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2. 下列结论正确的是 （
A.216 的立方根是$\pm 6$
B.$-\dfrac{1}{9}$没有立方根
C.若$\sqrt{a}=\sqrt[3]{a}$，则$a=1$
D.$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}$
D
）A.216 的立方根是$\pm 6$
B.$-\dfrac{1}{9}$没有立方根
C.若$\sqrt{a}=\sqrt[3]{a}$，则$a=1$
D.$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查平方根与立方根的相关性质，解题思路是逐一分析每个选项，结合平方根、立方根的定义和性质判断对错即可。首先回忆核心性质：①任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；②只有非负数才有平方根，正数的平方根有两个，互为相反数，0的平方根是0。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：正数的立方根只有1个正数，因为$6^3=216$，所以216的立方根是6，不是$\pm6$，A错误。
B选项：任意实数都有立方根，负数也有立方根，所以$-\frac{1}{9}$有立方根，B错误。
C选项：当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，$\sqrt[3]{0}=0$，也满足$\sqrt{a}=\sqrt[3]{a}$，所以$a$还可以取0，不止$a=1$，C错误。
D选项：$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，$-\sqrt[3]{27}=-\sqrt[3]{3^3}=-3$，二者相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的性质；平方根的性质；根式化简
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分平方根和立方根的差异，避免将平方根的正负性特点混淆到立方根的判断中，掌握二者的定义和取值规律就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根与立方根的相关性质，解题思路是逐一分析每个选项，结合平方根、立方根的定义和性质判断对错即可。首先回忆核心性质：①任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；②只有非负数才有平方根，正数的平方根有两个，互为相反数，0的平方根是0。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：正数的立方根只有1个正数，因为$6^3=216$，所以216的立方根是6，不是$\pm6$，A错误。
B选项：任意实数都有立方根，负数也有立方根，所以$-\frac{1}{9}$有立方根，B错误。
C选项：当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，$\sqrt[3]{0}=0$，也满足$\sqrt{a}=\sqrt[3]{a}$，所以$a$还可以取0，不止$a=1$，C错误。
D选项：$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，$-\sqrt[3]{27}=-\sqrt[3]{3^3}=-3$，二者相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的性质；平方根的性质；根式化简
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分平方根和立方根的差异，避免将平方根的正负性特点混淆到立方根的判断中，掌握二者的定义和取值规律就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
3. 下列各式错误的是 （
A.$\sqrt[3]{0.008}=0.2$
B.$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}}=-\dfrac{1}{3}$
C.$\sqrt{121}=\pm\sqrt{11}$
D.$\sqrt[3]{-10^{6}}=-10^{2}$
C
）A.$\sqrt[3]{0.008}=0.2$
B.$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}}=-\dfrac{1}{3}$
C.$\sqrt{121}=\pm\sqrt{11}$
D.$\sqrt[3]{-10^{6}}=-10^{2}$
答案
3.C
解析
【分析】
这道题要求选出计算错误的式子，解题核心是区分算术平方根和立方根的定义与性质。首先明确两个核心概念：①算术平方根是一个非负数的非负平方根，结果一定是非负数；②立方根的符号和被开方数的符号一致，正数的立方根为正，负数的立方根为负。我们只需逐个计算每个选项的式子，判断是否符合定义即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：因为$0.2^3=0.2×0.2×0.2=0.008$，所以$\sqrt[3]{0.008}=0.2$，计算正确。
B选项：因为$(-\frac{1}{3})^3=-\frac{1}{27}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{1}{3}$，计算正确。
