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7. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{2^2}=2$
B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$\sqrt{2^2}=\pm2$
D.$\sqrt{(-2)^2}=\pm2$
A
）A.$\sqrt{2^2}=2$
B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$\sqrt{2^2}=\pm2$
D.$\sqrt{(-2)^2}=\pm2$
答案
7.A
解析
【分析】
这道题考查算术平方根的相关计算，解题时首先要明确$\sqrt{a}$表示的是非负数$a$的算术平方根，算术平方根的计算结果一定是非负的，其次结合$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，逐个计算四个选项的结果，即可判断出正确选项。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，算术平方根的结果只能是非负数。我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，计算正确；
选项B：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2≠-2$，计算错误；
选项C：$\sqrt{2^2}$是4的算术平方根，结果唯一为2，不是$\pm2$，计算错误；
选项D：$\sqrt{(-2)^2}$是4的算术平方根，结果唯一为2，不是$\pm2$，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是区分算术平方根和平方根的差异，避免混淆二者的结果符号，熟练掌握$\sqrt{x^2}=|x|$的性质就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
这道题考查算术平方根的相关计算，解题时首先要明确$\sqrt{a}$表示的是非负数$a$的算术平方根，算术平方根的计算结果一定是非负的，其次结合$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，逐个计算四个选项的结果，即可判断出正确选项。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，算术平方根的结果只能是非负数。我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，计算正确；
选项B：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2≠-2$，计算错误；
选项C：$\sqrt{2^2}$是4的算术平方根，结果唯一为2，不是$\pm2$，计算错误；
选项D：$\sqrt{(-2)^2}$是4的算术平方根，结果唯一为2，不是$\pm2$，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是区分算术平方根和平方根的差异，避免混淆二者的结果符号，熟练掌握$\sqrt{x^2}=|x|$的性质就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
8. “$\dfrac{16}{81}$的平方根是$\pm\dfrac{4}{9}$”用数学式子表示是 （
A.$\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\pm\dfrac{4}{9}$
B.$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\dfrac{4}{9}$
C.$\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\dfrac{4}{9}$
D.$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\pm\dfrac{4}{9}$
D
）A.$\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\pm\dfrac{4}{9}$
B.$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\dfrac{4}{9}$
C.$\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\dfrac{4}{9}$
D.$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\pm\dfrac{4}{9}$
答案
8.D
解析
【分析】
首先明确平方根和算术平方根的符号规定：①算术平方根是非负数a的非负平方根，用$\sqrt{a}$表示，结果只能是非负的；②平方根是非负数a的两个正负平方根的统称，用$\pm\sqrt{a}$表示，结果是一正一负两个值。题目要表示“$\dfrac{16}{81}$的平方根是$\pm\dfrac{4}{9}$”，等式左侧应为$\dfrac{16}{81}$的平方根的符号表达$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}$，右侧为两个平方根$\pm\dfrac{4}{9}$，再逐一排查选项即可。
【解析】
1. 明确平方根表示规则：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，记为$x=\pm\sqrt{a}$。
2. 对应题干内容：$\dfrac{16}{81}$的平方根应表示为$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}$，计算得结果为$\pm\dfrac{4}{9}$，因此对应的数学式子为$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\pm\dfrac{4}{9}$。
3. 逐一排查选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{16}{81}}$是$\dfrac{16}{81}$的算术平方根，结果仅为$\dfrac{4}{9}$，错误；
B选项：左侧$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}$代表正负两个值，右侧仅为正的$\dfrac{4}{9}$，等式不成立，错误；
C选项：该式表示$\dfrac{16}{81}$的算术平方根是$\dfrac{4}{9}$，不符合题干“平方根”的表述要求，错误；
D选项：符合平方根的表示规则和计算结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的表示、算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查平方根与算术平方根的符号差异，解题的关键是牢记两种平方根的表示方法，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
