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1. 如图，O是AC的中点，将周长为4 cm的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO的长度得到菱形OB'C'D'，则重叠部分的四边形OECF的周长是
2
cm.答案
1. 2
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①已知原菱形周长，可先求出原菱形的边长；②根据平移的性质，平移前后对应边互相平行，可推出重叠部分四边形的两组对边分别平行，判定它是平行四边形；③结合菱形的角的性质，可推出平行四边形的邻边相等，即重叠部分是菱形；④再利用O是AC中点、边平行的条件，得到重叠部分菱形的边长是原菱形边长的一半，最后计算周长即可。
【解析】
解：
∵菱形ABCD的周长为4cm，
∴菱形ABCD的边长为 $4÷4=1\ \mathrm{cm}$，即 $AB=BC=CD=DA=1\ \mathrm{cm}$，且$∠ BAC=∠ BCA$。
由平移的性质可得：$AB// OE$，$BC// B'C'$，$AD// OF$，$CD// C'D'$，
∴四边形OECF的两组对边分别平行，即四边形OECF是平行四边形。
∵$AB// OE$，
∴$∠ EOC=∠ BAC$，
又
∵$∠ BAC=∠ BCA$，
∴$∠ EOC=∠ BCA=∠ ECO$，
∴$OE=EC$，
∴平行四边形OECF是菱形。
∵O是AC的中点，$OE// AB$，
∴OE是$△ ABC$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{cm}$。
∴菱形OECF的周长为 $4× OE=4×0.5=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
菱形的性质，平移的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何平移类基础题，解题的核心是结合菱形和平移的性质判断出重叠部分的形状为菱形，再利用中位线的性质求出边长，整体解题思路清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①已知原菱形周长，可先求出原菱形的边长；②根据平移的性质，平移前后对应边互相平行，可推出重叠部分四边形的两组对边分别平行，判定它是平行四边形；③结合菱形的角的性质，可推出平行四边形的邻边相等，即重叠部分是菱形；④再利用O是AC中点、边平行的条件，得到重叠部分菱形的边长是原菱形边长的一半，最后计算周长即可。
【解析】
解：
∵菱形ABCD的周长为4cm，
∴菱形ABCD的边长为 $4÷4=1\ \mathrm{cm}$，即 $AB=BC=CD=DA=1\ \mathrm{cm}$，且$∠ BAC=∠ BCA$。
由平移的性质可得：$AB// OE$，$BC// B'C'$，$AD// OF$，$CD// C'D'$，
∴四边形OECF的两组对边分别平行，即四边形OECF是平行四边形。
∵$AB// OE$，
∴$∠ EOC=∠ BAC$，
又
∵$∠ BAC=∠ BCA$，
∴$∠ EOC=∠ BCA=∠ ECO$，
∴$OE=EC$，
∴平行四边形OECF是菱形。
∵O是AC的中点，$OE// AB$，
∴OE是$△ ABC$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{cm}$。
∴菱形OECF的周长为 $4× OE=4×0.5=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
菱形的性质，平移的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何平移类基础题，解题的核心是结合菱形和平移的性质判断出重叠部分的形状为菱形，再利用中位线的性质求出边长，整体解题思路清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 已知菱形的一条对角线长为$8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，周长是24 cm，则这个菱形的面积是
$16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
.答案
2. $16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时先利用菱形四条边相等的性质，由周长算出菱形的边长；再根据菱形对角线互相垂直平分的特点，可知两条对角线的一半与菱形边长构成直角三角形，结合勾股定理求出另一条对角线的长度；最后用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算面积即可。
【解析】
1. 求菱形的边长：
菱形的四条边长度相等，已知周长为24 cm，因此边长为 $ 24 ÷ 4 = 6\ \mathrm{cm} $。
2. 结合勾股定理求另一条对角线长度：
已知一条对角线长为 $ 8\sqrt{2}\ \mathrm{cm} $，菱形对角线互相垂直平分，因此这条对角线的一半为 $ \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm} $。
设另一条对角线的一半长为$ x $，由勾股定理可得：
$ x^2 + (4\sqrt{2})^2 = 6^2 $
计算得：$ x^2 + 32 = 36 $，即 $ x^2 = 4 $，因为长度为正，所以$ x=2\ \mathrm{cm} $。
因此另一条对角线的长度为 $ 2 × 2 = 4\ \mathrm{cm} $。
3. 计算菱形面积：
菱形面积等于两条对角线乘积的一半，因此：
