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12. 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,点A沿着EF对折与点C重合,EF与AC交于点O,连接AF,CE.
(1) 请判断四边形AFCE的形状,并说明理由;
(2) 如果$AB=6$,$AD=8$,求EF的长.
(1) 请判断四边形AFCE的形状,并说明理由;
(2) 如果$AB=6$,$AD=8$,求EF的长.
答案
12. (1) 四边形$AFCE$是菱形.理由：如图,由题意,得$△ AEF$和$△ CEF$重合.$\therefore AE=CE,AF=CF,∠ 1=∠ 2. \because$ 四边形$ABCD$为矩形, $\therefore AD // BC. \therefore ∠ 1=∠ 3. \therefore ∠ 2=∠ 3. \therefore CE=CF. \therefore AE=CE=AF=CF. \therefore$ 四边形$AFCE$是菱形 (2) $\dfrac{15}{2}$
解析
【分析】
(1) 第一问先根据折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，再结合矩形对边平行的性质推导角相等，进而得到四条边相等，即可判定四边形的形状；
(2) 第二问先利用勾股定理求出矩形对角线AC的长度，再设菱形边长为未知数，在Rt△CDE中用勾股定理求出边长，最后结合菱形面积的两种计算方法（底乘高、对角线乘积的一半）建立等式，求解即可得到EF的长度。
【解析】
(1) 四边形$AFCE$是菱形，理由如下：
由折叠的性质可知，折叠后点A与点C重合，因此$△ AEF$和$△ CEF$关于EF对称，可得$AE=CE$，$AF=CF$，$∠ 1=∠ 2$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ 1=∠ 3$，因此$∠ 2=∠ 3$。
根据等角对等边，可得$CE=CF$，因此$AE=CE=CF=AF$，四条边相等的四边形是菱形，故四边形$AFCE$是菱形。
(2) 在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$AD=BC=8$，$∠ B=∠ D=90°$：
① 先求对角线$AC$的长度：由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
② 求菱形$AFCE$的边长：设$AE=EC=x$，则$ED=AD-AE=8-x$，在$Rt△ EDC$中，$CD=AB=6$，根据勾股定理得$ED^2+CD^2=EC^2$，代入得$(8-x)^2+6^2=x^2$，展开化简得：
$64-16x+x^2+36=x^2$，即$100-16x=0$，解得$x=\frac{25}{4}$。
③ 求EF的长度：菱形的面积有两种计算方式：
方式一：$S_{\mathrm{菱形}AFCE}=CF× AB$，其中$CF=AE=\frac{25}{4}$，因此$S=\frac{25}{4}×6=\frac{75}{2}$；
方式二：$S_{\mathrm{菱形}AFCE}=\frac{1}{2}× AC× EF$。
联立两个面积公式得$\frac{1}{2}×10× EF=\frac{75}{2}$，解得$EF=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) 四边形$AFCE$是菱形，理由见解析；(2) $\dfrac{15}{2}$
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质
【点评】
本题属于几何综合题，结合了矩形、菱形、折叠的相关性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，灵活运用勾股定理和菱形面积的两种计算方法建立等量关系求解，是初中几何的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问先根据折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，再结合矩形对边平行的性质推导角相等，进而得到四条边相等，即可判定四边形的形状；
(2) 第二问先利用勾股定理求出矩形对角线AC的长度，再设菱形边长为未知数，在Rt△CDE中用勾股定理求出边长，最后结合菱形面积的两种计算方法（底乘高、对角线乘积的一半）建立等式，求解即可得到EF的长度。
【解析】
(1) 四边形$AFCE$是菱形，理由如下：
由折叠的性质可知，折叠后点A与点C重合，因此$△ AEF$和$△ CEF$关于EF对称，可得$AE=CE$，$AF=CF$，$∠ 1=∠ 2$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ 1=∠ 3$，因此$∠ 2=∠ 3$。
根据等角对等边，可得$CE=CF$，因此$AE=CE=CF=AF$，四条边相等的四边形是菱形，故四边形$AFCE$是菱形。
(2) 在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$AD=BC=8$，$∠ B=∠ D=90°$：
① 先求对角线$AC$的长度：由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
② 求菱形$AFCE$的边长：设$AE=EC=x$，则$ED=AD-AE=8-x$，在$Rt△ EDC$中，$CD=AB=6$，根据勾股定理得$ED^2+CD^2=EC^2$，代入得$(8-x)^2+6^2=x^2$，展开化简得：
$64-16x+x^2+36=x^2$，即$100-16x=0$，解得$x=\frac{25}{4}$。
③ 求EF的长度：菱形的面积有两种计算方式：
方式一：$S_{\mathrm{菱形}AFCE}=CF× AB$，其中$CF=AE=\frac{25}{4}$，因此$S=\frac{25}{4}×6=\frac{75}{2}$；
方式二：$S_{\mathrm{菱形}AFCE}=\frac{1}{2}× AC× EF$。
联立两个面积公式得$\frac{1}{2}×10× EF=\frac{75}{2}$，解得$EF=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) 四边形$AFCE$是菱形，理由见解析；(2) $\dfrac{15}{2}$
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质
【点评】
本题属于几何综合题，结合了矩形、菱形、折叠的相关性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，灵活运用勾股定理和菱形面积的两种计算方法建立等量关系求解，是初中几何的常考题型。
【难度系数】
0.6
13. 如图,在$△ ABC$的边$AB$上截取$BD=BC$,连接$DC$,取$DC$的中点$E$,过点$C$作$CF // AB$,交线段$BE$的延长线于点$F$,连接$DF$.
