一、选择题
1. 下列说法正确的是 ()

A.$-3$ 是 $-9$ 的平方根
B.$1$ 的立方根是 $\pm1$
C.$a$ 是 $a^2$ 的算术平方根
D.$4$ 的负的平方根是 $-2$

1. D

【分析】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的基本定义与性质，解题时需结合对应概念逐个判断选项正误。首先回忆核心性质：①负数没有平方根；②任意实数的立方根只有1个，符号与被开方数一致；③算术平方根是非负数，是正数的正的平方根，0的算术平方根是0，带着这些性质逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平方根的被开方数必须是非负数，-9是负数，不存在平方根，因此该说法错误；
B. 任意数的立方根唯一，1的立方根是1，±1是1的平方根而非立方根，因此该说法错误；
C. 算术平方根具有非负性，若a为负数，则a不是$a^2$的算术平方根（例如$a=-2$时，$a^2=4$的算术平方根是2，不是-2），因此该说法错误；
D. 4的平方根是$\pm2$，其中负的平方根是$-2$，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根；立方根；算术平方根
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确区分三类根式的性质差异，尤其要注意平方根与立方根的个数区别、算术平方根的非负性这两个常见易错点。
【难度系数】
0.8

2. 一个数的立方根和它的绝对值相等,这个数是 ()

A.1或0
B.1或-1
C.-1或0
D.0或2

2. A

【分析】
解题时先明确题目要求：找到立方根与自身绝对值相等的数。首先回忆立方根和绝对值的性质：①立方根的符号与被开方数一致，负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，0的立方根是0；②绝对值是非负数。首先由绝对值的非负性可知，这个数的立方根一定是非负的，所以这个数本身肯定是非负数，可先排除含负数的选项，再对剩余选项中的数逐一验证即可得到答案。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意可得$\sqrt[3]{x} = |x|$。
1. 由绝对值的性质可知$|x|≥0$，因此$\sqrt[3]{x}≥0$，结合立方根的性质可得$x≥0$，由此排除含有负数的选项B、C。
2. 对剩余选项中的数逐一验证：
当$x=0$时，$\sqrt[3]{0}=0$，$|0|=0$，满足$\sqrt[3]{x} = |x|$；
当$x=1$时，$\sqrt[3]{1}=1$，$|1|=1$，满足$\sqrt[3]{x} = |x|$；
当$x=2$时，$\sqrt[3]{2}\approx1.26$，$|2|=2$，二者不相等，不满足条件。
因此符合条件的数是0或1，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的性质，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题时可先利用非负性快速排除错误选项，再通过代入验证确定最终答案，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8

3. 下列说法中错误的有（）
①16 的算术平方根是 2；②立方根等于本身的数有-1,0 和 1；③-3 是$(-3)^2$的算术平方根；④8 的立方根是$\pm2$.

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

3. D

【分析】
本题考查算术平方根和立方根的基础概念，解题时需先回忆两个概念的定义要点：算术平方根是指一个非负数的非负平方根，立方根的符号与被开方数的符号一致，再逐个判断4个说法的正误，统计错误说法的数量即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①16的算术平方根为$\sqrt{16}=4$，不是2，故该说法错误；
②计算可得$\sqrt[3]{-1}=-1$，$\sqrt[3]{0}=0$，$\sqrt[3]{1}=1$，因此立方根等于本身的数有-1、0、1，该说法正确；
③$(-3)^2=9$，9的算术平方根是3，不是-3（算术平方根为非负数），故该说法错误；
④8的立方根为$\sqrt[3]{8}=2$，只有1个正的立方根，不是$\pm2$，故该说法错误。
综上，错误的说法有①③④，共3个。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义、立方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于混淆算术平方根与平方根的区别、立方根与平方根的符号规律，牢记算术平方根非负、立方根符号与被开方数一致的特点，即可避免出错。
【难度系数】
0.6

4. 已知一个正数的两个平方根分别为 $3a - 1$ 和 $-5 - a$，则这个正数的立方根是
（）

A.$-2$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

4. D

【分析】
解决本题首先要回忆平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，相加和为0。我们可以先利用这个性质列关于a的一元一次方程，求出a的值后，代入表达式得到该正数的其中一个平方根，将平方根平方即可得到这个正数，最后计算该正数的立方根，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵ 正数的两个平方根互为相反数，两数之和为0
∴ 可列方程：$(3a - 1) + (-5 - a) = 0$
去括号合并同类项得：$2a - 6 = 0$
解得：$a = 3$
将$a=3$代入$3a-1$得：$3×3 -1 = 8$
∴ 这个正数为$8^2 = 64$
∵ $4^3 = 64$
∴ 64的立方根是4，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；立方根的定义
【点评】
本题是平方根与立方根的综合基础题，解题核心是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，通过建立方程求出参数，再结合乘方运算求出原数及立方根，是代数基础部分的常考题型。
【难度系数】
0.8

