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8. 如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是(
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
C
).A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
答案
8. C
解析
【分析】
解题时首先抓住扭动框架过程中“四根木条长度不变”这一核心条件，逐一分析各选项：首先由对边始终相等可判断四边形由矩形变为平行四边形；周长为四边长度之和，边长不变则周长不变；面积需对比矩形和平行四边形的面积计算方式，底不变的情况下，平行四边形的高小于矩形的宽，因此面积会减小；对角线BD的长度可通过顶点D的移动方向判断，D向左移动会让BD长度变短，最终找出错误的选项。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 选项A：扭动框架时，四根木条长度不发生改变，因此四边形始终满足对边相等，原来的矩形变为平行四边形，该判断正确，不符合题意。
2. 选项B：向左扭动时，顶点D向左移动，靠近点B一侧，因此对角线BD的长度减小，该判断正确，不符合题意。
3. 选项C：矩形的面积=长×宽，即底BC×高AB；扭动后得到的平行四边形以BC为底时，高的长度小于AB的长度，平行四边形面积=底×高，因此面积变小，该判断错误，符合题意。
4. 选项D：四边形的周长为四条边的长度之和，四根木条长度均不变，因此周长不变，该判断正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的性质；周长与面积计算
【点评】
本题是几何动态变化类的基础题，解题关键是明确形变过程中不变的量（边长）和变化的量（高、内角、对角线长度），容易出错的点是误以为面积保持不变，解题时结合面积公式对比分析即可避免错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住扭动框架过程中“四根木条长度不变”这一核心条件，逐一分析各选项：首先由对边始终相等可判断四边形由矩形变为平行四边形；周长为四边长度之和，边长不变则周长不变；面积需对比矩形和平行四边形的面积计算方式，底不变的情况下，平行四边形的高小于矩形的宽，因此面积会减小；对角线BD的长度可通过顶点D的移动方向判断，D向左移动会让BD长度变短，最终找出错误的选项。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 选项A：扭动框架时，四根木条长度不发生改变，因此四边形始终满足对边相等，原来的矩形变为平行四边形，该判断正确，不符合题意。
2. 选项B：向左扭动时，顶点D向左移动，靠近点B一侧，因此对角线BD的长度减小，该判断正确，不符合题意。
3. 选项C：矩形的面积=长×宽，即底BC×高AB；扭动后得到的平行四边形以BC为底时，高的长度小于AB的长度，平行四边形面积=底×高，因此面积变小，该判断错误，符合题意。
4. 选项D：四边形的周长为四条边的长度之和，四根木条长度均不变，因此周长不变，该判断正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的性质；周长与面积计算
【点评】
本题是几何动态变化类的基础题，解题关键是明确形变过程中不变的量（边长）和变化的量（高、内角、对角线长度），容易出错的点是误以为面积保持不变，解题时结合面积公式对比分析即可避免错误。
【难度系数】
0.7
9. 如图,矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则AC的长是(
A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
B
).A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
9. B
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，因此可得到对角线交点分成的四条小线段长度相等，即OA=OB；已知∠AOB=60°，结合OA=OB可判定△AOB是等边三角形，进而求出OA的长度，最后根据AC=2OA即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴OA=OB，
又
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴$AC=2OA=2×2=4$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是利用矩形对角线的性质得到等线段，再结合特殊角判定等边三角形，进而求解线段长度，只要熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从矩形的性质入手，矩形的对角线相等且互相平分，因此可得到对角线交点分成的四条小线段长度相等，即OA=OB；已知∠AOB=60°，结合OA=OB可判定△AOB是等边三角形，进而求出OA的长度，最后根据AC=2OA即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴OA=OB，
又
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴$AC=2OA=2×2=4$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是利用矩形对角线的性质得到等线段，再结合特殊角判定等边三角形，进而求解线段长度，只要熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