C选项：$\sqrt{121}$表示121的算术平方根，算术平方根结果为非负数，因此$\sqrt{121}=11$，和选项中的$\pm\sqrt{11}$不相等，计算错误。
D选项：$-10^6=-(10^2)^3$，因此$\sqrt[3]{-10^6}=\sqrt[3]{-(10^2)^3}=-10^2$，计算正确。
【答案】
C
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.立方根的性质
3.开方运算
【点评】
本题是开方运算的基础题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，只要牢记算术平方根结果唯一且非负、立方根符号和被开方数一致的特点，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
这道题要求选出计算错误的式子，解题核心是区分算术平方根和立方根的定义与性质。首先明确两个核心概念：①算术平方根是一个非负数的非负平方根，结果一定是非负数；②立方根的符号和被开方数的符号一致，正数的立方根为正，负数的立方根为负。我们只需逐个计算每个选项的式子，判断是否符合定义即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：因为$0.2^3=0.2×0.2×0.2=0.008$，所以$\sqrt[3]{0.008}=0.2$，计算正确。
B选项：因为$(-\frac{1}{3})^3=-\frac{1}{27}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{1}{3}$，计算正确。
C选项：$\sqrt{121}$表示121的算术平方根，算术平方根结果为非负数，因此$\sqrt{121}=11$，和选项中的$\pm\sqrt{11}$不相等，计算错误。
D选项：$-10^6=-(10^2)^3$，因此$\sqrt[3]{-10^6}=\sqrt[3]{-(10^2)^3}=-10^2$，计算正确。
【答案】
C
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.立方根的性质
3.开方运算
【点评】
本题是开方运算的基础题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，只要牢记算术平方根结果唯一且非负、立方根符号和被开方数一致的特点，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
4. 估算$\sqrt{10}+1$的值应在 （
A.3和4之间
B.4和5之间
C.5和6之间
D.6和7之间
B
）A.3和4之间
B.4和5之间
C.5和6之间
D.6和7之间
答案
4.B
解析
【分析】
要估算$\sqrt{10}+1$的取值范围，首先需要确定无理数$\sqrt{10}$的取值范围。我们可以先找到与10相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质得到$\sqrt{10}$的范围，再给范围的左右边界同时加1，就能得到$\sqrt{10}+1$的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
解：
∵ $9 ＜ 10 ＜ 16$，
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，
即 $3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
给不等式三边同时加1，得：
$3+1 ＜ \sqrt{10} +1 ＜ 4+1$，
也就是 $4 ＜ \sqrt{10} +1 ＜ 5$，
因此$\sqrt{10}+1$的值在4和5之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是估算类基础题型，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的整数范围，这类题型是实数章节的常考基础题，熟练掌握完全平方数的特征能快速解题。
【难度系数】
0.8
要估算$\sqrt{10}+1$的取值范围，首先需要确定无理数$\sqrt{10}$的取值范围。我们可以先找到与10相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质得到$\sqrt{10}$的范围，再给范围的左右边界同时加1，就能得到$\sqrt{10}+1$的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
解：
∵ $9 ＜ 10 ＜ 16$，
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，
即 $3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
给不等式三边同时加1，得：
$3+1 ＜ \sqrt{10} +1 ＜ 4+1$，
也就是 $4 ＜ \sqrt{10} +1 ＜ 5$，
因此$\sqrt{10}+1$的值在4和5之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是估算类基础题型，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的整数范围，这类题型是实数章节的常考基础题，熟练掌握完全平方数的特征能快速解题。
【难度系数】
0.8
5.若$m,n$满足$(m-1)^2+\sqrt{n-15}=0$,则$\sqrt{m+n}$的平方根是 （
A.$\pm4$