$ S = \frac{1}{2} × 8\sqrt{2} × 4 = 16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的基础题，解题核心是利用菱形对角线互相垂直平分的特征构造直角三角形，结合勾股定理求解未知对角线，再代入面积公式计算，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用菱形四条边相等的性质，由周长算出菱形的边长；再根据菱形对角线互相垂直平分的特点，可知两条对角线的一半与菱形边长构成直角三角形，结合勾股定理求出另一条对角线的长度；最后用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算面积即可。
【解析】
1. 求菱形的边长：
菱形的四条边长度相等，已知周长为24 cm，因此边长为 $ 24 ÷ 4 = 6\ \mathrm{cm} $。
2. 结合勾股定理求另一条对角线长度：
已知一条对角线长为 $ 8\sqrt{2}\ \mathrm{cm} $，菱形对角线互相垂直平分，因此这条对角线的一半为 $ \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{cm} $。
设另一条对角线的一半长为$ x $，由勾股定理可得：
$ x^2 + (4\sqrt{2})^2 = 6^2 $
计算得：$ x^2 + 32 = 36 $，即 $ x^2 = 4 $，因为长度为正，所以$ x=2\ \mathrm{cm} $。
因此另一条对角线的长度为 $ 2 × 2 = 4\ \mathrm{cm} $。
3. 计算菱形面积：
菱形面积等于两条对角线乘积的一半，因此：
$ S = \frac{1}{2} × 8\sqrt{2} × 4 = 16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的基础题，解题核心是利用菱形对角线互相垂直平分的特征构造直角三角形，结合勾股定理求解未知对角线，再代入面积公式计算，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图，直线$ l $过正方形$ ABCD $的顶点$ B $，点$ A $，$ C $到直线$ l $的距离分别是$ a $和$ b $，则正方形$ ABCD $的面积是________.
答案
3. $a^2 + b^2$
解析
【分析】
要求正方形的面积，需要先求出正方形边长的平方。首先结合正方形的性质可得AB=BC、∠ABC=90°，再根据AE、CF均垂直于直线l，可得两个直角，利用“同角的余角相等”推出一组对应角相等，即可证明△AEB和△BFC全等，得到BE的长度等于b，最后在Rt△AEB中利用勾股定理计算AB²，就是正方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE + ∠CBF = 90°，
∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠EAB + ∠ABE = 90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠BFC \\∠EAB=∠CBF \\AB=BC\end{array} $
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=b，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
$AB^2 = AE^2 + BE^2 = a^2 + b^2$，
∵正方形ABCD的面积$S=AB^2$，
∴正方形的面积为$a^2 + b^2$。
【答案】
$a^2 + b^2$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过角度互余关系推导角相等，进而证明三角形全等得到边的等量关系，再结合勾股定理直接得到边长的平方，无需计算边长即可求出面积，简化了运算步骤。
【难度系数】
0.7
要求正方形的面积，需要先求出正方形边长的平方。首先结合正方形的性质可得AB=BC、∠ABC=90°，再根据AE、CF均垂直于直线l，可得两个直角，利用“同角的余角相等”推出一组对应角相等，即可证明△AEB和△BFC全等，得到BE的长度等于b，最后在Rt△AEB中利用勾股定理计算AB²，就是正方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE + ∠CBF = 90°，
∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠EAB + ∠ABE = 90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠BFC \\∠EAB=∠CBF \\AB=BC\end{array} $
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=b，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
$AB^2 = AE^2 + BE^2 = a^2 + b^2$，
∵正方形ABCD的面积$S=AB^2$，
∴正方形的面积为$a^2 + b^2$。
【答案】
$a^2 + b^2$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过角度互余关系推导角相等，进而证明三角形全等得到边的等量关系，再结合勾股定理直接得到边长的平方，无需计算边长即可求出面积，简化了运算步骤。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在正方形ABCD中,G是BC上的一点,连接AG,作AG的垂线EF交AB于点E,交CD于点F.若$AG=10\ \mathrm{cm}$,则$EF=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