首先明确平方根和算术平方根的符号规定：①算术平方根是非负数a的非负平方根，用$\sqrt{a}$表示，结果只能是非负的；②平方根是非负数a的两个正负平方根的统称，用$\pm\sqrt{a}$表示，结果是一正一负两个值。题目要表示“$\dfrac{16}{81}$的平方根是$\pm\dfrac{4}{9}$”，等式左侧应为$\dfrac{16}{81}$的平方根的符号表达$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}$，右侧为两个平方根$\pm\dfrac{4}{9}$，再逐一排查选项即可。
【解析】
1. 明确平方根表示规则：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，记为$x=\pm\sqrt{a}$。
2. 对应题干内容：$\dfrac{16}{81}$的平方根应表示为$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}$，计算得结果为$\pm\dfrac{4}{9}$，因此对应的数学式子为$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\pm\dfrac{4}{9}$。
3. 逐一排查选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{16}{81}}$是$\dfrac{16}{81}$的算术平方根，结果仅为$\dfrac{4}{9}$，错误；
B选项：左侧$\pm\sqrt{\dfrac{16}{81}}$代表正负两个值，右侧仅为正的$\dfrac{4}{9}$，等式不成立，错误；
C选项：该式表示$\dfrac{16}{81}$的算术平方根是$\dfrac{4}{9}$，不符合题干“平方根”的表述要求，错误；
D选项：符合平方根的表示规则和计算结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的表示、算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查平方根与算术平方根的符号差异，解题的关键是牢记两种平方根的表示方法，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
9. 设$x^2=a$,有下列几种说法:①$a$是$x$的平方根;②$a$是$x$的平方;③$x$是$a$的平方根;④$x$是$a$的平方.其中正确的是 (
A.①和②
B.②和③
C.②和④
D.①和③
B
)A.①和②
B.②和③
C.②和④
D.①和③
答案
9.B
解析
【分析】
解题时需先明确平方、平方根的核心定义，再结合已知条件$x^2=a$逐一判断4种说法的正误。首先理清定义逻辑：如果$m^2=n$，那么n是m的平方，m是n的平方根，按照这个对应关系逐个排查每个说法即可得出结论。
【解析】
根据平方和平方根的定义分析：
若$x^2=a$，则：
1. 对①：a是x的平方根？根据定义，x才是a的平方根，a是x的平方运算结果，①错误；
2. 对②：a是x的平方？x的平方即$x^2$，其结果等于a，②正确；
3. 对③：x是a的平方根？符合平方根的定义“若一个数的平方等于a，这个数就是a的平方根”，③正确；
4. 对④：x是a的平方？a的平方是$a^2$，与x没有该对应关系，④错误。
综上，②③正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方的定义，平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是明确平方运算、平方根概念中两个量的对应关系，避免混淆主体和对象即可快速得分。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确平方、平方根的核心定义，再结合已知条件$x^2=a$逐一判断4种说法的正误。首先理清定义逻辑：如果$m^2=n$，那么n是m的平方，m是n的平方根，按照这个对应关系逐个排查每个说法即可得出结论。
【解析】
根据平方和平方根的定义分析：
若$x^2=a$，则：
1. 对①：a是x的平方根？根据定义，x才是a的平方根，a是x的平方运算结果，①错误；
2. 对②：a是x的平方？x的平方即$x^2$，其结果等于a，②正确；
3. 对③：x是a的平方根？符合平方根的定义“若一个数的平方等于a，这个数就是a的平方根”，③正确；
4. 对④：x是a的平方？a的平方是$a^2$，与x没有该对应关系，④错误。
综上，②③正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方的定义，平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是明确平方运算、平方根概念中两个量的对应关系，避免混淆主体和对象即可快速得分。
【难度系数】
0.7
10. [2024·南京]4 的平方根是 （
A.$\pm 2$
B.$2$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
A
）A.$\pm 2$
B.$2$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
10.A
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的平方根。要注意正数的平方根有两个，它们互为相反数，不要和只取非负值的算术平方根混淆。本题要求4的平方根，只需要找到平方后等于4的所有数即可。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2=4$，则x是4的平方根。
计算可得：$2^2=4$，$(-2)^2=4$，
因此满足$x^2=4$的x的值为$\pm2$，即4的平方根是$\pm2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆平方根与算术平方根的概念，误选只有正值的B选项，学习时要明确二者的区别。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的平方根。要注意正数的平方根有两个，它们互为相反数，不要和只取非负值的算术平方根混淆。本题要求4的平方根，只需要找到平方后等于4的所有数即可。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2=4$，则x是4的平方根。
计算可得：$2^2=4$，$(-2)^2=4$，
因此满足$x^2=4$的x的值为$\pm2$，即4的平方根是$\pm2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆平方根与算术平方根的概念，误选只有正值的B选项，学习时要明确二者的区别。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. [2025·重庆]若$ n $为正整数,且满足$ n＜\sqrt{26}＜n+1 $,则$ n=\_\_\_\_\_\_ $.