B.$\pm2$
C.$4$
D.$2$
B
）A.$\pm4$
B.$\pm2$
C.$4$
D.$2$
答案
5.B
解析
【分析】
解题前先回忆相关性质：偶次方、算术平方根都属于非负数，若两个非负数的和为0，那么这两个非负数各自都等于0。解题时第一步先利用该性质求出m、n的值，第二步计算$\sqrt{m+n}$的结果，第三步再求这个结果的平方根，注意平方根有正负两个，不要和算术平方根混淆，也不要看错问题直接求$m+n$的平方根。
【解析】
解：
∵ 平方数和算术平方根均为非负数，即$(m-1)^2≥0$，$\sqrt{n-15}≥0$，且二者的和为0
∴ 可列方程组：$\begin{cases}m-1=0 \\n-15=0\end{cases}$
解得：$m=1$，$n=15$
代入计算得：$m+n=1+15=16$
∴ $\sqrt{m+n}=\sqrt{16}=4$
根据平方根的定义，4的平方根为$\pm\sqrt{4}=\pm2$，即$\sqrt{m+n}$的平方根是$\pm2$
故选B
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；算术平方根运算；平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，易错点有两处：一是忽略非负数性质的应用无法求出参数值，二是混淆平方根和算术平方根的概念，或者看错所求问题导致错解，解题时注意仔细读题，明确相关概念的差异即可正确作答。
【难度系数】
0.7
解题前先回忆相关性质：偶次方、算术平方根都属于非负数，若两个非负数的和为0，那么这两个非负数各自都等于0。解题时第一步先利用该性质求出m、n的值，第二步计算$\sqrt{m+n}$的结果，第三步再求这个结果的平方根，注意平方根有正负两个，不要和算术平方根混淆，也不要看错问题直接求$m+n$的平方根。
【解析】
解：
∵ 平方数和算术平方根均为非负数，即$(m-1)^2≥0$，$\sqrt{n-15}≥0$，且二者的和为0
∴ 可列方程组：$\begin{cases}m-1=0 \\n-15=0\end{cases}$
解得：$m=1$，$n=15$
代入计算得：$m+n=1+15=16$
∴ $\sqrt{m+n}=\sqrt{16}=4$
根据平方根的定义，4的平方根为$\pm\sqrt{4}=\pm2$，即$\sqrt{m+n}$的平方根是$\pm2$
故选B
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；算术平方根运算；平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，易错点有两处：一是忽略非负数性质的应用无法求出参数值，二是混淆平方根和算术平方根的概念，或者看错所求问题导致错解，解题时注意仔细读题，明确相关概念的差异即可正确作答。
【难度系数】
0.7
6.已知一块面积为$400\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片，甲、乙两名同学想沿着边裁出一块长方形纸片，设计方案如下：
甲的方案:能裁出长、宽比为$3:2$，面积为$300\ \mathrm{cm}^2$的长方形；
乙的方案:能裁出长、宽比为$5:3$，面积为$150\ \mathrm{cm}^2$的长方形。
对于这两个方案，下列判断正确的是 （
A.两人的方案都对
B.两人的方案都不对
C.甲的方案对，乙的方案不对
D.乙的方案对，甲的方案不对
甲的方案:能裁出长、宽比为$3:2$，面积为$300\ \mathrm{cm}^2$的长方形；
乙的方案:能裁出长、宽比为$5:3$，面积为$150\ \mathrm{cm}^2$的长方形。
对于这两个方案，下列判断正确的是 （
D
）A.两人的方案都对
B.两人的方案都不对
C.甲的方案对，乙的方案不对
D.乙的方案对，甲的方案不对
答案
6.D
解析
【分析】
要判断甲乙的方案是否可行，首先要先求出原正方形纸片的边长，因为是沿着边裁长方形，所以长方形的长和宽都不能超过正方形的边长。解题步骤为：①先根据正方形面积求出其边长；②分别按照甲乙给出的长宽比设未知数，根据长方形面积列方程求出长；③将所求的长和正方形边长比较，若长≤正方形边长则方案可行，反之不可行。
【解析】
首先计算原正方形的边长：
已知正方形面积为$400\ \mathrm{cm}^2$，则正方形边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$，即裁出的长方形的长、宽均不能超过$20\ \mathrm{cm}$。
先验证甲的方案：
设甲方案中长方形的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），根据面积为$300\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$3x· 2x=300$
整理得$6x^2=300$，即$x^2=50$，解得$x=\sqrt{50}$（边长为正，舍去负根）。
则长方形的长为$3\sqrt{50}\ \mathrm{cm}$，比较$3\sqrt{50}$和$20$的大小：
$(3\sqrt{50})^2=9×50=450$，$20^2=400$，$\because 450＞400$，$\therefore 3\sqrt{50}＞20$，超过了正方形的边长，甲的方案不可行。
再验证乙的方案：
设乙方案中长方形的长为$5y\ \mathrm{cm}$，宽为$3y\ \mathrm{cm}$（$y＞0$），根据面积为$150\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$5y· 3y=150$
