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7. 如图,将相邻两边长分别为 20 cm,8 cm 的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下,再打开,得到的菱形 ABCD 的面积为(
A.$10\ \mathrm{cm}^2$
B.$20\ \mathrm{cm}^2$
C.$40\ \mathrm{cm}^2$
D.$80\ \mathrm{cm}^2$
B
).A.$10\ \mathrm{cm}^2$
B.$20\ \mathrm{cm}^2$
C.$40\ \mathrm{cm}^2$
D.$80\ \mathrm{cm}^2$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先要明确矩形对折两次后得到的小矩形的边长，再判断剪开后得到的菱形的两条对角线长度与小矩形边长的对应关系，最后利用菱形的面积公式（对角线乘积的一半）计算即可。思考步骤：1.先计算对折两次后小矩形的长和宽；2.推导菱形两条对角线的长度；3.代入面积公式计算结果。
【解析】
解：已知原矩形相邻两边长分别为20cm、8cm，对折两次后，所得小矩形的长为$20÷2=10\mathrm{cm}$，宽为$8÷2=4\mathrm{cm}$。
沿所得矩形两邻边中点的连线剪下再打开，得到的菱形ABCD的两条对角线长度分别等于上述小矩形的长和宽，即两条对角线长为10cm和4cm。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}×对角线\_\_\_\_\_\_1×对角线\_\_\_\_\_\_2$，代入数值计算：
$S=\frac{1}{2}×10×4=20\mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
菱形面积计算，图形折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查几何图形的面积计算，解题的核心是理清折叠过程中边长的变化规律，以及剪出的菱形对角线与原矩形边长的对应关系，是结合动手操作的基础几何题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确矩形对折两次后得到的小矩形的边长，再判断剪开后得到的菱形的两条对角线长度与小矩形边长的对应关系，最后利用菱形的面积公式（对角线乘积的一半）计算即可。思考步骤：1.先计算对折两次后小矩形的长和宽；2.推导菱形两条对角线的长度；3.代入面积公式计算结果。
【解析】
解：已知原矩形相邻两边长分别为20cm、8cm，对折两次后，所得小矩形的长为$20÷2=10\mathrm{cm}$，宽为$8÷2=4\mathrm{cm}$。
沿所得矩形两邻边中点的连线剪下再打开，得到的菱形ABCD的两条对角线长度分别等于上述小矩形的长和宽，即两条对角线长为10cm和4cm。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}×对角线\_\_\_\_\_\_1×对角线\_\_\_\_\_\_2$，代入数值计算：
$S=\frac{1}{2}×10×4=20\mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
菱形面积计算，图形折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查几何图形的面积计算，解题的核心是理清折叠过程中边长的变化规律，以及剪出的菱形对角线与原矩形边长的对应关系，是结合动手操作的基础几何题。
【难度系数】
0.7
8. 如图,矩形ABCD的周长为68,它被分成7个全等的矩形,则矩形ABCD的面积为(
A.98
B.196
C.280
D.284
C
).A.98
B.196
C.280
D.284
答案
8. C
解析
【分析】
要解决本题，我们可以通过设未知数、找等量关系列方程组的方法求解。首先观察图形特征：①大矩形的上下边长相等，下方2个小矩形的长之和等于上方5个小矩形的宽之和，可得到第一个等量关系；②已知大矩形周长为68，大矩形的长为2个小矩形的长（或5个小矩形的宽），大矩形的宽为小矩形的长+宽，结合矩形周长公式可得到第二个等量关系。联立两个方程求解出小矩形的长和宽后，即可计算大矩形的面积。
【解析】
设每个全等小矩形的长为$x$，宽为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x = 5y \quad \mathrm{（大矩形上下边长相等）} \\2(2x + x + y) = 68 \quad \mathrm{（大矩形周长公式）}\end{cases}$
化简第二个方程得：$3x + y = 34$，变形为$y = 34 - 3x$。
将$y = 34 - 3x$代入$2x = 5y$，得：
$2x = 5(34 - 3x)$
$2x = 170 - 15x$
$17x = 170$
解得$x = 10$，代入$y = 34 - 3x$得$y = 4$。
因此大矩形的长为$2x = 20$，宽为$x + y = 10 + 4 = 14$，
大矩形的面积为$20 × 14 = 280$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用，矩形周长和面积计算
【点评】
本题的核心是挖掘图形中隐含的边长等量关系，结合周长公式建立方程模型求解，既考查了图形观察能力，也考查了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以通过设未知数、找等量关系列方程组的方法求解。首先观察图形特征：①大矩形的上下边长相等，下方2个小矩形的长之和等于上方5个小矩形的宽之和，可得到第一个等量关系；②已知大矩形周长为68，大矩形的长为2个小矩形的长（或5个小矩形的宽），大矩形的宽为小矩形的长+宽，结合矩形周长公式可得到第二个等量关系。联立两个方程求解出小矩形的长和宽后，即可计算大矩形的面积。
【解析】
设每个全等小矩形的长为$x$，宽为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x = 5y \quad \mathrm{（大矩形上下边长相等）} \\2(2x + x + y) = 68 \quad \mathrm{（大矩形周长公式）}\end{cases}$
化简第二个方程得：$3x + y = 34$，变形为$y = 34 - 3x$。
将$y = 34 - 3x$代入$2x = 5y$，得：
$2x = 5(34 - 3x)$
$2x = 170 - 15x$
$17x = 170$