1. [2025·重庆]若$ n $为正整数,且满足$ n＜\sqrt{26}＜n+1 $,则$ n=\_\_\_\_\_\_ $.
答案
1. 5
解析
【分析】
本题要求确定满足不等式的正整数n，解题核心是估算$\sqrt{26}$的取值范围。首先回忆常见的完全平方数，找到和26相邻的两个正整数的平方，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，就能确定$\sqrt{26}$在哪两个相邻整数之间，进而得到n的值。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
∵ $5^2 = 25$，$6^2 = 36$，且 $25 ＜ 26 ＜ 36$
根据算术平方根的性质，可得：
$\sqrt{25} ＜ \sqrt{26} ＜ \sqrt{36}$，即 $5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$
又
∵ $n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1$，n为正整数
∴ $n = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 完全平方数
【点评】
本题属于基础题型，考查无理数的估算能力，解题关键是熟练掌握常见完全平方数，用夹逼法确定无理数的取值范围即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题要求确定满足不等式的正整数n，解题核心是估算$\sqrt{26}$的取值范围。首先回忆常见的完全平方数，找到和26相邻的两个正整数的平方，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，就能确定$\sqrt{26}$在哪两个相邻整数之间，进而得到n的值。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
∵ $5^2 = 25$，$6^2 = 36$，且 $25 ＜ 26 ＜ 36$
根据算术平方根的性质，可得：
$\sqrt{25} ＜ \sqrt{26} ＜ \sqrt{36}$，即 $5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$
又
∵ $n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1$，n为正整数
∴ $n = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 完全平方数
【点评】
本题属于基础题型，考查无理数的估算能力，解题关键是熟练掌握常见完全平方数，用夹逼法确定无理数的取值范围即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如果一个正数$ a $的两个平方根分别是$ 3x - 2 $和$ 5x + 6 $，则$ a = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
2. $\dfrac{49}{4}$
解析
【分析】
解题的核心是运用正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为0。首先根据这个性质列出关于x的一元一次方程，解出x的值后，代入其中一个平方根的表达式，再对结果求平方即可得到a的值。
【解析】
解：
∵ 正数的两个平方根互为相反数
∴ $(3x - 2) + (5x + 6) = 0$
合并同类项得：$8x + 4 = 0$
移项得：$8x = -4$
解得：$x = -\dfrac{1}{2}$
将$x = -\dfrac{1}{2}$代入$3x - 2$得：
$3×(-\dfrac{1}{2}) - 2 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{2} = -\dfrac{7}{2}$
∴ $a = (-\dfrac{7}{2})^2 = \dfrac{49}{4}$
【答案】
$\dfrac{49}{4}$
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，通过建立方程求出未知数后代入计算即可，计算过程中注意符号问题。
【难度系数】
0.8
解题的核心是运用正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为0。首先根据这个性质列出关于x的一元一次方程，解出x的值后，代入其中一个平方根的表达式，再对结果求平方即可得到a的值。
【解析】
解：
∵ 正数的两个平方根互为相反数
∴ $(3x - 2) + (5x + 6) = 0$
合并同类项得：$8x + 4 = 0$
移项得：$8x = -4$
解得：$x = -\dfrac{1}{2}$
将$x = -\dfrac{1}{2}$代入$3x - 2$得：
$3×(-\dfrac{1}{2}) - 2 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{2} = -\dfrac{7}{2}$
