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14. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC, BD 交于点 O,过点 A 作 $AE ⊥ BC$ 于点 E,延长 BC 到点 F,使 $CF=BE$,连接 DF.
(1) 求证:四边形 AEFD 是矩形;
(2) 连接 OE,若 $AB=5$, $CE=2$,求 OE 的长.
(1) 求证:四边形 AEFD 是矩形;
(2) 连接 OE,若 $AB=5$, $CE=2$,求 OE 的长.
答案
14. (1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD//BC 且 AD=BC.
∵ BE=CF，
∴ BC=EF.
∴ AD=EF.
∵ AD//EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形.
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEF=90°.
∴ 四边形AEFD是矩形 (2)
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴ AD=BC=AB=5.
∵ CE=2，
∴ BE=3.在Rt△ABE中，AE=4.在Rt△AEC中，AC=2√5.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OA=OC.
∴ OE = 1/2 AC = √5
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD//BC 且 AD=BC.
∵ BE=CF，
∴ BC=EF.
∴ AD=EF.
∵ AD//EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形.
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEF=90°.
∴ 四边形AEFD是矩形 (2)
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴ AD=BC=AB=5.
∵ CE=2，
∴ BE=3.在Rt△ABE中，AE=4.在Rt△AEC中，AC=2√5.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OA=OC.
∴ OE = 1/2 AC = √5
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AEFD是矩形，可采用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定思路。首先利用菱形对边平行且相等的性质，得到AD//BC、AD=BC；结合已知CF=BE，可推出BC=EF，进而得到AD与EF平行且相等，先证出四边形AEFD是平行四边形，再结合AE⊥BC得到∠AEF=90°，即可证得该平行四边形是矩形。
(2) 求OE的长度时，先根据菱形四条边相等的性质，得到BC=AB=5，结合CE=2算出BE的长度；在Rt△ABE中用勾股定理求出AE的长，再在Rt△AEC中用勾股定理求出AC的长；最后根据菱形对角线互相平分可知O是AC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD//BC且AD=BC。
∵ BE=CF，
∴ BE+EC=EC+CF，即BC=EF，
∴ AD=EF。
又
∵ AD//EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEF=90°，
∴ 平行四边形AEFD是矩形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴ BC=AB=5。
∵ CE=2，
∴ BE=BC-CE=5-2=3。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OA=OC，即O为AC中点。
∵ △AEC是直角三角形，OE是斜边AC的中线，
∴ $OE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 四边形AEFD是矩形，证明成立；
(2) $\sqrt{5}$
【知识点】
菱形的性质、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于四边形的常规综合题，融合了特殊平行四边形的判定、性质以及直角三角形的相关计算，考察了逻辑推理能力和计算能力，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质定理，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形AEFD是矩形，可采用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定思路。首先利用菱形对边平行且相等的性质，得到AD//BC、AD=BC；结合已知CF=BE，可推出BC=EF，进而得到AD与EF平行且相等，先证出四边形AEFD是平行四边形，再结合AE⊥BC得到∠AEF=90°，即可证得该平行四边形是矩形。
(2) 求OE的长度时，先根据菱形四条边相等的性质，得到BC=AB=5，结合CE=2算出BE的长度；在Rt△ABE中用勾股定理求出AE的长，再在Rt△AEC中用勾股定理求出AC的长；最后根据菱形对角线互相平分可知O是AC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD//BC且AD=BC。
∵ BE=CF，
∴ BE+EC=EC+CF，即BC=EF，
∴ AD=EF。
又
∵ AD//EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEF=90°，
∴ 平行四边形AEFD是矩形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴ BC=AB=5。
∵ CE=2，
∴ BE=BC-CE=5-2=3。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OA=OC，即O为AC中点。
∵ △AEC是直角三角形，OE是斜边AC的中线，
∴ $OE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 四边形AEFD是矩形，证明成立；
(2) $\sqrt{5}$
【知识点】
菱形的性质、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于四边形的常规综合题，融合了特殊平行四边形的判定、性质以及直角三角形的相关计算，考察了逻辑推理能力和计算能力，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质定理，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
15. 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1) 求证:$AF=DC$;
(2) $△ ABC$满足什么条件时,四边形ADCF是矩形? 并说明理由.
(1) 求证:$AF=DC$;
(2) $△ ABC$满足什么条件时,四边形ADCF是矩形? 并说明理由.
答案
15. (1)
∵ AF//BC，
∴ ∠AFE=∠DBE.
∵ E为AD的中点，
∴ AE=DE.在△AFE 和△DBE 中，$\begin{cases} ∠AFE=∠DBE, \\ ∠AEF=∠DEB, \\ AE=DE, \end{cases}$
∴ △AFE ≌ △DBE.
∴ AF = BD. 又
∵ BD = CD，
∴ AF=CD (2) △ABC满足AC=AB时，四边形ADCF是矩形.理由：由(1)得AF=CD 且 AF//CD.