(1) 求证:$FC=BD$;
(2) 请给$△ ABC$添加一个条件,使四边形$FDBC$为正方形,并说明理由.
(1) 求证:$FC=BD$;
(2) 请给$△ ABC$添加一个条件,使四边形$FDBC$为正方形,并说明理由.
答案
13. (1) $\because BD=BC,E$是$CD$的中点,$\therefore ∠ DBE=∠ CBE. \because CF // AB, \therefore ∠ CFB=∠ DBF. \therefore ∠ CFB=∠ CBF. \therefore FC=BC. \therefore FC=BD$ (2) 答案不唯一.如: 添加$∠ ABC=90°$.理由: $\because CF // AB, \therefore CF // BD. \because FC=BD, \therefore$ 四边形$FDBC$是平行四边形.$\because BD=BC, \therefore$ 四边形$FDBC$为菱形.$\because ∠ ABC=90°, \therefore$ 四边形$FDBC$为正方形
解析
【分析】
（1）要证$FC=BD$，已知$BD=BC$，因此只需证$FC=BC$即可。首先由$BD=BC$、$E$是$DC$中点，结合等腰三角形三线合一的性质可得$BE$平分$∠ DBC$，得到$∠ DBE=∠ CBE$；再利用$CF// AB$的平行线性质得到内错角$∠ CFB=∠ DBF$，等量代换可得$∠ CFB=∠ CBF$，由等角对等边推出$FC=BC$，结合已知$BD=BC$即可完成证明。
（2）要使四边形$FDBC$为正方形，首先由$CF// BD$且$FC=BD$可判定四边形$FDBC$是平行四边形，再结合$BD=BC$可判定其为菱形，根据正方形的判定规则，给菱形添加“有一个内角为直角”的条件即可，例如添加$∠ ABC=90°$，即可证明菱形$FDBC$为正方形，也可添加其他符合要求的条件。
【解析】
(1) 证明：
$\because BD=BC$，$E$是$CD$的中点，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质，得$∠ DBE=∠ CBE$。
$\because CF// AB$，
$\therefore ∠ CFB=∠ DBF$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ CFB=∠ CBF$，
$\therefore FC=BC$（等角对等边）。
又$\because BD=BC$，
$\therefore FC=BD$。
(2) 解：添加条件$∠ ABC=90°$（答案不唯一），理由如下：
$\because CF// AB$，
$\therefore CF// BD$，
又$\because FC=BD$，
$\therefore$ 四边形$FDBC$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
$\because BD=BC$，
$\therefore$ 平行四边形$FDBC$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore$ 菱形$FDBC$是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
【答案】
(1) $\because BD=BC,E$是$CD$的中点,$\therefore ∠ DBE=∠ CBE. \because CF // AB, \therefore ∠ CFB=∠ DBF. \therefore ∠ CFB=∠ CBF. \therefore FC=BC. \therefore FC=BD$
(2) 答案不唯一.如: 添加$∠ ABC=90°$.理由: $\because CF // AB, \therefore CF // BD. \because FC=BD, \therefore$ 四边形$FDBC$是平行四边形.$\because BD=BC, \therefore$ 四边形$FDBC$为菱形.$\because ∠ ABC=90°, \therefore$ 四边形$FDBC$为正方形
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；正方形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，考查了等腰三角形、平行线的性质和特殊四边形的判定方法，解题核心是理清角、线段之间的等量转化关系，第二问为开放性问题，答案只要符合正方形的判定条件即可。
【难度系数】
0.7
（1）要证$FC=BD$，已知$BD=BC$，因此只需证$FC=BC$即可。首先由$BD=BC$、$E$是$DC$中点，结合等腰三角形三线合一的性质可得$BE$平分$∠ DBC$，得到$∠ DBE=∠ CBE$；再利用$CF// AB$的平行线性质得到内错角$∠ CFB=∠ DBF$，等量代换可得$∠ CFB=∠ CBF$，由等角对等边推出$FC=BC$，结合已知$BD=BC$即可完成证明。
（2）要使四边形$FDBC$为正方形，首先由$CF// BD$且$FC=BD$可判定四边形$FDBC$是平行四边形，再结合$BD=BC$可判定其为菱形，根据正方形的判定规则，给菱形添加“有一个内角为直角”的条件即可，例如添加$∠ ABC=90°$，即可证明菱形$FDBC$为正方形，也可添加其他符合要求的条件。
【解析】
(1) 证明：
