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17.已知一个正方体的体积是$1000\ \mathrm{cm}^3$，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积是$488\ \mathrm{cm}^3$。
(1)截去的每个小正方体的棱长是多少？
(2)余下部分的表面积是多少？
(1)截去的每个小正方体的棱长是多少？
(2)余下部分的表面积是多少？
答案
17.(1)设截去的每个小正方体的棱长为$x$ cm,则有$1\ 000-8x^3=488$,解得$x=4$.答:截去的每个小正方体的棱长为4 cm.
(2)$\sqrt[3]{1\ 000}=10$,$10×10×6=600(\mathrm{cm}^2)$.答:余下部分的表面积为$600\ \mathrm{cm}^2$.
(2)$\sqrt[3]{1\ 000}=10$,$10×10×6=600(\mathrm{cm}^2)$.答:余下部分的表面积为$600\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
(1) 求解小正方体棱长时，先计算8个小正方体的总体积：总截去体积=原正方体体积-余下部分体积，8个小正方体大小相同，设每个棱长为$x$ cm，每个小正方体体积为$x^3$ cm³，根据8个小正方体体积之和等于总截去体积列方程，求解即可得到棱长。
(2) 求解余下部分表面积时，先分析截去角上小正方体后面的变化：在正方体角上截去小正方体时，原正方体表面会减少3个小正方形的面积，但截口处会新露出3个面积相等的小正方形，因此余下部分表面积和原正方体表面积完全相等，先求出原正方体的棱长，再根据正方体表面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设截去的每个小正方体的棱长为$x$ cm，
根据题意可列方程：
$1000-8x^3=488$
移项计算得：$8x^3=1000-488=512$
两边同时除以8得：$x^3=64$
开立方得：$x=4$
(2) 先计算原正方体的棱长：
原正方体体积为$1000\ \mathrm{cm}^3$，因此棱长为$\sqrt[3]{1000}=10$ cm。
因为在正方体角上截去小正方体后，减少的面的面积与新增的面的面积相等，所以余下部分的表面积等于原正方体的表面积。
原正方体表面积为：$10×10×6=600(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 截去的每个小正方体的棱长为4 cm；
(2) 余下部分的表面积为$600\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正方体体积计算，正方体表面积分析，立方根运算
【点评】
本题侧重考查正方体体积、表面积的相关应用，第一问属于基础的方程列式计算，第二问的解题关键是理解在正方体顶点处截去小正方体时表面积不变的规律，避免陷入“截去部分就会减少表面积”的思维误区，同时考查学生的空间想象能力和基础公式应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解小正方体棱长时，先计算8个小正方体的总体积：总截去体积=原正方体体积-余下部分体积，8个小正方体大小相同，设每个棱长为$x$ cm，每个小正方体体积为$x^3$ cm³，根据8个小正方体体积之和等于总截去体积列方程，求解即可得到棱长。
(2) 求解余下部分表面积时，先分析截去角上小正方体后面的变化：在正方体角上截去小正方体时，原正方体表面会减少3个小正方形的面积，但截口处会新露出3个面积相等的小正方形，因此余下部分表面积和原正方体表面积完全相等，先求出原正方体的棱长，再根据正方体表面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设截去的每个小正方体的棱长为$x$ cm，
根据题意可列方程：
$1000-8x^3=488$
移项计算得：$8x^3=1000-488=512$
两边同时除以8得：$x^3=64$
开立方得：$x=4$
(2) 先计算原正方体的棱长：
原正方体体积为$1000\ \mathrm{cm}^3$，因此棱长为$\sqrt[3]{1000}=10$ cm。
因为在正方体角上截去小正方体后，减少的面的面积与新增的面的面积相等，所以余下部分的表面积等于原正方体的表面积。
原正方体表面积为：$10×10×6=600(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 截去的每个小正方体的棱长为4 cm；
(2) 余下部分的表面积为$600\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正方体体积计算，正方体表面积分析，立方根运算
【点评】
本题侧重考查正方体体积、表面积的相关应用，第一问属于基础的方程列式计算，第二问的解题关键是理解在正方体顶点处截去小正方体时表面积不变的规律，避免陷入“截去部分就会减少表面积”的思维误区，同时考查学生的空间想象能力和基础公式应用能力。
【难度系数】
0.7
18. 观察表格并回答问题.
(1)$x=$
(2)从表格中探究$a$与$\sqrt{a}$的数位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题:
①已知$\sqrt{10}\approx3.16$,则$\sqrt{1\ 000}\approx$
②已知$\sqrt{m}=8.973$,若$\sqrt{b}=897.3$,则$b=$
(3)试比较$\sqrt{a}$与$a$的大小.
(1)$x=$
0.1
,$y=$10
;(2)从表格中探究$a$与$\sqrt{a}$的数位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题:
①已知$\sqrt{10}\approx3.16$,则$\sqrt{1\ 000}\approx$
31.6
;②已知$\sqrt{m}=8.973$,若$\sqrt{b}=897.3$,则$b=$
10 000m
(用含$m$的代数式表示);(3)试比较$\sqrt{a}$与$a$的大小.