∴ 四边形ADCF 为平行四边形.当AC=AB时，
∵ AD 为边 BC 上的中线，
∴ ∠ADC=90°.
∴ 四边形ADCF 是矩形
∵ AF//BC，
∴ ∠AFE=∠DBE.
∵ E为AD的中点，
∴ AE=DE.在△AFE 和△DBE 中，$\begin{cases} ∠AFE=∠DBE, \\ ∠AEF=∠DEB, \\ AE=DE, \end{cases}$
∴ △AFE ≌ △DBE.
∴ AF = BD. 又
∵ BD = CD，
∴ AF=CD (2) △ABC满足AC=AB时，四边形ADCF是矩形.理由：由(1)得AF=CD 且 AF//CD.
∴ 四边形ADCF 为平行四边形.当AC=AB时，
∵ AD 为边 BC 上的中线，
∴ ∠ADC=90°.
∴ 四边形ADCF 是矩形
解析
【分析】
（1）要证明$AF=DC$，已知AD是BC边上的中线，可得$BD=DC$，因此只需先证明$AF=BD$即可。由$AF// BC$可得到一组内错角相等，E是AD中点可得$AE=DE$，再结合对顶角相等，即可通过AAS证明$△ AFE≌△ DBE$，得到$AF=BD$，进而推出$AF=DC$。
（2）由（1）的结论可得$AF=DC$且$AF// DC$，因此四边形ADCF首先是平行四边形；根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此需要$∠ ADC=90°$。结合AD是BC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，当$AB=AC$时，AD同时是BC边上的高，满足$∠ ADC=90°$，此时平行四边形ADCF即为矩形。
【解析】
(1) 证明：
$\because AF// BC$，
$\therefore ∠ AFE=∠ DBE$。
$\because E$为$AD$的中点，
$\therefore AE=DE$。
在$△ AFE$和$△ DBE$中，
$\begin{cases} ∠ AFE=∠ DBE, \\ ∠ AEF=∠ DEB, \\ AE=DE, \end{cases}$
$\therefore △ AFE≌△ DBE\mathrm{（AAS）}$，
$\therefore AF = BD$。
又$\because AD$是$BC$边上的中线，
$\therefore BD = CD$，
$\therefore AF=CD$。
(2) 当$△ ABC$满足$AB=AC$时，四边形$ADCF$是矩形，理由如下：
由(1)得$AF=CD$，且$AF// CD$，
$\therefore$ 四边形$ADCF$为平行四边形。
当$AB=AC$时，
$\because AD$为边$BC$上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，
$\therefore$ 平行四边形$ADCF$是矩形。
【答案】
(1) 证明过程如上，可证得$AF=DC$；
(2) 当$△ ABC$满足$AB=AC$时，四边形$ADCF$是矩形，理由如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了三角形全等、特殊四边形判定、等腰三角形性质等考点，解题的核心是先通过全等得到线段的等量关系，再结合特殊图形的判定定理逐步推导，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$AF=DC$，已知AD是BC边上的中线，可得$BD=DC$，因此只需先证明$AF=BD$即可。由$AF// BC$可得到一组内错角相等，E是AD中点可得$AE=DE$，再结合对顶角相等，即可通过AAS证明$△ AFE≌△ DBE$，得到$AF=BD$，进而推出$AF=DC$。
（2）由（1）的结论可得$AF=DC$且$AF// DC$，因此四边形ADCF首先是平行四边形；根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此需要$∠ ADC=90°$。结合AD是BC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，当$AB=AC$时，AD同时是BC边上的高，满足$∠ ADC=90°$，此时平行四边形ADCF即为矩形。
【解析】
(1) 证明：
$\because AF// BC$，
$\therefore ∠ AFE=∠ DBE$。
$\because E$为$AD$的中点，
$\therefore AE=DE$。
在$△ AFE$和$△ DBE$中，
$\begin{cases} ∠ AFE=∠ DBE, \\ ∠ AEF=∠ DEB, \\ AE=DE, \end{cases}$
$\therefore △ AFE≌△ DBE\mathrm{（AAS）}$，
$\therefore AF = BD$。
又$\because AD$是$BC$边上的中线，
$\therefore BD = CD$，
$\therefore AF=CD$。
(2) 当$△ ABC$满足$AB=AC$时，四边形$ADCF$是矩形，理由如下：
由(1)得$AF=CD$，且$AF// CD$，
$\therefore$ 四边形$ADCF$为平行四边形。
当$AB=AC$时，
$\because AD$为边$BC$上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，
$\therefore$ 平行四边形$ADCF$是矩形。
【答案】
(1) 证明过程如上，可证得$AF=DC$；
(2) 当$△ ABC$满足$AB=AC$时，四边形$ADCF$是矩形，理由如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了三角形全等、特殊四边形判定、等腰三角形性质等考点，解题的核心是先通过全等得到线段的等量关系，再结合特殊图形的判定定理逐步推导，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