整理得$15y^2=150$，即$y^2=10$，解得$y=\sqrt{10}$（舍去负根）。
则长方形的长为$5\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，比较$5\sqrt{10}$和$20$的大小：
$(5\sqrt{10})^2=25×10=250$，$20^2=400$，$\because 250＜400$，$\therefore 5\sqrt{10}＜20$，宽$3\sqrt{10}＜5\sqrt{10}＜20$，符合要求，乙的方案可行。
综上，乙的方案对，甲的方案不对。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，比例的应用，算术平方根的应用
【点评】
本题是几何实际应用问题，解题的核心是明确裁剪得到的长方形边长不能超过原正方形的边长，易错点是仅通过面积大小判断方案是否可行，忽略边长的限制。解题时可通过平方法比较无理数和有理数的大小，避免近似计算的误差。
【难度系数】
0.7
要判断甲乙的方案是否可行，首先要先求出原正方形纸片的边长，因为是沿着边裁长方形，所以长方形的长和宽都不能超过正方形的边长。解题步骤为：①先根据正方形面积求出其边长；②分别按照甲乙给出的长宽比设未知数，根据长方形面积列方程求出长；③将所求的长和正方形边长比较，若长≤正方形边长则方案可行，反之不可行。
【解析】
首先计算原正方形的边长：
已知正方形面积为$400\ \mathrm{cm}^2$，则正方形边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$，即裁出的长方形的长、宽均不能超过$20\ \mathrm{cm}$。
先验证甲的方案：
设甲方案中长方形的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），根据面积为$300\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$3x· 2x=300$
整理得$6x^2=300$，即$x^2=50$，解得$x=\sqrt{50}$（边长为正，舍去负根）。
则长方形的长为$3\sqrt{50}\ \mathrm{cm}$，比较$3\sqrt{50}$和$20$的大小：
$(3\sqrt{50})^2=9×50=450$，$20^2=400$，$\because 450＞400$，$\therefore 3\sqrt{50}＞20$，超过了正方形的边长，甲的方案不可行。
再验证乙的方案：
设乙方案中长方形的长为$5y\ \mathrm{cm}$，宽为$3y\ \mathrm{cm}$（$y＞0$），根据面积为$150\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$5y· 3y=150$
整理得$15y^2=150$，即$y^2=10$，解得$y=\sqrt{10}$（舍去负根）。
则长方形的长为$5\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，比较$5\sqrt{10}$和$20$的大小：
$(5\sqrt{10})^2=25×10=250$，$20^2=400$，$\because 250＜400$，$\therefore 5\sqrt{10}＜20$，宽$3\sqrt{10}＜5\sqrt{10}＜20$，符合要求，乙的方案可行。
综上，乙的方案对，甲的方案不对。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，比例的应用，算术平方根的应用
【点评】
本题是几何实际应用问题，解题的核心是明确裁剪得到的长方形边长不能超过原正方形的边长，易错点是仅通过面积大小判断方案是否可行，忽略边长的限制。解题时可通过平方法比较无理数和有理数的大小，避免近似计算的误差。
【难度系数】
0.7
二、细心填一填,试试自己的身手！(请将答案填在对应题号的空位上)
7. $-8$ 的立方根是________.
7. $-8$ 的立方根是________.
答案
7.$-2$
解析
【分析】
要解决求-8的立方根的问题，首先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。首先明确负数的立方根是负数，我们只需要找到哪个负数的立方等于-8即可，先联想正数中2的立方是8，那么对应的负数乘方运算可得-2的立方就是-8，即可得出结果。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，因此-8的立方根是-2。
【答案】
$-2$
【知识点】
立方根的定义
【点评】
本题属于基础的概念类计算题，重点考查对立方根定义的理解，只要熟练掌握有理数乘方运算和立方根的对应关系，就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决求-8的立方根的问题，首先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。首先明确负数的立方根是负数，我们只需要找到哪个负数的立方等于-8即可，先联想正数中2的立方是8，那么对应的负数乘方运算可得-2的立方就是-8，即可得出结果。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，因此-8的立方根是-2。
【答案】
$-2$
【知识点】
立方根的定义
【点评】
本题属于基础的概念类计算题，重点考查对立方根定义的理解，只要熟练掌握有理数乘方运算和立方根的对应关系，就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
8. 已知$\sqrt{2x - 1}=1$，则$x=$______.
