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19. 阅读理解
小李同学探索$\sqrt{137}$的近似值的过程如下：
∵ 面积为 137 的正方形的边长是$\sqrt{137}$，且$11＜\sqrt{137}＜12$，
∴ 设$\sqrt{137}=11+x$，其中$0＜x＜1$，画出示意图，如图所示.
根据示意图，可得图中正方形的面积为
$S_{\mathrm{正方形}}=11^2+2×11x+x^2$.
即$11^2+2×11x+x^2=137$，
当$x^2＜1$时，可忽略$x^2$，
∴ $22x+121\approx137$，得$x\approx0.73$.
∴ $\sqrt{137}\approx11.73$.
问题探究
(1)试求出$\sqrt{5}$和$\sqrt{83}$的整数部分；
(2)仿照上述方法，探究$\sqrt{66}$的近似值(画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.01).
小李同学探索$\sqrt{137}$的近似值的过程如下：
∵ 面积为 137 的正方形的边长是$\sqrt{137}$，且$11＜\sqrt{137}＜12$，
∴ 设$\sqrt{137}=11+x$，其中$0＜x＜1$，画出示意图，如图所示.
根据示意图，可得图中正方形的面积为
$S_{\mathrm{正方形}}=11^2+2×11x+x^2$.
即$11^2+2×11x+x^2=137$，
当$x^2＜1$时，可忽略$x^2$，
∴ $22x+121\approx137$，得$x\approx0.73$.
∴ $\sqrt{137}\approx11.73$.
问题探究
(1)试求出$\sqrt{5}$和$\sqrt{83}$的整数部分；
(2)仿照上述方法，探究$\sqrt{66}$的近似值(画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.01).
答案
19.(1)①$\sqrt{5}$的整数部分为2;②$\sqrt{83}$的整数部分为9.
(2)$\sqrt{66}$的近似值是8.13,图略.
(2)$\sqrt{66}$的近似值是8.13,图略.
解析
【分析】
(1) 求算术平方根的整数部分，只需找到两个相邻的正整数，使较小数的平方小于被开方数、较大数的平方大于被开方数，较小的数就是该算术平方根的整数部分。
(2) 仿照题干的近似值求法，先确定$\sqrt{66}$介于哪两个相邻整数之间，设$\sqrt{66}$等于较小整数加$x$（$0＜x＜1$），结合完全平方公式展开，由于$x$很小可忽略$x^2$，列方程求解$x$即可得到$\sqrt{66}$的近似值。
【解析】
(1) ① 求$\sqrt{5}$的整数部分：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$
∴ $2＜\sqrt{5}＜3$，即$\sqrt{5}$的整数部分为2。
② 求$\sqrt{83}$的整数部分：
∵ $9^2=81$，$10^2=100$，且$81＜83＜100$
∴ $9＜\sqrt{83}＜10$，即$\sqrt{83}$的整数部分为9。
(2) 探究$\sqrt{66}$的近似值：
首先确定$\sqrt{66}$的范围：
∵ $8^2=64$，$9^2=81$，且$64＜66＜81$
∴ $8＜\sqrt{66}＜9$，设$\sqrt{66}=8+x$，其中$0＜x＜1$。
边长为$\sqrt{66}$的正方形面积可表示为：$S=8^2+2×8x+x^2=66$
因为$0＜x＜1$，$x^2$数值极小可忽略，因此可得近似方程：
$64+16x\approx66$
解得：$x\approx\frac{66-64}{16}=0.125\approx0.13$
因此$\sqrt{66}\approx8+0.13=8.13$。
【答案】
(1) ①$\sqrt{5}$的整数部分为2；②$\sqrt{83}$的整数部分为9；
(2) $\sqrt{66}$的近似值是8.13。
【知识点】
无理数的估算，完全平方公式，近似计算
【点评】
本题以阅读理解的形式考查无理数的近似估算，将代数运算和几何面积相结合，既考查了对算术平方根概念的理解，也考查了知识迁移和方法套用的能力，解题核心是先确定无理数的整数范围，再通过忽略极小项简化计算得到近似值。
【难度系数】
0.7
(1) 求算术平方根的整数部分，只需找到两个相邻的正整数，使较小数的平方小于被开方数、较大数的平方大于被开方数，较小的数就是该算术平方根的整数部分。
(2) 仿照题干的近似值求法，先确定$\sqrt{66}$介于哪两个相邻整数之间，设$\sqrt{66}$等于较小整数加$x$（$0＜x＜1$），结合完全平方公式展开，由于$x$很小可忽略$x^2$，列方程求解$x$即可得到$\sqrt{66}$的近似值。
【解析】
(1) ① 求$\sqrt{5}$的整数部分：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$
∴ $2＜\sqrt{5}＜3$，即$\sqrt{5}$的整数部分为2。
② 求$\sqrt{83}$的整数部分：
∵ $9^2=81$，$10^2=100$，且$81＜83＜100$
∴ $9＜\sqrt{83}＜10$，即$\sqrt{83}$的整数部分为9。
(2) 探究$\sqrt{66}$的近似值：
首先确定$\sqrt{66}$的范围：
∵ $8^2=64$，$9^2=81$，且$64＜66＜81$
∴ $8＜\sqrt{66}＜9$，设$\sqrt{66}=8+x$，其中$0＜x＜1$。
边长为$\sqrt{66}$的正方形面积可表示为：$S=8^2+2×8x+x^2=66$
因为$0＜x＜1$，$x^2$数值极小可忽略，因此可得近似方程：
$64+16x\approx66$
解得：$x\approx\frac{66-64}{16}=0.125\approx0.13$
因此$\sqrt{66}\approx8+0.13=8.13$。
【答案】
(1) ①$\sqrt{5}$的整数部分为2；②$\sqrt{83}$的整数部分为9；
(2) $\sqrt{66}$的近似值是8.13。
【知识点】
无理数的估算，完全平方公式，近似计算
【点评】
本题以阅读理解的形式考查无理数的近似估算，将代数运算和几何面积相结合，既考查了对算术平方根概念的理解，也考查了知识迁移和方法套用的能力，解题核心是先确定无理数的整数范围，再通过忽略极小项简化计算得到近似值。
【难度系数】
0.7