4. 10
解析
【分析】
要解决本题，我们可以结合正方形的性质，通过构造全等三角形证明EF与AG相等。首先回忆正方形的特征：四条边相等，四个角均为直角，对边平行。已知EF垂直AG，我们可以过E作CD的垂线，构造出和△ABG全等的三角形，利用同角的余角相等得到对应角相等，结合边相等的条件证明全等，即可得到EF的长度。
【解析】
过点E作$EH⊥ CD$，垂足为H。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=EH$，$∠ B=∠ EHF=90°$。
设AG与EF的交点为O，
∵$EF⊥ AG$，
∴$∠ AOE=90°$，
∴$∠ BAG + ∠ AEO = 90°$，
又
∵$EH⊥ AB$，
∴$∠ HEF + ∠ AEO = 90°$，
∴$∠ BAG=∠ HEF$。
在$△ ABG$和$△ EHF$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ EHF \\AB=EH \\∠ BAG=∠ HEF\end{cases}$
∴$△ ABG≌△ EHF$（ASA），
∴$EF=AG=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、余角的性质
【点评】
本题是正方形中线段长度求解的典型题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将所求线段和已知线段建立等量关系，熟练掌握特殊四边形性质和全等三角形的证明方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以结合正方形的性质，通过构造全等三角形证明EF与AG相等。首先回忆正方形的特征：四条边相等，四个角均为直角，对边平行。已知EF垂直AG，我们可以过E作CD的垂线，构造出和△ABG全等的三角形，利用同角的余角相等得到对应角相等，结合边相等的条件证明全等，即可得到EF的长度。
【解析】
过点E作$EH⊥ CD$，垂足为H。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=EH$，$∠ B=∠ EHF=90°$。
设AG与EF的交点为O，
∵$EF⊥ AG$，
∴$∠ AOE=90°$，
∴$∠ BAG + ∠ AEO = 90°$，
又
∵$EH⊥ AB$，
∴$∠ HEF + ∠ AEO = 90°$，
∴$∠ BAG=∠ HEF$。
在$△ ABG$和$△ EHF$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ EHF \\AB=EH \\∠ BAG=∠ HEF\end{cases}$
∴$△ ABG≌△ EHF$（ASA），
∴$EF=AG=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、余角的性质
【点评】
本题是正方形中线段长度求解的典型题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将所求线段和已知线段建立等量关系，熟练掌握特殊四边形性质和全等三角形的证明方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
5. 如图,四边形ABCD是正方形,AB=4,P是对角线BD上一动点,连接AP,点P在运动过程中,始终有$BE ⊥ AP$,点E为垂足,连接DE,则DE的最小值是
$2\sqrt{5}-2$
.答案
5. $2\sqrt{5}-2$
解析
【分析】
要解决DE的最小值问题，首先需确定动点E的运动轨迹：由BE⊥AP可知∠AEB恒为90°，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得点E在以AB为直径的圆上运动。再根据“圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，我们先找到AB中点作为圆心，计算圆心到D的距离，减去半径即可得到DE的最小值。
【解析】
取AB的中点O，连接OE、OD：
1. 因为BE⊥AP，所以∠AEB=90°，因此点E在以AB为直径的⊙O上，⊙O的半径$OE=OA=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
2. 已知四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AD=AB=4。在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AD^2+AO^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
3. 根据两点之间线段最短，当O、E、D三点共线时，DE的长度最小，此时$DE=OD-OE=2\sqrt{5}-2$。
【答案】
$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；最短路径求解
【点评】
本题属于几何动点最值问题，解题的核心是通过定角判断出动点的轨迹为圆，再结合点到圆的最短距离规律和勾股定理计算结果，能有效训练学生的轨迹思维和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
要解决DE的最小值问题，首先需确定动点E的运动轨迹：由BE⊥AP可知∠AEB恒为90°，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得点E在以AB为直径的圆上运动。再根据“圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，我们先找到AB中点作为圆心，计算圆心到D的距离，减去半径即可得到DE的最小值。
【解析】
取AB的中点O，连接OE、OD：