解得$x = 10$，代入$y = 34 - 3x$得$y = 4$。
因此大矩形的长为$2x = 20$，宽为$x + y = 10 + 4 = 14$，
大矩形的面积为$20 × 14 = 280$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用，矩形周长和面积计算
【点评】
本题的核心是挖掘图形中隐含的边长等量关系，结合周长公式建立方程模型求解，既考查了图形观察能力，也考查了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在正方形$ABCD$中,$E$为线段$CD$上一点,且$CE=\dfrac{1}{4}CD$,$AC$,$BE$交于点$F$,$M$,$N$分别为$AC$,$BE$的中点.若$AB=4$,则$MN$的长为(
A.$1$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$2$
D.$\sqrt{2}$
B
).A.$1$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$2$
D.$\sqrt{2}$
答案
9. B
解析
【分析】
本题可通过建立平面直角坐标系的方法求解，首先根据正方形的边长确定各顶点的坐标，再结合中点坐标公式分别求出M、N两点的坐标，最后计算两点间的距离即可得到MN的长度，这种方法将几何问题转化为代数计算，降低了解题难度。
【解析】
解：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵正方形ABCD边长AB=4，
∴各点坐标为：A(0,4)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,4)。
∵CE=1/4 CD，CD=4，
∴CE=1，点E在CD上，故E(4,1)。
∵M是AC的中点，根据中点坐标公式：两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，
∴M的坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{4+0}{2})=(2,2)$。
∵N是BE的中点，
∴N的坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+1}{2})=(2,\frac{1}{2})$。
∵M、N横坐标相同，MN的长度为纵坐标差的绝对值：
$MN=|2-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，中点坐标公式，两点间距离计算
【点评】
本题是典型的坐标系法求解几何线段长度的题型，将几何图形放置到坐标系中计算，避免了复杂的几何推理，是解决此类问题的常用技巧，需要熟练掌握坐标确定和相关公式的应用。
【难度系数】
0.7
本题可通过建立平面直角坐标系的方法求解，首先根据正方形的边长确定各顶点的坐标，再结合中点坐标公式分别求出M、N两点的坐标，最后计算两点间的距离即可得到MN的长度，这种方法将几何问题转化为代数计算，降低了解题难度。
【解析】
解：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵正方形ABCD边长AB=4，
∴各点坐标为：A(0,4)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,4)。
∵CE=1/4 CD，CD=4，
∴CE=1，点E在CD上，故E(4,1)。
∵M是AC的中点，根据中点坐标公式：两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，
∴M的坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{4+0}{2})=(2,2)$。
∵N是BE的中点，
∴N的坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+1}{2})=(2,\frac{1}{2})$。
∵M、N横坐标相同，MN的长度为纵坐标差的绝对值：
$MN=|2-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，中点坐标公式，两点间距离计算
【点评】
本题是典型的坐标系法求解几何线段长度的题型，将几何图形放置到坐标系中计算，避免了复杂的几何推理，是解决此类问题的常用技巧，需要熟练掌握坐标确定和相关公式的应用。
【难度系数】
0.7
10. 在四边形ABCD中，AD // BC，AB=CD，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的形状是（
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
A
）.A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
答案
10. A
解析
【分析】
解决本题的核心是利用三角形中位线定理分析中点四边形的形状，解题思路如下：1. 遇到四边形各边中点的问题，优先连接原四边形的对角线，将四边形拆分为多个三角形；2. 利用三角形中位线平行且等于第三边一半的性质，推导中点四边形对边的位置和数量关系；3. 结合平行四边形的判定定理得出结论，注意本题中AD//BC、AB=CD的四边形存在等腰梯形和平行四边形两种情况，无法确定对角线相等或垂直，因此不能判定为更特殊的四边形。
【解析】
连接四边形ABCD的对角线AC、BD。
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$EF// AC$，且$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理，G、H分别是CD、AD的中点，
∴HG是△ADC的中位线，可得：$HG// AC$，且$HG=\frac{1}{2}AC$。
∴$EF// HG$，且$EF=HG$。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形EFGH是平行四边形。
补充：本题中四边形ABCD满足$AD// BC$、$AB=CD$，可能是等腰梯形（对角线相等），也可能是普通平行四边形（对角线不一定相等），无法确定对角线相等或垂直，因此不能判定为菱形、矩形或正方形。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，中点四边形
【点评】
