1)无理数集合:$\{-\dfrac{π}{3},\sqrt{7},\sqrt[3]{9},-\sqrt{0.4},0.808\ 008\ 000\ 8···,···\}$;
(2)有理数集合:$\{-\dfrac{22}{13},\sqrt[3]{-27},0.324\ 371,0.5,\sqrt{16},···\}$;
(3)分数集合:$\{-\dfrac{22}{13},0.324\ 371,0.5,···\}$;
(4)负无理数集合:$\{-\dfrac{π}{3},-\sqrt{0.4},···\}$.
【知识点】
实数的分类；有理数的概念；无理数的概念
【点评】
本题重点考查实数的分类判定，解题的关键是先对带根号的数进行化简再判断，不要误以为带根号的数都是无理数，同时要区分开无限循环小数和无限不循环小数，牢记常见的无理数类型即可正确解题。
【难度系数】
0.7
16.在学习完平方根这一课时后，小明同学发现了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为 $3x - 2$，平方根为 $\pm(x + 2)$，求这个数. 小明的解答过程如下：
解：∵ 一个数的算术平方根为 $3x - 2$，平方根为 $\pm(x + 2)$，
∴ $3x - 2 = x + 2$ 或 $3x - 2 = -(x + 2)$.
①当 $3x - 2 = x + 2$ 时，解得 $x = 2$，即 $3x - 2 = 4$，这个数为 16；
②当 $3x - 2 = -(x + 2)$ 时，解得 $x = 0$，即 $3x - 2 = -2$，这个数为 4.
综上所述，这个数为 16 或 4.
数学老师说小明的答案是错误的. 你知道小明错在哪里吗？请帮他改正.
解：∵ 一个数的算术平方根为 $3x - 2$，平方根为 $\pm(x + 2)$，
∴ $3x - 2 = x + 2$ 或 $3x - 2 = -(x + 2)$.
①当 $3x - 2 = x + 2$ 时，解得 $x = 2$，即 $3x - 2 = 4$，这个数为 16；
②当 $3x - 2 = -(x + 2)$ 时，解得 $x = 0$，即 $3x - 2 = -2$，这个数为 4.
综上所述，这个数为 16 或 4.
数学老师说小明的答案是错误的. 你知道小明错在哪里吗？请帮他改正.
答案
16.小明在解题过程中的第②种情况,当$3x-2=-(x+2)$时,解得$x=0$,这个数的算术平方根$3x-2=-2＜0$,需要舍去.正确的过程如下：
解:$\because$一个数的算术平方根为$3x-2$,平方根为$\pm(x+2)$,
$\therefore 3x-2=x+2$ 或 $3x-2=-(x+2)$.
①当$3x-2=x+2$时,解得$x=2$,即$3x-2=4$,这个数为 16；
②当$3x-2=-(x+2)$时,解得$x=0$,即$3x-2=-2$.
$\because$算术平方根不能为负数,$\therefore x=0$ 应舍去.
综上所述,这个数为 16.
解:$\because$一个数的算术平方根为$3x-2$,平方根为$\pm(x+2)$,
$\therefore 3x-2=x+2$ 或 $3x-2=-(x+2)$.
①当$3x-2=x+2$时,解得$x=2$,即$3x-2=4$,这个数为 16；
②当$3x-2=-(x+2)$时,解得$x=0$,即$3x-2=-2$.
$\because$算术平方根不能为负数,$\therefore x=0$ 应舍去.
综上所述,这个数为 16.
解析
【分析】
解题前首先要明确两个核心要点：1. 一个正数的两个平方根互为相反数，其中非负的平方根就是它的算术平方根；2. 算术平方根一定是非负数（即≥0），这是隐含的限制条件。我们先根据平方根与算术平方根的关系列方程求出x的可能值，再代入验证3x-2是否符合算术平方根的非负性，不符合的结果要舍去，这就是小明解题时遗漏的步骤。
【解析】
小明的错误是忽略了算术平方根的非负性，第②种情况求出的算术平方根为负数，不符合定义，需要舍去。
正确解题过程如下：
∵ 一个数的算术平方根为$3x - 2$，平方根为 $\pm(x + 2)$，
∴ $3x - 2 = x + 2$ 或 $3x - 2 = -(x + 2)$，且算术平方根$3x-2≥0$。
①当 $3x - 2 = x + 2$ 时，解得 $x = 2$，此时$3x - 2 = 4＞0$，符合算术平方根的要求，所以这个数为$4^2=16$；
②当 $3x - 2 = -(x + 2)$ 时，解得 $x = 0$，此时$3x - 2 = -2＜0$，不符合算术平方根为非负数的要求，故$x=0$舍去。
综上所述，这个数为16。
【答案】
16
【知识点】
算术平方根的性质，平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的典型易错题，解题时容易忽略算术平方根为非负数的隐含约束，导致出现多余的错误解，求出结果后结合定义验证合理性是避免此类错误的关键。
【难度系数】
0.6
解题前首先要明确两个核心要点：1. 一个正数的两个平方根互为相反数，其中非负的平方根就是它的算术平方根；2. 算术平方根一定是非负数（即≥0），这是隐含的限制条件。我们先根据平方根与算术平方根的关系列方程求出x的可能值，再代入验证3x-2是否符合算术平方根的非负性，不符合的结果要舍去，这就是小明解题时遗漏的步骤。
【解析】
小明的错误是忽略了算术平方根的非负性，第②种情况求出的算术平方根为负数，不符合定义，需要舍去。
正确解题过程如下：
∵ 一个数的算术平方根为$3x - 2$，平方根为 $\pm(x + 2)$，
∴ $3x - 2 = x + 2$ 或 $3x - 2 = -(x + 2)$，且算术平方根$3x-2≥0$。
①当 $3x - 2 = x + 2$ 时，解得 $x = 2$，此时$3x - 2 = 4＞0$，符合算术平方根的要求，所以这个数为$4^2=16$；
②当 $3x - 2 = -(x + 2)$ 时，解得 $x = 0$，此时$3x - 2 = -2＜0$，不符合算术平方根为非负数的要求，故$x=0$舍去。
综上所述，这个数为16。
【答案】
16
【知识点】
算术平方根的性质，平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的典型易错题，解题时容易忽略算术平方根为非负数的隐含约束，导致出现多余的错误解，求出结果后结合定义验证合理性是避免此类错误的关键。
【难度系数】
0.6