答案
18.(1)$0.1,10$
(2)①$31.6$ ②$10\ 000m$
(3)当$a=0$或1时,$\sqrt{a}=a$;当$0＜a＜1$时,$\sqrt{a}＞a$;当$a＞1$时,$\sqrt{a}＜a$.
(2)①$31.6$ ②$10\ 000m$
(3)当$a=0$或1时,$\sqrt{a}=a$;当$0＜a＜1$时,$\sqrt{a}＞a$;当$a＞1$时,$\sqrt{a}＜a$.
解析
【分析】
(1) 求x、y直接根据算术平方根的定义计算即可，x是0.01的算术平方根，y是100的算术平方根。
(2) 先观察表格中a和$\sqrt{a}$的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左/右移动2位，算术平方根的小数点就同方向移动1位，再用这个规律求解两个小题：①1000比10的小数点右移2位，对应算术平方根右移1位；②897.3比8.973右移2位，对应被开方数右移4位。
(3) 比较$\sqrt{a}$和a的大小需要分情况讨论，分别取特殊值验证0、1、$0＜a＜1$、$a＞1$这几种情况即可得到结论。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
$x=\sqrt{0.01}=0.1$，$y=\sqrt{100}=10$。
(2) 观察表格可得规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
① 已知$\sqrt{10}\approx3.16$，1000是将10的小数点向右移动2位得到的，所以$\sqrt{1000}$的小数点要在3.16的基础上向右移动1位，即$\sqrt{1000}\approx31.6$。
② 已知$\sqrt{m}=8.973$，$\sqrt{b}=897.3$，897.3是将8.973的小数点向右移动2位得到的，所以b的小数点要在m的基础上向右移动4位，即$b=10000m$。
(3) 分情况讨论：
当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，故$\sqrt{a}=a$；当$a=1$时，$\sqrt{1}=1$，故$\sqrt{a}=a$；
当$0＜a＜1$时，取$a=0.01$，$\sqrt{a}=0.1$，$0.1＞0.01$，故$\sqrt{a}＞a$；
当$a＞1$时，取$a=100$，$\sqrt{a}=10$，$10＜100$，故$\sqrt{a}＜a$。
【答案】
(1)$0.1$，$10$
(2)①$31.6$；②$10000m$
(3)当$a=0$或$a=1$时，$\sqrt{a}=a$；当$0＜a＜1$时，$\sqrt{a}＞a$；当$a＞1$时，$\sqrt{a}＜a$
【知识点】
算术平方根的定义，算术平方根的变化规律，实数大小比较
【点评】
本题围绕算术平方根的性质展开，既考查了基础的算术平方根计算，又需要通过观察总结小数点移动的规律，同时渗透了分类讨论的数学思想，能较好地锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求x、y直接根据算术平方根的定义计算即可，x是0.01的算术平方根，y是100的算术平方根。
(2) 先观察表格中a和$\sqrt{a}$的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左/右移动2位，算术平方根的小数点就同方向移动1位，再用这个规律求解两个小题：①1000比10的小数点右移2位，对应算术平方根右移1位；②897.3比8.973右移2位，对应被开方数右移4位。
(3) 比较$\sqrt{a}$和a的大小需要分情况讨论，分别取特殊值验证0、1、$0＜a＜1$、$a＞1$这几种情况即可得到结论。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
$x=\sqrt{0.01}=0.1$，$y=\sqrt{100}=10$。
(2) 观察表格可得规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
① 已知$\sqrt{10}\approx3.16$，1000是将10的小数点向右移动2位得到的，所以$\sqrt{1000}$的小数点要在3.16的基础上向右移动1位，即$\sqrt{1000}\approx31.6$。
② 已知$\sqrt{m}=8.973$，$\sqrt{b}=897.3$，897.3是将8.973的小数点向右移动2位得到的，所以b的小数点要在m的基础上向右移动4位，即$b=10000m$。
(3) 分情况讨论：
当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，故$\sqrt{a}=a$；当$a=1$时，$\sqrt{1}=1$，故$\sqrt{a}=a$；
当$0＜a＜1$时，取$a=0.01$，$\sqrt{a}=0.1$，$0.1＞0.01$，故$\sqrt{a}＞a$；
当$a＞1$时，取$a=100$，$\sqrt{a}=10$，$10＜100$，故$\sqrt{a}＜a$。
【答案】
(1)$0.1$，$10$
(2)①$31.6$；②$10000m$
(3)当$a=0$或$a=1$时，$\sqrt{a}=a$；当$0＜a＜1$时，$\sqrt{a}＞a$；当$a＞1$时，$\sqrt{a}＜a$
【知识点】
算术平方根的定义，算术平方根的变化规律，实数大小比较
【点评】
本题围绕算术平方根的性质展开，既考查了基础的算术平方根计算，又需要通过观察总结小数点移动的规律，同时渗透了分类讨论的数学思想，能较好地锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