本题重点考查中点四边形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，做题时要注意题干给出的四边形条件存在两种情况，不要默认是等腰梯形而误选菱形。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是利用三角形中位线定理分析中点四边形的形状，解题思路如下：1. 遇到四边形各边中点的问题，优先连接原四边形的对角线，将四边形拆分为多个三角形；2. 利用三角形中位线平行且等于第三边一半的性质，推导中点四边形对边的位置和数量关系；3. 结合平行四边形的判定定理得出结论，注意本题中AD//BC、AB=CD的四边形存在等腰梯形和平行四边形两种情况，无法确定对角线相等或垂直，因此不能判定为更特殊的四边形。
【解析】
连接四边形ABCD的对角线AC、BD。
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$EF// AC$，且$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理，G、H分别是CD、AD的中点，
∴HG是△ADC的中位线，可得：$HG// AC$，且$HG=\frac{1}{2}AC$。
∴$EF// HG$，且$EF=HG$。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形EFGH是平行四边形。
补充：本题中四边形ABCD满足$AD// BC$、$AB=CD$，可能是等腰梯形（对角线相等），也可能是普通平行四边形（对角线不一定相等），无法确定对角线相等或垂直，因此不能判定为菱形、矩形或正方形。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，中点四边形
【点评】
本题重点考查中点四边形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，做题时要注意题干给出的四边形条件存在两种情况，不要默认是等腰梯形而误选菱形。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，点 $E$，$F$ 在 $AC$ 上，点 $G$，$H$ 在 $BD$ 上，$AF = CE$，$BH = DG$。求证：$GF // HE$。
11. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，点 $E$，$F$ 在 $AC$ 上，点 $G$，$H$ 在 $BD$ 上，$AF = CE$，$BH = DG$。求证：$GF // HE$。
答案
11. $\because$ 在$□ ABCD$中, $OA=OC,AF=CE, \therefore AF-OA=CE-OC. \therefore OF=OE.$同理,可得$OG=OH. \therefore$ 四边形$EGFH$是平行四边形. $\therefore GF // HE$
解析
【分析】
要证明$GF // HE$，可先证明四边形$EGFH$是平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质即可得证。结合平行四边形的判定定理，我们只需要证明该四边形的对角线互相平分即可。首先利用平行四边形$ABCD$对角线互相平分的性质得到$OA=OC$、$OB=OD$，再结合已知的$AF=CE$、$BH=DG$，通过线段的差运算即可推出$OE=OF$、$OG=OH$，即可判定四边形$EGFH$为平行四边形，进而得到结论。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形的对角线互相平分）。
$\because AF=CE$，
$\therefore AF - OA = CE - OC$，即$OF=OE$。
同理，$\because BH=DG$，
$\therefore BH - OB = DG - OD$，即$OG=OH$。
$\therefore$ 四边形$EGFH$的对角线互相平分，即四边形$EGFH$是平行四边形。
$\therefore GF // HE$（平行四边形的对边平行）。
【答案】
$\because$ 在$□ ABCD$中, $OA=OC,AF=CE, \therefore AF-OA=CE-OC. \therefore OF=OE.$同理,可得$OG=OH. \therefore$ 四边形$EGFH$是平行四边形. $\therefore GF // HE$
【知识点】
平行四边形性质；平行四边形判定；线段和差计算
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的综合应用基础题，解题核心是通过已知条件推导待证四边形对角线互相平分，进而利用平行四边形性质得到平行关系，逻辑链条清晰，要求熟练掌握平行四边形的相关定理。
【难度系数】
0.8
要证明$GF // HE$，可先证明四边形$EGFH$是平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质即可得证。结合平行四边形的判定定理，我们只需要证明该四边形的对角线互相平分即可。首先利用平行四边形$ABCD$对角线互相平分的性质得到$OA=OC$、$OB=OD$，再结合已知的$AF=CE$、$BH=DG$，通过线段的差运算即可推出$OE=OF$、$OG=OH$，即可判定四边形$EGFH$为平行四边形，进而得到结论。
【解析】
证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形的对角线互相平分）。
$\because AF=CE$，
$\therefore AF - OA = CE - OC$，即$OF=OE$。
同理，$\because BH=DG$，
$\therefore BH - OB = DG - OD$，即$OG=OH$。
$\therefore$ 四边形$EGFH$的对角线互相平分，即四边形$EGFH$是平行四边形。
$\therefore GF // HE$（平行四边形的对边平行）。
【答案】
$\because$ 在$□ ABCD$中, $OA=OC,AF=CE, \therefore AF-OA=CE-OC. \therefore OF=OE.$同理,可得$OG=OH. \therefore$ 四边形$EGFH$是平行四边形. $\therefore GF // HE$
【知识点】
平行四边形性质；平行四边形判定；线段和差计算
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的综合应用基础题，解题核心是通过已知条件推导待证四边形对角线互相平分，进而利用平行四边形性质得到平行关系，逻辑链条清晰，要求熟练掌握平行四边形的相关定理。
【难度系数】
0.8