5. 有下列说法:①无限小数都是无理数;②无理数都是无限小数;③带根号的数都是无理数;④两个无理数的和还是无理数.其中错误的有 ()

A.3个
B.1个
C.4个
D.2个

5. A

【分析】
本题考查无理数的相关概念与性质，解题时需先明确无理数的定义（无限不循环小数是无理数），再逐个对4个说法进行判断，可通过举反例的方式验证说法是否正确，最后统计错误说法的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，我们逐个分析各说法：
1. 分析说法①：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数（例如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$，是有理数），因此“无限小数都是无理数”的说法错误；
2. 分析说法②：无理数是无限不循环小数，因此所有无理数都属于无限小数，该说法正确；
3. 分析说法③：带根号的数若开方后是有理数，则本身是有理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，因此“带根号的数都是无理数”的说法错误；
4. 分析说法④：两个互为相反数的无理数相加和为0，0是有理数，例如$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，因此“两个无理数的和还是无理数”的说法错误。
综上，错误的说法有①③④，共3个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的概念；实数的运算；有理数的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的核心是准确理解无理数的定义，掌握用举反例的方法判断命题正误的技巧，避免对概念的片面理解。
【难度系数】
0.7

6. [2025·天津]估计$1+\sqrt{6}$的值在 （）

A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间

6. C

【分析】
要估算$1+\sqrt{6}$的取值范围，首先需确定无理数$\sqrt{6}$的范围。可以用夹逼法，找到与6相邻的两个正的完全平方数，根据算术平方根的性质确定$\sqrt{6}$的大小范围，再给不等式的三边同时加1，就能得到$1+\sqrt{6}$的取值范围，对应选项即可。
【解析】
首先找到和6相邻的两个完全平方数：
∵ $4 ＜ 6 ＜ 9$
∴ 对三个数同时取算术平方根可得：$\sqrt{4} ＜ \sqrt{6} ＜ \sqrt{9}$
即 $2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$
给不等式三边同时加1，得：
$2+1 ＜ 1+\sqrt{6} ＜ 3+1$
即 $3 ＜ 1+\sqrt{6} ＜ 4$
因此$1+\sqrt{6}$的值在3和4之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算、算术平方根、不等式的性质
【点评】
本题主要考查无理数的估算，熟练运用夹逼法确定无理数的取值范围是解题的核心，解题时注意不等式变形的规则即可。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. [2023·黄冈]请写出一个正整数$ m $的值使得$\sqrt{8m}$是整数，$ m=$.

1. 2(答案不唯一)

【分析】
要使$\sqrt{8m}$是整数，首先根据二次根式的性质，被开方数$8m$需要是正的完全平方数（题目已经给出$m$是正整数，因此$8m$肯定为正，核心要求是$8m$为完全平方数）。我们可以先化简二次根式，$\sqrt{8m}$可整理为$2\sqrt{2m}$，要让整个式子是整数，就需要$\sqrt{2m}$是整数，也就是$2m$是完全平方数。我们可以取最小的正整数$m$，让$2m$为最小的完全平方数，即可得到符合要求的$m$值，也可根据这个规则取其他满足条件的正整数。
【解析】
解：要使$\sqrt{8m}$是整数，需满足被开方数$8m$是正的完全平方数。
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{8m}=\sqrt{4×2m}=2\sqrt{2m}$
由于2是整数，要让$2\sqrt{2m}$为整数，只需$\sqrt{2m}$为整数，即$2m$是完全平方数。
当取最小的符合要求的正整数$m$时，令$2m=4$（4是最小的大于2的完全平方数），解得$m=2$，代入验证得$\sqrt{8×2}=\sqrt{16}=4$，是整数，满足条件。
（注：$m$也可取8、18等其他正整数，只要$2m$为完全平方数即可）
【答案】
2(答案不唯一)
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 完全平方数的特征
【点评】
本题属于开放性基础题，考查二次根式的相关性质，需要学生逆向推导被开方数需满足的条件，解题时结合完全平方数的特征即可快速得出答案，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.8

2. 化简：$\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\_\_\_\_\_\_$，$\sqrt[3]{-64}=\_\_\_\_\_\_$.

2. $\pm\dfrac{4}{5}$ $-4$

【分析】
本题需分别化简平方根式和立方根式。对于第一个式子$\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}$，根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，先计算被开方数的算术平方根，再添加正负号即可；对于第二个式子$\sqrt[3]{-64}$，根据立方根的性质，负数的立方根仍为负数，找到立方等于$-64$的数即可得到结果。
【解析】
1. 化简$\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}$：
因为$(\dfrac{4}{5})^2=\dfrac{16}{25}$，所以$\dfrac{16}{25}$的算术平方根为$\dfrac{4}{5}$，因此$\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\pm\dfrac{4}{5}$。
2. 化简$\sqrt[3]{-64}$：
因为$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{-64}=-4$。
【答案】
$\pm\dfrac{4}{5}$；$-4$
【知识点】
平方根运算；立方根运算
【点评】
本题是基础运算类题目，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，正数的平方根有两个，而立方根的符号与被开方数的符号始终一致，避免因混淆概念出现符号错误。
【难度系数】
0.9

3. 比较下列各组数的大小：
(1) $|-1.5|$ ______ $1.\dot{5}$；(2) $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ ______ $\dfrac{1}{2}$；(3) $π$ ______ $3.14$.

