12. 如图,在$□ ABCD$中,若$AF$，$BE$分别平分$∠ DAB$，$∠ CBA$，分别交$DC$于点$F$，$E$.
求证:$DF=EC$.

12. 在□ABCD中，CD//AB，∠DFA=∠FAB.
∵ AF平分∠DAB，
∴ ∠DAF=∠FAB.
∴ ∠DAF=∠DFA.
∴ AD=DF.同理，可得EC=BC.
∵ 在□ABCD中，AD=BC，
∴ DF=EC

【分析】
要证明$DF=EC$，可将两条待证相等的线段分别与平行四边形的相等对边建立关联。首先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的条件，通过“平行线+角平分线”的常见模型推导出等腰三角形，得到$DF$与$AD$相等、$EC$与$BC$相等，再结合平行四边形对边相等的性质，即可推出结论。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $CD// AB$，$AD=BC$，
∴ $∠ DFA=∠ FAB$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AF$平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAF=∠ FAB$，
∴ $∠ DAF=∠ DFA$，
∴ $AD=DF$（等角对等边）。
同理可得$EC=BC$。
又
∵ $AD=BC$，
∴ $DF=EC$。
【答案】
$DF=EC$
【知识点】
平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于平行四边形的基础证明题，解题关键是熟练掌握“平行线与角平分线组合可推出等腰三角形”的常用模型，将待证的线段相等关系转化为平行四边形的对边相等关系，是平行四边形章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

13. 如图,在$△ ABC$中,D是边BC上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且$AF=BD$,连接BF.
(1) 求证:D是BC的中点;
(2) 如果$AB=AC$,试判断四边形AFBD的形状,并说明理由.

13. (1)提示：证△AEF ≌ △DEC，得AF=DC (2) 四边形AFBD是矩形.理由：
∵ AB=AC，D是BC的中点，
∴ AD⊥BC.
∴ ∠ADB=90°.又
∵ AF=BD，AF//BC，
∴ 四边形AFBD是平行四边形.
∴ 四边形AFBD是矩形

【分析】
(1) 要证明D是BC的中点，即需证BD=DC。已知AF=BD，因此只需证明AF=DC即可。观察图形，AF、DC分别在△AEF和△DEC中，结合E是AD中点得AE=DE，AF//BC可得内错角相等，再加对顶角相等，即可通过AAS证明两三角形全等，得到AF=DC，进而得证。
(2) 先由AF平行且等于BD，可判定四边形AFBD是平行四边形；再结合AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，即平行四边形有一个内角为直角，根据矩形的判定定理即可得出四边形的形状。
【解析】
(1) 证明：
∵ AF//BC，
∴ ∠AFE = ∠DCE。
∵ E是AD的中点，
∴ AE = DE。
在△AEF和△DEC中，
$\{\begin{array}{l}∠AFE = ∠DCE \\∠AEF = ∠DEC \\AE = DE\end{array} $
∴ △AEF ≌ △DEC（AAS），
∴ AF = DC。
又
∵ AF = BD，
∴ BD = DC，即D是BC的中点。
(2) 四边形AFBD是矩形，理由如下：
∵ AF//BD，AF = BD，
∴ 四边形AFBD是平行四边形。
∵ AB = AC，D是BC的中点，
∴ AD⊥BC，即∠ADB = 90°。
∴ 有一个角为直角的平行四边形AFBD是矩形。
【答案】
(1) D是BC的中点，证明成立；
(2) 四边形AFBD是矩形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是结合已知条件找到全等三角形，再利用特殊三角形和特殊四边形的判定、性质逐步推导，能够帮助学生巩固几何推理的逻辑思路。
【难度系数】
0.7