∴ $a = (-\dfrac{7}{2})^2 = \dfrac{49}{4}$
【答案】
$\dfrac{49}{4}$
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，通过建立方程求出未知数后代入计算即可，计算过程中注意符号问题。
【难度系数】
0.8
3. 若$\sqrt{x+3}+\sqrt{y-2}=0$，则$xy=$
-6
.答案
3. -6
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数（即大于等于0）。两个非负数相加的和为0，说明这两个非负数各自都等于0，据此我们可以分别列方程求出x、y的值，再代入计算xy的结果即可。
【解析】
解：
∵算术平方根具有非负性，
∴$\sqrt{x+3} ≥ 0$，$\sqrt{y-2} ≥ 0$，
又
∵$\sqrt{x+3}+\sqrt{y-2}=0$，
∴$\sqrt{x+3}=0$，$\sqrt{y-2}=0$，
即$x+3=0$，$y-2=0$，
解得：$x=-3$，$y=2$，
∴$xy=(-3) × 2 = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
算术平方根的非负性；非负数和为0的性质
【点评】
本题是基础考点类题型，解题的核心是掌握算术平方根的非负特征，以及多个非负数相加和为0时，每个非负数均为0的规律，熟练掌握该规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数（即大于等于0）。两个非负数相加的和为0，说明这两个非负数各自都等于0，据此我们可以分别列方程求出x、y的值，再代入计算xy的结果即可。
【解析】
解：
∵算术平方根具有非负性，
∴$\sqrt{x+3} ≥ 0$，$\sqrt{y-2} ≥ 0$，
又
∵$\sqrt{x+3}+\sqrt{y-2}=0$，
∴$\sqrt{x+3}=0$，$\sqrt{y-2}=0$，
即$x+3=0$，$y-2=0$，
解得：$x=-3$，$y=2$，
∴$xy=(-3) × 2 = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
算术平方根的非负性；非负数和为0的性质
【点评】
本题是基础考点类题型，解题的核心是掌握算术平方根的非负特征，以及多个非负数相加和为0时，每个非负数均为0的规律，熟练掌握该规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 已知某数的两个平方根分别是$a+3$和$2a-15$,求这个数的立方根是多少.
1. 已知某数的两个平方根分别是$a+3$和$2a-15$,求这个数的立方根是多少.
答案
解:
∵ $a+3$ 和 $2a-15$ 是某数的两个平方根,
∴ $a+3+2a-15=0$,解得 $a=4$.
∴ 这个数为 49.
∴ 这个数的立方根是 $\sqrt[3]{49}$.
∵ $a+3$ 和 $2a-15$ 是某数的两个平方根,
∴ $a+3+2a-15=0$,解得 $a=4$.
∴ 这个数为 49.
∴ 这个数的立方根是 $\sqrt[3]{49}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数之和为0。因此第一步可以根据该性质列出关于a的一元一次方程，求出a的值；第二步将a的值代入其中一个平方根，对结果平方即可得到这个数；最后计算这个数的立方根就能得到最终答案。
【解析】
解：
∵ $a+3$ 和 $2a-15$ 是某数的两个平方根，
∴ $a+3+2a-15=0$，
合并同类项得$3a-12=0$，
解得 $a=4$。
将$a=4$代入$a+3$得其中一个平方根为$4+3=7$，
∴ 这个数为 $7^2=49$。
∴ 这个数的立方根是 $\sqrt[3]{49}$。
【答案】
$\sqrt[3]{49}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平方根性质的应用，解题关键是利用正数的两个平方根互为相反数的特点建立方程求出参数，再按要求计算即可，熟练掌握平方根、立方根的相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数之和为0。因此第一步可以根据该性质列出关于a的一元一次方程，求出a的值；第二步将a的值代入其中一个平方根，对结果平方即可得到这个数；最后计算这个数的立方根就能得到最终答案。
【解析】
解：
∵ $a+3$ 和 $2a-15$ 是某数的两个平方根，
∴ $a+3+2a-15=0$，
合并同类项得$3a-12=0$，
解得 $a=4$。
将$a=4$代入$a+3$得其中一个平方根为$4+3=7$，
∴ 这个数为 $7^2=49$。
∴ 这个数的立方根是 $\sqrt[3]{49}$。
【答案】
$\sqrt[3]{49}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平方根性质的应用，解题关键是利用正数的两个平方根互为相反数的特点建立方程求出参数，再按要求计算即可，熟练掌握平方根、立方根的相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 求下列各式的值.