$\because BD=BC$，$E$是$CD$的中点，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质，得$∠ DBE=∠ CBE$。
$\because CF// AB$，
$\therefore ∠ CFB=∠ DBF$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ CFB=∠ CBF$，
$\therefore FC=BC$（等角对等边）。
又$\because BD=BC$，
$\therefore FC=BD$。
(2) 解：添加条件$∠ ABC=90°$（答案不唯一），理由如下：
$\because CF// AB$，
$\therefore CF// BD$，
又$\because FC=BD$，
$\therefore$ 四边形$FDBC$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
$\because BD=BC$，
$\therefore$ 平行四边形$FDBC$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore$ 菱形$FDBC$是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
【答案】
(1) $\because BD=BC,E$是$CD$的中点,$\therefore ∠ DBE=∠ CBE. \because CF // AB, \therefore ∠ CFB=∠ DBF. \therefore ∠ CFB=∠ CBF. \therefore FC=BC. \therefore FC=BD$
(2) 答案不唯一.如: 添加$∠ ABC=90°$.理由: $\because CF // AB, \therefore CF // BD. \because FC=BD, \therefore$ 四边形$FDBC$是平行四边形.$\because BD=BC, \therefore$ 四边形$FDBC$为菱形.$\because ∠ ABC=90°, \therefore$ 四边形$FDBC$为正方形
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；正方形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，考查了等腰三角形、平行线的性质和特殊四边形的判定方法，解题核心是理清角、线段之间的等量转化关系，第二问为开放性问题，答案只要符合正方形的判定条件即可。
【难度系数】
0.7
14. 如图, 四边形 ABCD 是正方形, E 是边 BC 的中点, 且 $\∠ AEF = 90°$, EF 交正方形 ABCD 的外角 $\∠ DCM$ 的平分线 CF 于点 F. 取边 AB 的中点 G, 连接 EG.
(1) 求证: $EG = CF$;
(2) 将 $\△ ECF$ 绕点 E 逆时针旋转 $90°$, 请在图中直接画出旋转后的图形, 并指出旋转后的 CF 与 EG 的位置关系.
(1) 求证: $EG = CF$;
(2) 将 $\△ ECF$ 绕点 E 逆时针旋转 $90°$, 请在图中直接画出旋转后的图形, 并指出旋转后的 CF 与 EG 的位置关系.
答案
14. (1) $\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$G,E$为边$AB,BC$的中点,$\therefore BG=BE$,即$△ BEG$为等腰直角三角形.$\therefore ∠ AGE=135°.$又$\because CF$平分$∠ DCM, \therefore ∠ ECF=135°. \therefore ∠ AGE=∠ ECF. \because ∠ AEF=90°, \therefore ∠ GAE=90°-∠ AEB=∠ CEF.$易得$AG=EC. \therefore △ AGE ≌ △ ECF. \therefore EG=CF$ (2) 旋转后的$△ EC'F'$如图所示,旋转后$CF$变为$C'F'$,此时与$EG$平行
解析
【分析】
(1) 要证明$EG=CF$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：观察得$EG$在$△ AGE$中，$CF$在$△ ECF$中，因此只需证明$△ AGE≌△ ECF$即可。首先利用正方形和中点的性质得到一组边相等$AG=EC$；再通过等腰直角三角形的性质和角平分线的定义，推导出一组钝角相等$∠ AGE=∠ ECF=135°$；最后结合$∠ AEF=90°$，利用同角的余角相等推导出另一组锐角相等$∠ GAE=∠ CEF$，即可用ASA判定全等，得到对应边相等。
(2) 旋转作图需抓住旋转三要素：旋转中心为点$E$、旋转方向为逆时针、旋转角度为$90°$，将$△ ECF$的各顶点按要求旋转后连接即可；判断旋转后$CF$对应边与$EG$的位置关系，可通过角度推导内错角相等得到平行关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$G,E$为边$AB,BC$的中点，
$\therefore AB=BC$，$AG=\frac{1}{2}AB$，$EC=\frac{1}{2}BC$，$∠ B=90°$，
