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12.已知$\max\{\sqrt{x},x^2,x\}$表示取三个数中最大的那个数,例如:当$x=9$时,$\max\{\sqrt{x},x^2,x\}=\max\{\sqrt{9},9^2,9\}=81$.当$\max\{\sqrt{x},x^2,x\}=\dfrac{1}{2}$时,$x$的值为________.
答案
12.$\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
首先要明确$\sqrt{x}$有意义，所以x的取值范围是$x≥0$。题目中三个数的最大值为$\frac{1}{2}$，说明这三个数都不超过$\frac{1}{2}$，且至少有一个数等于$\frac{1}{2}$。我们可以分别假设三个数等于$\frac{1}{2}$，求出对应的x值后，再验证另外两个数是否都小于等于$\frac{1}{2}$，即可得到符合条件的x。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使$\sqrt{x}$有意义，则$x≥0$。
第二步：分类讨论验证
① 假设$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$，解得$x=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
此时另外两个数为：$x^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，$x=\frac{1}{4}$。
三个数分别为$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{16}$、$\frac{1}{4}$，最大值为$\frac{1}{2}$，符合要求。
② 假设$x^2=\frac{1}{2}$，因为$x≥0$，所以$x=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$。
此时$x\approx0.707＞\frac{1}{2}$，最大值大于$\frac{1}{2}$，不符合要求，舍去。
③ 假设$x=\frac{1}{2}$，此时$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707＞\frac{1}{2}$，最大值大于$\frac{1}{2}$，不符合要求，舍去。
综上，x的值为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
新定义理解，实数大小比较，乘方与开方运算
【点评】
本题核心是对新定义“max”的理解，解题时需先确定未知数的取值范围，再通过分类讨论逐一验证，注意要排除不符合最大值要求的解，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
首先要明确$\sqrt{x}$有意义，所以x的取值范围是$x≥0$。题目中三个数的最大值为$\frac{1}{2}$，说明这三个数都不超过$\frac{1}{2}$，且至少有一个数等于$\frac{1}{2}$。我们可以分别假设三个数等于$\frac{1}{2}$，求出对应的x值后，再验证另外两个数是否都小于等于$\frac{1}{2}$，即可得到符合条件的x。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使$\sqrt{x}$有意义，则$x≥0$。
第二步：分类讨论验证
① 假设$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$，解得$x=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
此时另外两个数为：$x^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，$x=\frac{1}{4}$。
三个数分别为$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{16}$、$\frac{1}{4}$，最大值为$\frac{1}{2}$，符合要求。
② 假设$x^2=\frac{1}{2}$，因为$x≥0$，所以$x=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$。
此时$x\approx0.707＞\frac{1}{2}$，最大值大于$\frac{1}{2}$，不符合要求，舍去。
③ 假设$x=\frac{1}{2}$，此时$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707＞\frac{1}{2}$，最大值大于$\frac{1}{2}$，不符合要求，舍去。
综上，x的值为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
新定义理解，实数大小比较，乘方与开方运算
【点评】
本题核心是对新定义“max”的理解，解题时需先确定未知数的取值范围，再通过分类讨论逐一验证，注意要排除不符合最大值要求的解，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
三、用心做一做,显显自己的能力!(解答应写出具体步骤)
13. 计算:
(1)$|\sqrt{7}-3|-\sqrt{(-5)^2}+\sqrt{7}$;
(2)$\sqrt{\frac{1}{16}}×(-8)+\sqrt{49}-\sqrt[3]{-64}$;
(3)$\sqrt[3]{-8}+|2-\sqrt{5}|+\sqrt{(-3)^2}-(-\sqrt{5})$.
13. 计算:
(1)$|\sqrt{7}-3|-\sqrt{(-5)^2}+\sqrt{7}$;
(2)$\sqrt{\frac{1}{16}}×(-8)+\sqrt{49}-\sqrt[3]{-64}$;
(3)$\sqrt[3]{-8}+|2-\sqrt{5}|+\sqrt{(-3)^2}-(-\sqrt{5})$.
答案
13.(1)$-2$ (2)$9$ (3)$2\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
这三道题均为实数混合运算题，解题思路可按以下步骤展开：①先化简每一项：根据绝对值的性质（负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是本身）化简绝对值；根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$、$\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m≥0,n＞0$）化简二次根式；根据立方根的性质$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$化简立方根；②再按照先乘除后加减的顺序计算，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先判断大小：$\sqrt{7}＜\sqrt{9}=3$，因此$|\sqrt{7}-3|=3-\sqrt{7}$；$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(3-\sqrt{7}) - 5 + \sqrt{7}\\&=3-\sqrt{7}-5+\sqrt{7}\\&=3-5\\&=-2\end{aligned}$
(2) 分别化简各项：$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$，$\sqrt{49}=7$，$\sqrt[3]{-64}=-4$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×(-8) +7 - (-4)\\&=-2 +7 +4\\&=9\end{aligned}$
(3) 分别化简各项：$\sqrt[3]{-8}=-2$；$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，因此$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$；$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$；$-(-\sqrt{5})=\sqrt{5}$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=-2 + (\sqrt{5}-2) +3 +\sqrt{5}\\&=-2+\sqrt{5}-2+3+\sqrt{5}\\&=(\sqrt{5}+\sqrt{5}) + (-2-2+3)\\&=2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
【答案】
13.(1)$-2$ (2)$9$ (3)$2\sqrt{5}-1$
【知识点】
绝对值的化简；二次根式运算；立方根运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心是准确掌握绝对值、平方根、立方根的化简规则，计算过程中需特别注意符号的处理，熟练掌握相关性质即可快速正确求解。
【难度系数】
0.8
这三道题均为实数混合运算题，解题思路可按以下步骤展开：①先化简每一项：根据绝对值的性质（负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是本身）化简绝对值；根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$、$\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m≥0,n＞0$）化简二次根式；根据立方根的性质$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$化简立方根；②再按照先乘除后加减的顺序计算，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先判断大小：$\sqrt{7}＜\sqrt{9}=3$，因此$|\sqrt{7}-3|=3-\sqrt{7}$；$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(3-\sqrt{7}) - 5 + \sqrt{7}\\&=3-\sqrt{7}-5+\sqrt{7}\\&=3-5\\&=-2\end{aligned}$
(2) 分别化简各项：$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$，$\sqrt{49}=7$，$\sqrt[3]{-64}=-4$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×(-8) +7 - (-4)\\&=-2 +7 +4\\&=9\end{aligned}$
(3) 分别化简各项：$\sqrt[3]{-8}=-2$；$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，因此$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$；$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$；$-(-\sqrt{5})=\sqrt{5}$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=-2 + (\sqrt{5}-2) +3 +\sqrt{5}\\&=-2+\sqrt{5}-2+3+\sqrt{5}\\&=(\sqrt{5}+\sqrt{5}) + (-2-2+3)\\&=2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
【答案】
13.(1)$-2$ (2)$9$ (3)$2\sqrt{5}-1$
【知识点】
绝对值的化简；二次根式运算；立方根运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心是准确掌握绝对值、平方根、立方根的化简规则，计算过程中需特别注意符号的处理，熟练掌握相关性质即可快速正确求解。
【难度系数】
0.8