(1) $-\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}}$；
(2) $-\sqrt[3]{-216}$；
(3) $-\sqrt[3]{-\dfrac{125}{216}}$；
(4) $\sqrt[3]{4+\dfrac{17}{27}}$.
(1) $-\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}}$；
(2) $-\sqrt[3]{-216}$；
(3) $-\sqrt[3]{-\dfrac{125}{216}}$；
(4) $\sqrt[3]{4+\dfrac{17}{27}}$.
答案
2. (1)$\dfrac{3}{4}$ (2)6 (3)$\dfrac{5}{6}$ (4)$\dfrac{5}{3}$
解析
【分析】
这组题目考查立方根的运算，解题思路如下：1. 先回忆立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，即$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$（$a＞0$）；2. 若被开方数是带分数，先转化为假分数；3. 找到哪个数的立方等于被开方数的绝对值，再结合符号性质计算最终结果。
【解析】
(1) 利用立方根的符号性质变形可得：
$-\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}} = -(-\sqrt[3]{\dfrac{27}{64}})$
因为$(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{27}{64}$，所以$\sqrt[3]{\dfrac{27}{64}}=\dfrac{3}{4}$，代入得原式$=\dfrac{3}{4}$。
(2) 同理变形计算：
$-\sqrt[3]{-216} = -(-\sqrt[3]{216})$
因为$6^3=216$，所以$\sqrt[3]{216}=6$，代入得原式$=6$。
(3) 同理变形计算：
$-\sqrt[3]{-\dfrac{125}{216}} = -(-\sqrt[3]{\dfrac{125}{216}})$
因为$(\dfrac{5}{6})^3=\dfrac{125}{216}$，所以$\sqrt[3]{\dfrac{125}{216}}=\dfrac{5}{6}$，代入得原式$=\dfrac{5}{6}$。
(4) 先将被开方数的带分数化为假分数：
$4+\dfrac{17}{27}=\dfrac{4×27 +17}{27}=\dfrac{125}{27}$
因为$(\dfrac{5}{3})^3=\dfrac{125}{27}$，所以$\sqrt[3]{\dfrac{125}{27}}=\dfrac{5}{3}$，即原式$=\dfrac{5}{3}$。
【答案】
(1)$\dfrac{3}{4}$；(2)$6$；(3)$\dfrac{5}{6}$；(4)$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
立方根的性质、开立方运算、带分数化假分数
【点评】
本题是立方根运算的基础题型，解题时要注意优先处理被开方数的符号，带分数需先转化为假分数再开立方，熟记常见整数的立方值可有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.85
这组题目考查立方根的运算，解题思路如下：1. 先回忆立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，即$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$（$a＞0$）；2. 若被开方数是带分数，先转化为假分数；3. 找到哪个数的立方等于被开方数的绝对值，再结合符号性质计算最终结果。
【解析】
(1) 利用立方根的符号性质变形可得：
$-\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}} = -(-\sqrt[3]{\dfrac{27}{64}})$
因为$(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{27}{64}$，所以$\sqrt[3]{\dfrac{27}{64}}=\dfrac{3}{4}$，代入得原式$=\dfrac{3}{4}$。
(2) 同理变形计算：
$-\sqrt[3]{-216} = -(-\sqrt[3]{216})$
因为$6^3=216$，所以$\sqrt[3]{216}=6$，代入得原式$=6$。
(3) 同理变形计算：
$-\sqrt[3]{-\dfrac{125}{216}} = -(-\sqrt[3]{\dfrac{125}{216}})$
因为$(\dfrac{5}{6})^3=\dfrac{125}{216}$，所以$\sqrt[3]{\dfrac{125}{216}}=\dfrac{5}{6}$，代入得原式$=\dfrac{5}{6}$。
(4) 先将被开方数的带分数化为假分数：
$4+\dfrac{17}{27}=\dfrac{4×27 +17}{27}=\dfrac{125}{27}$
因为$(\dfrac{5}{3})^3=\dfrac{125}{27}$，所以$\sqrt[3]{\dfrac{125}{27}}=\dfrac{5}{3}$，即原式$=\dfrac{5}{3}$。
【答案】
(1)$\dfrac{3}{4}$；(2)$6$；(3)$\dfrac{5}{6}$；(4)$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
立方根的性质、开立方运算、带分数化假分数
【点评】
本题是立方根运算的基础题型，解题时要注意优先处理被开方数的符号，带分数需先转化为假分数再开立方，熟记常见整数的立方值可有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.85
3. 求下列各式中的 $ x $.