答案
8.1
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：若一个非负数的算术平方根为b，则这个非负数等于b²。本题中已知算术平方根的结果为1，因此可以通过等式两边同时平方去掉根号，将含根号的方程转化为熟悉的一元一次方程，再按一元一次方程的求解步骤计算，最后验证所得的x是否满足原方程即可。
【解析】
已知$\sqrt{2x - 1}=1$，
根据算术平方根的性质，等式两边同时平方，得：
$2x - 1 = 1^2$
即 $2x - 1 = 1$
移项，得：$2x = 1 + 1$
合并同类项，得：$2x = 2$
系数化为1，得：$x = 1$
检验：将$x=1$代入原方程左边，$\sqrt{2×1 -1}=\sqrt{1}=1$，和右边相等，所以$x=1$是原方程的解。
【答案】
1
【知识点】
算术平方根的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用平方运算去掉根号，将陌生方程转化为已学的整式方程求解，解题时注意最后验证结果是否符合原方程，避免出现增根。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆算术平方根的性质：若一个非负数的算术平方根为b，则这个非负数等于b²。本题中已知算术平方根的结果为1，因此可以通过等式两边同时平方去掉根号，将含根号的方程转化为熟悉的一元一次方程，再按一元一次方程的求解步骤计算，最后验证所得的x是否满足原方程即可。
【解析】
已知$\sqrt{2x - 1}=1$，
根据算术平方根的性质，等式两边同时平方，得：
$2x - 1 = 1^2$
即 $2x - 1 = 1$
移项，得：$2x = 1 + 1$
合并同类项，得：$2x = 2$
系数化为1，得：$x = 1$
检验：将$x=1$代入原方程左边，$\sqrt{2×1 -1}=\sqrt{1}=1$，和右边相等，所以$x=1$是原方程的解。
【答案】
1
【知识点】
算术平方根的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用平方运算去掉根号，将陌生方程转化为已学的整式方程求解，解题时注意最后验证结果是否符合原方程，避免出现增根。
【难度系数】
0.9
9. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\dfrac{22}{7}$。比较大小：$\dfrac{22}{7}$ ______ $\sqrt{10}$（填“$＞$”或“$＜$”）。
答案
9.$＜$
解析
【分析】
要比较两个正数的大小，可利用“对于正数a、b，若a²＞b²，则a＞b；若a²＜b²，则a＜b”的性质，通过计算两个数的平方，将含根号的数转化为有理数，再比较平方的大小即可得到原数的大小关系。
【解析】
解：
∵ $\dfrac{22}{7}$ 和 $\sqrt{10}$ 均为正数，
分别计算两个数的平方：
$(\dfrac{22}{7})^2 = \dfrac{22^2}{7^2} = \dfrac{484}{49}$，
$(\sqrt{10})^2 = 10 = \dfrac{490}{49}$，
∵ $\dfrac{484}{49} ＜ \dfrac{490}{49}$，即 $(\dfrac{22}{7})^2 ＜ (\sqrt{10})^2$，
∴ 正数中平方更小的原数更小，即 $\dfrac{22}{7} ＜ \sqrt{10}$。
【答案】
$＜$
【知识点】
实数大小比较；乘方比较法；无理数估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心是利用平方将无理数转化为有理数比较，避免直接估算的误差，是比较含根号的正数大小的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
要比较两个正数的大小，可利用“对于正数a、b，若a²＞b²，则a＞b；若a²＜b²，则a＜b”的性质，通过计算两个数的平方，将含根号的数转化为有理数，再比较平方的大小即可得到原数的大小关系。
【解析】
解：
∵ $\dfrac{22}{7}$ 和 $\sqrt{10}$ 均为正数，
分别计算两个数的平方：
$(\dfrac{22}{7})^2 = \dfrac{22^2}{7^2} = \dfrac{484}{49}$，
$(\sqrt{10})^2 = 10 = \dfrac{490}{49}$，
∵ $\dfrac{484}{49} ＜ \dfrac{490}{49}$，即 $(\dfrac{22}{7})^2 ＜ (\sqrt{10})^2$，
∴ 正数中平方更小的原数更小，即 $\dfrac{22}{7} ＜ \sqrt{10}$。
【答案】
$＜$
【知识点】
实数大小比较；乘方比较法；无理数估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心是利用平方将无理数转化为有理数比较，避免直接估算的误差，是比较含根号的正数大小的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
10.如果$a,b$分别是2026的两个平方根，那么$a+b-\dfrac{a}{b}=$
1
.答案
10.1
解析
【分析】
解题时先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。由此可得到a与b的关系：a+b=0，且a=-b（b≠0），再将该关系代入所求代数式，分别计算每一部分的数值，最后合并得到结果即可，不需要计算a、b的具体数值，用整体代入的思路更简便。
【解析】
解：
∵2026是正数，正数的两个平方根互为相反数，a、b分别是2026的两个平方根
∴$a + b = 0$，且$a = -b$（$b≠0$）