3. (1)＜ (2)＞ (3)＞

【分析】
要比较各组数的大小，可根据每组数的特点选择对应方法解题：
(1)先化简左侧的绝对值，再将结果和右侧的循环小数比较；
(2)两个分数分母相同，只需比较分子的大小，可先估算$\sqrt{5}$的近似值，再判断分子$\sqrt{5}-1$和1的大小关系即可；
(3)回忆$π$的近似值，直接和3.14比较大小即可。
【解析】
(1)先计算绝对值：$|-1.5|=1.5$，而$1.\dot{5}=1.555···$，因为$1.5＜1.555···$，所以$|-1.5|＜1.\dot{5}$；
(2)两个分数分母相同，比较分子：因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$\sqrt{5}-1\approx2.236-1=1.236$，$1.236＞1$，同分母分数分子越大值越大，所以$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}＞\dfrac{1}{2}$；
(3)$π$是无限不循环小数，$π\approx3.1415926···$，因为$3.1415926···＞3.14$，所以$π＞3.14$。
【答案】
(1)＜；(2)＞；(3)＞
【知识点】
实数大小比较；绝对值的性质；无理数估算
【点评】
本题考查实数大小比较的基础方法，解题时可根据数的形式灵活选择化简、同分母比分子、估算近似值等方法，熟练掌握常见无理数的近似值和绝对值化简规则是解题关键。
【难度系数】
0.85

4. 已知$|a|=4,\sqrt[3]{b}=2,ab＜0$,则$\sqrt{a+b}$的值为________.

4. 2

【分析】
解题时可按照以下思路逐步推导：第一步，先根据立方根的定义求出b的值；第二步，根据绝对值的性质得到a的所有可能取值；第三步，结合ab＜0即a、b异号的条件，筛选出符合要求的a的值；第四步，将a、b的值代入a+b计算，最后求算术平方根即可得到结果。
【解析】
解：
1. 求b的值：
∵ $\sqrt[3]{b}=2$，根据立方根的定义，可得$b=2^3=8$。
2. 求a的可能值：
∵ $|a|=4$，根据绝对值的性质，可得$a=4$或$a=-4$。
3. 筛选a的取值：
∵ $ab＜0$，说明a和b符号相反，已知$b=8＞0$，因此$a＜0$，故$a=-4$。
4. 计算$\sqrt{a+b}$：
将$a=-4$，$b=8$代入得：$a+b=-4+8=4$，因此$\sqrt{a+b}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
绝对值的性质、立方根的定义、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查学生对绝对值、立方根性质的掌握，以及根据限制条件筛选有效解的能力，解题时注意不要忽略ab＜0的符号限制条件导致错解。
【难度系数】
0.8

5. 若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是.

5. 10或12或14

【分析】
解题时先设这个数为x，首先把题目中“立方根比2大”“算术平方根比4小”的文字描述转化为关于x的不等式，求出x的取值范围，再结合x是偶数的限定条件，筛选出范围内符合要求的数即可，注意判断边界值是否满足题干要求。
【解析】
解：设这个偶数为$ x $。
1. 由“偶数的立方根比2大”可得：
$ \sqrt[3]{x} ＞ 2 $
两边同时立方，不等号方向不变，得：
$ x ＞ 2^3 = 8 $
2. 由“算术平方根比4小”可得：
$ \sqrt{x} ＜ 4 $（算术平方根有意义，故$ x≥0 $）
两边同时平方，不等号方向不变，得：
$ x ＜ 4^2 = 16 $
3. 综合可得$ x $的取值范围为$ 8 ＜ x ＜ 16 $
又因为$ x $是偶数，因此符合条件的数为10、12、14。
【答案】
10或12或14
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，偶数的概念
【点评】
本题解题核心是将文字大小关系转化为不等式确定数的范围，再按要求筛选结果，易错点是误将边界值8、16计入，或者忽略“偶数”的限定条件。
【难度系数】
0.7

6. [2025·长春]8 的立方根是.

6. 2

【分析】
求一个数的立方根，首先要明确立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。解题时我们只需要找到哪个数的三次方等于8，就能得到8的立方根。注意立方根和平方根不同，正数的立方根只有1个，且为正数，不用考虑正负两种情况。
【解析】
解：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则x是a的立方根。
计算可得：$2^3 = 2×2×2 = 8$，因此8的立方根是2。
【答案】
2
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 有理数的乘方
【点评】
本题属于基础概念类题型，主要考查对立方根定义的理解和运用，熟练掌握常见整数的立方结果就能快速得出答案，解题时注意区分立方根和平方根的概念，避免混淆出错。
【难度系数】
0.9