(1) $ 16x^2 = 25 $;
(2) $ (x - 3)^2 = 4 $.
(1) $ 16x^2 = 25 $;
(2) $ (x - 3)^2 = 4 $.
答案
解:(1)
∵ $16x^2=25$,
∴ $x^2=\dfrac{25}{16}$.
∴ $x=\pm\dfrac{5}{4}$.
(2)
∵ $(x-3)^2=4$,
∴ $x-3=2$ 或 $x-3=-2$.
∴ $x=5$ 或 $x=1$.
∵ $16x^2=25$,
∴ $x^2=\dfrac{25}{16}$.
∴ $x=\pm\dfrac{5}{4}$.
(2)
∵ $(x-3)^2=4$,
∴ $x-3=2$ 或 $x-3=-2$.
∴ $x=5$ 或 $x=1$.
解析
【分析】
这两道题均利用平方根的定义求解未知数，解题思路如下：
(1) 先利用等式的性质将$x^2$的系数化为1，得到$x^2$等于一个正数，再根据正数有两个互为相反数的平方根，即可求出$x$的两个取值；
(2) 将$(x-3)$看作一个整体，先对等式两边开平方，得到两个关于$x$的一元一次方程，分别求解即可得到$x$的解，注意不要漏掉负的平方根对应的解。
【解析】
(1)
∵ $16x^2=25$,
∴ 等式两边同时除以16，得 $x^2=\dfrac{25}{16}$.
∴ $x=\pm\dfrac{5}{4}$.
(2)
∵ $(x-3)^2=4$,
∴ $x-3=2$ 或 $x-3=-2$.
解得 $x=5$ 或 $x=1$.
【答案】
(1) $x=\pm\dfrac{5}{4}$；(2) $x=5$或$x=1$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题是平方根性质的基础应用，解题时需注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免出现漏解的问题；求解第二问时运用整体思想，可简化计算、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这两道题均利用平方根的定义求解未知数，解题思路如下：
(1) 先利用等式的性质将$x^2$的系数化为1，得到$x^2$等于一个正数，再根据正数有两个互为相反数的平方根，即可求出$x$的两个取值；
(2) 将$(x-3)$看作一个整体，先对等式两边开平方，得到两个关于$x$的一元一次方程，分别求解即可得到$x$的解，注意不要漏掉负的平方根对应的解。
【解析】
(1)
∵ $16x^2=25$,
∴ 等式两边同时除以16，得 $x^2=\dfrac{25}{16}$.
∴ $x=\pm\dfrac{5}{4}$.
(2)
∵ $(x-3)^2=4$,
∴ $x-3=2$ 或 $x-3=-2$.
解得 $x=5$ 或 $x=1$.
【答案】
(1) $x=\pm\dfrac{5}{4}$；(2) $x=5$或$x=1$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题是平方根性质的基础应用，解题时需注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免出现漏解的问题；求解第二问时运用整体思想，可简化计算、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