$\therefore AG=EC$，$BG=BE$，即$△ BEG$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠ BGE=45°$，$\therefore ∠ AGE=180°-45°=135°$。
又$\because CF$平分$∠ DCM$，$∠ DCM=90°$，
$\therefore ∠ FCM=\frac{1}{2}∠ DCM=45°$，$\therefore ∠ ECF=180°-45°=135°$，
$\therefore ∠ AGE=∠ ECF$。
$\because ∠ AEF=90°$，
$\therefore ∠ CEF+∠ AEB=180°-90°=90°$，
又$\because \mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ GAE+∠ AEB=90°$，
$\therefore ∠ GAE=∠ CEF$。
在$△ AGE$和$△ ECF$中：
$\begin{cases}∠ GAE=∠ CEF \\AG=EC \\∠ AGE=∠ ECF\end{cases}$
$\therefore △ AGE≌△ ECF(\mathrm{ASA})$，$\therefore EG=CF$。
(2) 将$EC$绕点$E$逆时针旋转$90°$得到$EC'$，将$EF$绕点$E$逆时针旋转$90°$得到$EF'$（$F'$与点$A$重合），连接$C'F'$，所得$△ EC'F'$即为旋转后的图形。由旋转性质得$CF$对应$C'F'$，推导角度可得内错角相等，因此$C'F'// EG$。
【答案】
(1) 证明成立，$EG=CF$；
(2) 旋转后的$△ EC'F'$如图所示：，旋转后的$CF$与$EG$的位置关系为平行。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查全等三角形的证明和旋转的相关性质，解题关键是结合已知条件推导角、边的相等关系，找到全等的判定条件，旋转作图要牢记旋转三要素准确画图，有助于锻炼几何逻辑推理和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$EG=CF$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：观察得$EG$在$△ AGE$中，$CF$在$△ ECF$中，因此只需证明$△ AGE≌△ ECF$即可。首先利用正方形和中点的性质得到一组边相等$AG=EC$；再通过等腰直角三角形的性质和角平分线的定义，推导出一组钝角相等$∠ AGE=∠ ECF=135°$；最后结合$∠ AEF=90°$，利用同角的余角相等推导出另一组锐角相等$∠ GAE=∠ CEF$，即可用ASA判定全等，得到对应边相等。
(2) 旋转作图需抓住旋转三要素：旋转中心为点$E$、旋转方向为逆时针、旋转角度为$90°$，将$△ ECF$的各顶点按要求旋转后连接即可；判断旋转后$CF$对应边与$EG$的位置关系，可通过角度推导内错角相等得到平行关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$G,E$为边$AB,BC$的中点，
$\therefore AB=BC$，$AG=\frac{1}{2}AB$，$EC=\frac{1}{2}BC$，$∠ B=90°$，
$\therefore AG=EC$，$BG=BE$，即$△ BEG$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠ BGE=45°$，$\therefore ∠ AGE=180°-45°=135°$。
又$\because CF$平分$∠ DCM$，$∠ DCM=90°$，
$\therefore ∠ FCM=\frac{1}{2}∠ DCM=45°$，$\therefore ∠ ECF=180°-45°=135°$，
$\therefore ∠ AGE=∠ ECF$。
$\because ∠ AEF=90°$，
$\therefore ∠ CEF+∠ AEB=180°-90°=90°$，
又$\because \mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ GAE+∠ AEB=90°$，
$\therefore ∠ GAE=∠ CEF$。
在$△ AGE$和$△ ECF$中：
$\begin{cases}∠ GAE=∠ CEF \\AG=EC \\∠ AGE=∠ ECF\end{cases}$
$\therefore △ AGE≌△ ECF(\mathrm{ASA})$，$\therefore EG=CF$。
(2) 将$EC$绕点$E$逆时针旋转$90°$得到$EC'$，将$EF$绕点$E$逆时针旋转$90°$得到$EF'$（$F'$与点$A$重合），连接$C'F'$，所得$△ EC'F'$即为旋转后的图形。由旋转性质得$CF$对应$C'F'$，推导角度可得内错角相等，因此$C'F'// EG$。
【答案】
(1) 证明成立，$EG=CF$；
(2) 旋转后的$△ EC'F'$如图所示：
，旋转后的$CF$与$EG$的位置关系为平行。【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查全等三角形的证明和旋转的相关性质，解题关键是结合已知条件推导角、边的相等关系，找到全等的判定条件，旋转作图要牢记旋转三要素准确画图，有助于锻炼几何逻辑推理和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