∴$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-b}{b}=-1$
将$a+b=0$、$\dfrac{a}{b}=-1$代入代数式得：
$a+b-\dfrac{a}{b}=0 - (-1)=0+1=1$
【答案】
1
【知识点】
平方根的性质、代数式求值
【点评】
本题考查平方根相关的代数计算，解题核心是掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，利用整体代入的思想避免计算平方根的具体数值，简化运算过程。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。由此可得到a与b的关系：a+b=0，且a=-b（b≠0），再将该关系代入所求代数式，分别计算每一部分的数值，最后合并得到结果即可，不需要计算a、b的具体数值，用整体代入的思路更简便。
【解析】
解：
∵2026是正数，正数的两个平方根互为相反数，a、b分别是2026的两个平方根
∴$a + b = 0$，且$a = -b$（$b≠0$）
∴$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-b}{b}=-1$
将$a+b=0$、$\dfrac{a}{b}=-1$代入代数式得：
$a+b-\dfrac{a}{b}=0 - (-1)=0+1=1$
【答案】
1
【知识点】
平方根的性质、代数式求值
【点评】
本题考查平方根相关的代数计算，解题核心是掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，利用整体代入的思想避免计算平方根的具体数值，简化运算过程。
【难度系数】
0.8
11.如果$5+\sqrt{7}$与$5-\sqrt{7}$的小数部分分别为$a$和$b$，那么$a+b=\_\_\_\_\_\_$.
答案
11.1
解析
【分析】
要计算两个数的小数部分之和，首先需明确：任意一个数的小数部分 = 这个数本身 - 它的整数部分。解题时第一步先估算无理数$\sqrt{7}$的取值范围：因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$。接下来分别推导$5+\sqrt{7}$和$5-\sqrt{7}$的整数部分，再求出对应的小数部分$a$、$b$，最后代入$a+b$计算即可。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
$\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$
① 求$a$的值：
给不等式$2＜\sqrt{7}＜3$两边同时加5，得：$7＜5+\sqrt{7}＜8$
$\therefore 5+\sqrt{7}$的整数部分是7
则小数部分$a = (5+\sqrt{7}) - 7 = \sqrt{7} - 2$
② 求$b$的值：
给不等式$2＜\sqrt{7}＜3$两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$-3＜-\sqrt{7}＜-2$
两边同时加5，得：$2＜5-\sqrt{7}＜3$
$\therefore 5-\sqrt{7}$的整数部分是2
则小数部分$b = (5-\sqrt{7}) - 2 = 3 - \sqrt{7}$
③ 计算$a+b$：
$a+b = (\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = 1$
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算；实数的加减运算
【点评】
本题重点考查无理数整数部分的估算方法，解题关键是牢记小数部分等于原数减去整数部分的计算规则，题型基础，掌握估算技巧就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算两个数的小数部分之和，首先需明确：任意一个数的小数部分 = 这个数本身 - 它的整数部分。解题时第一步先估算无理数$\sqrt{7}$的取值范围：因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$。接下来分别推导$5+\sqrt{7}$和$5-\sqrt{7}$的整数部分，再求出对应的小数部分$a$、$b$，最后代入$a+b$计算即可。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
$\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$
① 求$a$的值：
给不等式$2＜\sqrt{7}＜3$两边同时加5，得：$7＜5+\sqrt{7}＜8$
$\therefore 5+\sqrt{7}$的整数部分是7
则小数部分$a = (5+\sqrt{7}) - 7 = \sqrt{7} - 2$
② 求$b$的值：
给不等式$2＜\sqrt{7}＜3$两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$-3＜-\sqrt{7}＜-2$
两边同时加5，得：$2＜5-\sqrt{7}＜3$
$\therefore 5-\sqrt{7}$的整数部分是2
则小数部分$b = (5-\sqrt{7}) - 2 = 3 - \sqrt{7}$
③ 计算$a+b$：
$a+b = (\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = 1$
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算；实数的加减运算
【点评】
本题重点考查无理数整数部分的估算方法，解题关键是牢记小数部分等于原数减去整数部分的计算规则，题型基础，掌握估算技巧就能快速求解。
【难度系数】
0.7