10. 如图,有3个矩形A,B,C,其中C为正方形,它们无重叠且无缝拼成大正方形.已知$a+b+c=12$,则拼成的大正方形的面积为(
A.16
B.24
C.36
D.144
C
).A.16
B.24
C.36
D.144
答案
10. C
解析
【分析】
解题时先从图形特征入手找等量关系：首先大正方形的横向边长为a，纵向边长为b+c，因此可得a = b+c；再结合已知条件a+b+c=12，通过等量代换即可求出大正方形的边长a，最后计算正方形面积即可。另外C是正方形的条件也可验证该等量关系：C的边长为a-b=c，即a = b+c，和前述结论一致。
【解析】
1. 分析图形边长关系：大正方形的横向边长为$a$，纵向边长为$b+c$，因此$a = b + c$。
2. 代入已知条件计算边长：已知$a + b + c = 12$，将$b+c=a$代入得$a + a = 12$，即$2a=12$，解得$a=6$。
3. 计算大正方形面积：正方形面积公式为边长的平方，因此面积为$a^2 = 6^2 = 36$。
【答案】
C
【知识点】
等量代换，正方形面积计算，图形规律分析
【点评】
本题主要考查对图形边长关系的观察和整体代换思想的应用，不需要分别求解b、c的值，找准大正方形边长的等量关系即可快速解题，降低了计算量。
【难度系数】
0.7
解题时先从图形特征入手找等量关系：首先大正方形的横向边长为a，纵向边长为b+c，因此可得a = b+c；再结合已知条件a+b+c=12，通过等量代换即可求出大正方形的边长a，最后计算正方形面积即可。另外C是正方形的条件也可验证该等量关系：C的边长为a-b=c，即a = b+c，和前述结论一致。
【解析】
1. 分析图形边长关系：大正方形的横向边长为$a$，纵向边长为$b+c$，因此$a = b + c$。
2. 代入已知条件计算边长：已知$a + b + c = 12$，将$b+c=a$代入得$a + a = 12$，即$2a=12$，解得$a=6$。
3. 计算大正方形面积：正方形面积公式为边长的平方，因此面积为$a^2 = 6^2 = 36$。
【答案】
C
【知识点】
等量代换，正方形面积计算，图形规律分析
【点评】
本题主要考查对图形边长关系的观察和整体代换思想的应用，不需要分别求解b、c的值，找准大正方形边长的等量关系即可快速解题，降低了计算量。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$EF$ 经过点 $O$，且与 $AD$，$BC$ 分别交于点 $E$，$F$。求证：$OE=OF$。
11. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$EF$ 经过点 $O$，且与 $AD$，$BC$ 分别交于点 $E$，$F$。求证：$OE=OF$。
答案
11.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，AD//BC.
∴ ∠EAO=∠FCO. 又
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF.
∴ OE=OF
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，AD//BC.
∴ ∠EAO=∠FCO. 又
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF.
∴ OE=OF
解析
【分析】
要证明OE=OF，可通过证明两条线段所在的△AOE与△COF全等来推导。首先利用平行四边形的性质得到对角线互相平分，即AO=CO，且AD与BC平行，可推出一组内错角相等，再结合对顶角相等的隐含条件，即可满足全等三角形的判定要求，最终由全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，AD//BC，
∴ ∠EAO=∠FCO，
又
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF，
∴ OE=OF。
【答案】
OE=OF
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是利用平行四边形的性质推导全等三角形的判定条件，解题时要注意挖掘图形中隐含的对顶角、平行线内错角相等等条件，掌握基础性质和判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要证明OE=OF，可通过证明两条线段所在的△AOE与△COF全等来推导。首先利用平行四边形的性质得到对角线互相平分，即AO=CO，且AD与BC平行，可推出一组内错角相等，再结合对顶角相等的隐含条件，即可满足全等三角形的判定要求，最终由全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，AD//BC，
∴ ∠EAO=∠FCO，
又
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF，
∴ OE=OF。
【答案】
OE=OF
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是利用平行四边形的性质推导全等三角形的判定条件，解题时要注意挖掘图形中隐含的对顶角、平行线内错角相等等条件，掌握基础性质和判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