1. 因为BE⊥AP，所以∠AEB=90°，因此点E在以AB为直径的⊙O上，⊙O的半径$OE=OA=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
2. 已知四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AD=AB=4。在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AD^2+AO^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
3. 根据两点之间线段最短，当O、E、D三点共线时，DE的长度最小，此时$DE=OD-OE=2\sqrt{5}-2$。
【答案】
$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；最短路径求解
【点评】
本题属于几何动点最值问题，解题的核心是通过定角判断出动点的轨迹为圆，再结合点到圆的最短距离规律和勾股定理计算结果，能有效训练学生的轨迹思维和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
6. 有下列说法：① 对角线相等的四边形是矩形；② 对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③ 有一个角是直角的四边形是矩形；④ 有三个角都相等的四边形是矩形；⑤ 有三个角是直角的四边形是矩形；⑥ 四个角都相等的四边形是矩形；⑦ 对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；⑧ 一组对角互补的平行四边形是矩形.其中正确的有(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)个.A.3
B.4
C.5
D.6
答案
6. B
解析
【分析】
本题考查矩形的判定相关知识，解题时先回忆矩形的判定定理、平行四边形性质以及四边形内角和定理，再逐一分析8个说法的正误，最后统计正确说法的数量即可。判断时要注意区分判定的对象是普通四边形还是平行四边形，避免混淆判定条件。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 说法①：对角线相等的四边形不一定是矩形，反例：等腰梯形对角线相等，但不属于矩形，故①错误；
2. 说法②：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故②正确；
3. 说法③：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，反例：直角梯形有一个角是直角，但不属于矩形，故③错误；
4. 说法④：有三个角都相等的四边形不一定是矩形，例如三个角都为80°时，第四个角为120°，显然不是矩形，故④错误；
5. 说法⑤：“有三个角是直角的四边形是矩形”是矩形的判定定理，故⑤正确；
6. 说法⑥：四边形内角和为360°，若四个角都相等，则每个角的度数为$360°÷4=90°$，四个角都是直角的四边形是矩形，故⑥正确；
7. 说法⑦：对角线相等且有一个角是直角的四边形，若不是平行四边形则不是矩形，可构造出符合条件但不是矩形的反例，故⑦错误；
8. 说法⑧：平行四边形的对角相等，若一组对角互补，则这两个角的度数都为90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故⑧正确。
综上，正确的说法有②⑤⑥⑧，共4个。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；四边形内角和
【点评】
本题重点考查对矩形判定条件的理解，解题关键是明确矩形的两类判定思路：一是对普通四边形，需满足有三个角是直角；二是对平行四边形，需满足有一个直角或对角线相等，做题时要注意区分前提条件，不要混淆概念。
【难度系数】
0.7
本题考查矩形的判定相关知识，解题时先回忆矩形的判定定理、平行四边形性质以及四边形内角和定理，再逐一分析8个说法的正误，最后统计正确说法的数量即可。判断时要注意区分判定的对象是普通四边形还是平行四边形，避免混淆判定条件。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 说法①：对角线相等的四边形不一定是矩形，反例：等腰梯形对角线相等，但不属于矩形，故①错误；
2. 说法②：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故②正确；
3. 说法③：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，反例：直角梯形有一个角是直角，但不属于矩形，故③错误；
4. 说法④：有三个角都相等的四边形不一定是矩形，例如三个角都为80°时，第四个角为120°，显然不是矩形，故④错误；
5. 说法⑤：“有三个角是直角的四边形是矩形”是矩形的判定定理，故⑤正确；
6. 说法⑥：四边形内角和为360°，若四个角都相等，则每个角的度数为$360°÷4=90°$，四个角都是直角的四边形是矩形，故⑥正确；
7. 说法⑦：对角线相等且有一个角是直角的四边形，若不是平行四边形则不是矩形，可构造出符合条件但不是矩形的反例，故⑦错误；
8. 说法⑧：平行四边形的对角相等，若一组对角互补，则这两个角的度数都为90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故⑧正确。
综上，正确的说法有②⑤⑥⑧，共4个。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质；四边形内角和
【点评】
本题重点考查对矩形判定条件的理解，解题关键是明确矩形的两类判定思路：一是对普通四边形，需满足有三个角是直角；二是对平行四边形，需满足有一个直角或对角线相等，做题时要注意区分前提条件，不要混淆概念。
【难度系数】
0.7
